bc -+- b d -t- etc. 4-«/4- etc

(3 °)...C = — {abc 4- abd-\- t\c.+acd+ etc. 4 -£a/-t-etc.)

= ±. abcd etc.

ÉLÉMENS ï)’ ALGÈBRE. 357

V ayant le signe -f-, lorsque m est pair, elle signe — dans le cas contraire. 11 reste maintenant à déterminer ces quantités a, b , c, etc. : à cet effet, on . multipliera (i°) par a"*— 1 , (2°) par a”—*, l’avantdernière équation par a, et faisant la somme de ces produits et de (/n°), on trouvera

— a m ==Aa n ~ 1 -4- Ba m ~* 4- Ca m ~ 3 4- -4- V y

c’est-à-dire,

a m + Aa m ~ * + Ba m — »- 4 - C’a'"— 3 -I- -\-F=o.

Si on traite les mêmes équations par rapport à A, c, etc., exactement de la même même manière qu’on vient de les traiter par rapport à a, on parviendra à ces résultats *

b™ +Ab m —'+Bb m —*-+- Cb m — 3 - 4 - .... -t- V —o c m -4- Ai. ?»— * -+. Bc m ~ 2 -4- Ce”»— 3 4- .... -4- o etc.

mais ces équations ne sont autres que la proposée dans laquelle on aurait écrit successivement a, b, c, etc., pour x. Donc ces seconds termes a, Æ,c, etc., sont autant de racines, et il reste à démontrer qu’elles existent.

Nous croyons utile de répéter cette analyse sun une équation d’un degré défini, telle que la suivante

x 3 - 4 - Ax' + Bx + C— o : en supposant l’identité

x 3 - 4 - Ax 1 -4 - Bx - 4 - C~ (x — a)(x — b)(x — c) , on trouvera

A— — a — b — c B — ab + ac-t-bc C= — abc.

Or, d’après le procédé indiqué précédemment, on passe de ces équations aux suivantes.

Aa'~ — a 3 — ba' — ca'

Ba = ba' -+- ca' -+• abc C — — abc ,

dont l’addition donne

o’ -\-Aa' +Ba-\~C=o (i).

On trouverait de meme

b' + Ab' -{-Bb + C—o . . . .(a) c 1 + Ae' -\-Bc+C=o . . . »(3).

Nous ferons sur cette analyse une remarque à laquelle il est nécessaire de s’arrêter. Lorsque des inconnues entrent exactement de la même manière dans des équations, en sorte qu’en changeant l’une quelconque de ces inconnues dans une autre , et réciproquement, les équations ne changent pas, il arrive que, pour passer de l’équation finale qui donne l’une des inconnues, à celle qui donne l’une des autres, il suffit de changer dans celle-là, l’inconnue qu’elle contient dans la seconde. C’est ce que montrent, en effet, les équations (ij, (a), (3), toutes composées de la même manière et convertibles les unes dans les autres, par le changement de a en A en c et réciproquement ; et comme alors, pour parvenir à chacune de ces équations finales, on opère de la même manière sur des équations symétriques en a, b , c', ces inconnues doivent être déterminées toutes trois, en même temps, par l’une quelconque des trois équations finales , parce que les trois racines qu’elle fournit, ne pouvant convenir exclusivement à aucune de ces quantités a , b, c, doivent

ÉLEMENS D’ALGÈBRE. , 369

se partager entr’elles , c’est-à-dire, devenir l’une 1§ valeur de a, l'autre celle de b, et la troisième celte de c.

Des relations (i°) , (a°) , ( 3 °) .... (m°), on tire ces conclusions importantes et fondamentales, i° le coefficient du second terme de toute équation complète , pris en signe contraire est la somme de toutes les racines, a 0 celui du troisième terme, pris avec son signe, est la somme des produits différens de toutes les racines multipliées deux à deux ; 3 ° celui du quatrième terme , pris en signe contraire, est la somme des produits différens des racines multipliées trois à trois, etc. Le coefficient de T avant-dernier terme , pris avec son signe, lorsque l équation est de degré impair , ou en signe contraire, lorsque F équation est de degré pair, est le produit des racines m — 1 à m — 1 . Enfin , le dernier terme, pris en signe contraire, lorsque l équation est de degré impair , ou avec son signe, lorsque f équation est de degré pair, est le produit de toutes les racines.

D’où il suit que Lorsque [équation manque du second terme, la somme des racines positives est égale à celle des racines négatives ; que si le dernier terme manque dans une équation , l une des racines est né ■ cessairement nulle , et réciproquement , si [une des racines est nulle, [équation manque du terme tout connu. Eu effet, une équation ne peut être satisfaite par x=0, qu’autant que tous ses termes sont multipliés par x.

27/4. Ainsi, à l’égard d’une équation du degré m, si l’on suppose des racines en nombre m , et on ne peut en supposer un plus grand nombre, on conclut pareil nombre de facteurs binômes. Que si l’on

part de ces facteurs en nombre m , parce que leur produit prend la forme du premier membre, et qu’on veuille en calculer les seconds termes, on retombe sur la difficulté qu’on voulait éluder, c’est-à-dire, qu’on est ramené pour évaluer chacun de ces seconds termes, à résoudre une équation exactement la même que la proposée, ou à démontrer qu’il existe soit un nombre, soit un symbole particulier qui rend nul le premier membre de la proposée. On prouve bien que par la multiplication de plusieurs binômes simples, on forme une équation de tel degré qu’on veut, mais on n'a pas fait voir, comme l’observe Castillan , qu’une équation dont le premier membre est formé par la multiplication de plusieurs binômes simples, peut avoir tels coéfficiens qu’on veut en nombres et en signes. On a bien démontré (a44) qu’en supposant à l’équation du second degré une racine , il en existe une seconde : on prouverait de la même manière que lequation du troisième degré comporte encore deux racines, si on lui en suppose une, et ainsi de suite. Ainsi l’existence d’une racine est à démontrer (II e sect., chap. I), et jusqu’ici cette proposition n’est qu’une vérité de fait, puisqua l’égard de toute équation numérique, on parvient toujours à assigner une racine, comme on le verra dans les chapitres suivans et dans la seconde section de ce traité.

Il peut arriver, ou que toutes les racines de l’équation

x m -t-y/as'"— ‘ +Bx m —*- 4-. . . .-\-Tx-\-V-o,

ou que quelques-unes seulement résolvent la ques- ' tio.n , quoique toutes réduisent l’équation à la forme

Probl. I. Trouver le nombre qui , retranché treize fois de son cube , donne le reste 12.

Cette question conduit à l’équation

x 1 — 1 3 x = 1 2 , d’où x 3 — 1 3 x — 12 —p ,

qui comporte les racines commensurables X — 4 » x = — 1 x = — 3, qui résolvent l’équation et la question , puisque ces trois valeurs de x jouissent, au même degré de la propriété énoncée.

* Probl. II. Déterminer la hauteur x d un segment sphérique dont le volume serait 8 , 3376 et qui appartiendrait à une sphère d'un rayon r= 3 .

On sait que le volume d’un segment est égal au volume du secteur correspondant, moins celui du cône : or, en désignant par « le rapport du diamètre à la circonférence, et par R le rayon de la sphère , on sait que }%R'x représente le volume du secteur , et que le volume du cône correspondant qui a IA Kr—xx pour rayon de sa base, est

a (2 Rx — xx )

donc , d’après la condition

de l’énoncé,

jnR'x — \t:(zRx — xx)(R — ») = 8,3376 :

remplaçant R et ir par leurs valeurs , cette équation revient à

qui a pour racines x=i,®=8, 89 8989899, x— — o, 89 89 89 899 dont la première seule résout la question; car la substitution de chacune des deux dernières, dans l’expression V iRr — xx du rayon de la^ base du cône, la rend imaginaire : cependant ces deux dernières racines résolvent l’équation, c’est-àdire, qu’elles la réduisent à la forme 0=^0.

36a CHAPITRE XXII.

Probl. 111 . Trouver la hauteur d'un segment de sphère dont le rayon = 3 , et le volume = 1000.

Cette question visiblement impossible , conduit à l’équation

dont les racines imaginaires sont les seules qui conviennent à la question, puisque la seule racine réelle — 7,6, etc., ne peut lui appartenir : cette racine ne peut convenir qu’au sens littéral de l’équation.,

376. 11 y a donc lieu à distinguer deux sortes de questions : les unes sont, en quelque sorte, abstraites , en ce sens quelles reviennent à trouver un nombre tel que des multiples donnés de ses puissances, combinés entr’eux par voie d’addition et de soustraction, fassent une somme nulle; tel est le sens littéral de toute équation considérée indépendamment de la question qui l’a donnée , et qu’il faut distinguer du sens vrai donné par la question , lequel est moins général que celui-là : en effet, sous le sens littéral, l'équation x — 9x’ + 8— o, admet véritablement les trois solutions x=i, x== 8,8y etc.,* = — o, 89, etc., c’est-à-dire, que chacun de ces trois nombres jouit de la propriété que son cube diminué de neuf fois son carré et augmenté de huit, donne zéro; tandis que la condition ou la v propriété géométrique qui est la question concrète , n’admet que la solution x = 1. Dans le problème troisième, les racines imaginaires ainsi que la racine réelle, conviennent à la question de nombre, qui est la traduction littérale de l’équation; mais en passant à la propriété géométrique qni est impossible, les seules racines imaginaires sont admissibles.

Transformation des équations ; évanouissement des