On voudrait partager un nombre connu n , en trok
D"* A L G Ê B R E. ftoS
Parties telles y qu'en ajoutant ^ 2! à la i*"', a" à la a' et a** ri la 3% les sommes résultantes soient proportionnelles aux nombres donnés p', p^/p**. Il paraîtrait naturel de choisir pour intïoimues les trois parties ; mais comme cela conduirait à des calcaltf compliqués, nous remarquerons que les parties devant être telles , que si Ton ajoute c' à la 1'*, a" à la a* et a" à la 3% les sommes résultantes soient proportionnelles aux nombres p', f^p"'» ces sommes peuvent être représentées parp'j:, p'x^p^x. Mais ces sommes expriment les trois parties respectivement augmentées de a', a", a". Ces trois parties sont donc. . .
(M),... 1 '• partie =(/7'x— a ) ; a* = (p^x— a") ; 3^=p''x—a'^.
On peut d'ailleurs le vérifier , car en leur ajoutant a\ a" > et ûTy elles deviennent p'x, p^x , p'^x', et ces sommes eont proportionnelles à p\ p", p" , comme l'exige l'énoncé. Mais la somme des trois parties doit être égale au nombre à partager 71 ; donc . . .
(p'x — a') + (p'jc — a" ) 4. (^p'x — a") = n ;
on en déduit
P "tP tp
; La substitution de cette valeur de x, dans les formules (M) ,
détermine les trois parties demandées. Les remarques dun°3S7,
l'appliquent à ces formules. En effet; si dans l'expression de
h 1" partie , on change les quantités a\ p' qui ont un rapport
[particulier avec cette i"^' partie ^ en a'\ p^, qui ont le même
'i^pport avec la a^ partie , la valeur de x ne change pas , et
]Toa obtient la valeur {p"x — a") de la a* partie. Les causes
ie ces effets sont les mêmes que dans le n* 3G7.
3og. En général , dans tout problème qui conduit à lîeê ''Jéquations où les quantités relatives à chaque inconnue , entrent ]fSie la même manière y et sont de même nature et en mcmê ['iiombrey quand on a calculé la valeur générale dune inconnue^ jon peut en déduire les valeurs des autres inconnues ; // suffit ' ^dans la valeur <fo cette inconnue ^ de changer toutes les qua/k--
do4 é L É M E ir s
tités qui y ont un rapport paHiculier^ en celles qui ont le même rapport avec tinconnue dont on veut obtenir la valeur* Pour simplifier h calcul et rendre les formules plus symétriques, on adopte une lettre particulière pour chaque espèce de quan* tités; on affecte d'un accent y toutes les quantités relatives' à la première inconnue , de deux accens toutes les quantités relatives à la seconde inconnue , et ainsi de suite. On calcule j 2a valeur générale de la première inconnue; alors, en mettant •dans cette valeur , deux accens pour un , et réciproquement un accent pour deux, on obtient la valeur de la seconde in-* connue, La valeur de la 3' inconnue s* obtiendrait en mettant i trois accents pour un, et ainsi des autres. Cette règle sera d'un grand usage dans la suite du cours.
370. Pour appliquer les formules du n? 3G8 , à un exemple , proposonff^ious de partager flo, en trois parties telles, qu'en ajou^ tant 10 à la 1'^ , a à la a* et 4 à la 3% les sommes résultantes soient proportionnelles aux nombres 5 , S , 4» Si l'on compare cet énoncé à celui du n^ 368 , il en résultera. . .
n=z2o, af=zio, ^"=9, a^z=4> j/ ^5,' p''=i3, p^ = 4i 0U en déduit
n-*- fl'-f- «"^-û" 90-1- io+a-f-4 3^ •» p'^p'i^p'u 5-f-5-»-4 la *
!*■« partie zz p'x — a' =: 5.3 — • 10 = 5 ; a« partie z= p"x — a" = 3.3 — 3 = 7; 3« partie ^ p^x — a** = 4*3 — 4 = ^•
Ces parties satisfont à toutes les conditions du problème, car leur somme est le nombre ao à partager ; et quand on- ajoute , 10 à la 1'% a à la 2% 4 ^ ^^ 3®, les sommes 16,9, 12 , qui en ^ résultent, sont entre elles comme les nombres 5,3,4* \
371. On propose de partager le nombre connu n , en trois parties telles, qu'en ajoutant af à la V , a" à la fi,* , et RETRANCHANT sT de la 3', les trois résultats soient proportionnels aux nombres p', p", p*. Si Ton compare cet «nonce à celui du n° 3S8 , on verra qu'il n'en diffère qu'en ce que la quantité a" , au lieu d'être ajoutée à la 3® partie , doit au contraire en être retranchée ; de sorte que a* prend
t>^ A L G È B R B. AoS
l^lQie acception tont opposée à ceUe qui lui était attribuée ; iP doit donc changer de signe (n® 353) ; les formules relatives an problème actuel se déduiront donc des formules (M) ^ en diangeant le signe de a*. Ce qui donnera. . .
{ 1" partie =//a; — a'; Q,*-=2p''x — a* ; 3'=p*a: -f- a*.
Telles sont les formules qui appartiennent à la question actuelle. On peut s'assurer de leur exactitude « en résolvant directenîent le problème , ou en remarquant que retrancher '¥ti', revient à ajouter — a^, et que par conséquent notre question peut être ainsi énoncée : Partager un nombre connu n^ «i trois parties telles, qu*en ajoutant +a' à /a i*^', + a" à I iï a' et — a* à /a 3' , les sommes résultantes soient propot^ uonnelles aux nombres p', p", p*'. Comme cet énoncé ne diffère de celui du n® 368, que par le signe de a", il est évident çi'il suffit de changer partout le signe de a" y ce qui transformera les formules (M) , relatives à la question du n° 368 , dans les formides (N) relatives à la question du n** 371.
f 37a. S), Ton voulait partager 27 , en trois parties telles , ça'eii ajoutant su à la i*"', 6 à /a 2% et retranchant 5 rf« la 5*, les trois résultats fussent proportionnels aux nombres 1 , a, 3. En comparant cet énoncé à celui du n^ 371 ^ il en résulterait. . .
*=fl7,a' = a,û'' = 6,a*==5, p' = 1 , p'' = i», P* = 3;
Ces valeurs, substituées dans les formules (N) , donneraient, toute réduction faite . • .
i'* partie = 3 , a' partie = 4 > 3' partie = ao ;
i Ces parties satisfont à toutes les conditions du problème^ ;c^ leur sonune est le nombre à partager 27 ; ajoutant a à ila !'• partie , 6 à la 2» , et retranchant 5 de la 3* , les nombres 5, lo, i5, qui en résultent, sont proportionnels aux nomires l ^ 2^ 3. On parvient aux mêmes résultats ^ en comparant
so6 l£ L é M E ir s
les énoncés det n** 368 , 372 ; car cette comparaison donne, é
n=:Z'j ^ a =2, ^"=6, ar=3 — 5; p'=i, p"=2, p*=^.
La substitution de ces valeurs dans les formules (M) , dom Z, 4' ^^9 pour les parties demandées.
373. Après avoir résoju la question du n® 35 , nous avoi remarqué (n** 36) que pour Tanalyser complètement , il falla y' considérer successivement comme inconnue chacune d< quantités que renfermait son énoncé ; ce qui nous a condo à résoudre autant de problèmes qu*il entrait de quantités à nature différente dans la question ; les solutions de ces pro blêmes ont exigé des raisonnemens et des calculs absolumen différens. On évitera les uns et les autres , en substituant de lettres aux nombres. Par cette substitution , l'énoncé du n® 35 prend cette forme générale :
374- n ouvriers , qui travaillent h heures par jour , ont f ai en i jours , t toises d'ouvrage. Combien n' ouvriers , qui iracailleraient V heures par jour , feraient-ils du même ouvra^ en i' jours ? Pour résoudre ce problème , il suffit de raisonna comme dans le n* 35 , en remplaçant les nombres par les lettré qui les représentent. Ce qui conduit au calcul suivant...
n onvricrs traTaîIlant h heures par jour, font en i jours.*., t^oîses.^ 1 buvricr h fera en i jours .... • j
floises
1 I heure i jours .... — -.— J ,
n' oayriers i feront en i jour.
^ V heures i jour.
nh
I jour»... . , î I
' mil '
inh
inh nf ouvriers travaillant h^ heures par jour, fieront en i jours. . . . :-j
Les n^ ouvriers^ qui trayaillent h^ heures par jour pendant i^ jours , fe
Vh'nft donc nn nombre de toises marque par — .- . ■■> Désignant ce nombre
ioises par V, on aura. . . .
inh '■
D'ÀLCiBRK. a67
inlûpBsnt ki ànx nombres par in^ , il Mendia..».
(«) i/i^'e=iWf.
Jette ëqnatkm exprime la relation ^i doit exister entre les boit quantité* pd entrent dans Tënoncé. De ces huit quantités , quatre sont de nature afférente ; les nombres de jours i et i% les nombres d'heures h et hf, le» Mmbres d'onniers n et nf, les nombres de toises t et f. Si dans Tequaâon (#) y on regarde comme inconnue Tune des quantités tf, i% hf^ n! ^ on boinvray en divisant les deux membres par les facteurs qui multiplient fbconnne qu'on veut dégager,
Ces formules donnent les solutions des problèmes , oîi l'on considère comme Konnue , le nombre tf des toises , le nombre i* des jours, celui h' des hcuref, t celui nf des ouTricrs. Ces problèmes comprennent , comme cas particuliers , eux des n©» 35, 3; , 38 , 39. En effet ,
2*. La comparaison des énoncés des n<>* 35 et Z'jl\ , donne ....
nssa, A=:3, i=5, « = 90, /i'z=3, A' = ^, i'izaj
Poil
iVA^<ax3x7X9o 7X9o___ ,o,^
WiVU9rage cherché est donc ia6 toises. Ce résultat est celui du n^ 3dL - a*. Comparant les énonces des n»» 37 et 374» il en résultera....
ns=a, A=3, i=5, « = 90, /»'=-3, ^'=7, t'=ia6;
- iTi^t^ 5xax3XTa6 5xaxia6 ioxtqG ia6 î8
Ê n'h't~^ 3x7x90 "" 7x90 7X9Xio~*7X9~ 9""".
t ^nombre des jours cherché est donc a. Ce résultat est celui du n* 37. Om tirera de la mcme manière , que les valeurs générales de h' et t* donnenC '^ aolutions des questions des no* 38 et 39.
375. On voit encore ici un des grands avantages qui résultent 5 f emploi des lettres. Lorsqu'on prend des nombres pourDOK- Êes d^un problème, quand il est résolu ; pour résoudre tous ceuar ^* il fournit , en considérant comme inconnue l'une quelconque tg quantités qui entrent dans l'énoncé y il faut employer des tisonnemens et des calculs absolument differens, qui présentent helquefois des difficultés plus grandes que celles qui étaient ilatives à la question proposée. Si l'on représente les données tar des lettres, quand on a résolu un problème en regardant
9û8' É l-é M t If s
Comme inconnue une des quantités qu'il renferme^ on a une formule générale qui présente deux grands avantages ; le premier y de fournir la solution de tous les problèmes de l'espèce de celui qu'on vient de résoudre ; le' second y de donner direc" tentent la valeur de Pune quelconque des quantités qui entrent dans la question , ce qui fournit' la solution de tous les pro^ blêmes qui résultent de celui qu'on a résolu en y regardant comme inconnue l'une quelconque des quantités qui entrent dans son énoncé. La question du n® 374 , en offre un exemple,
376. Pour simplifier les calculs , on a établi des conventions que nous allons faire connaître. Nous généraliserons ensuite les quatre règles de Talgèhre , et nous verrons comment on peut diviser deux polynôjnes l'un par l autre, -
377. Lorsque les facteurs d'un produit sont égaux y on in^ \ dique le produit dune manière abrégée y en écrivant une seule 1 fois la lettre qui représente un de ces facteurs y et marquant le nombre des facteurs égaux par un nombre. Ce nombre a reçu le nom Ôl exposant; pour Ic distinguer du coefficient y on le met
à droite dfe la lettre et un peu au-dessus, tandis que le coeffi- aient est toujours placé à gauche de la lettre et sur la même ligne. Ainsi , le produit de b par b indiqué par bb , devient b^\ dans i* , l'exposant de b est 2 ; cet ■ exposant indique que b est 2 fois facteur. On doit bien se garder de confondre 6* avec ai ; la première quantité indique le produit de deux facteurs égaux à by tandis que la seconde exprime la somme de deux quantités égales à i. Si b représentait le nombre 10, alôVs i* >î .vaudrait 10 fois 10 , ou 100 , et 26 vaudrait 2 fois 10 , ou 20 ; . -^ l'expression b^ vaudrait 10.10.10, ou 1000; et 3i vaudrait f: 5 fois 10 , ou 3o. D'après cette convention. . .
Zb^{b + b + b)yb^r^i,h'z^i,bbb .:
5b::^ib + b + b + b + b)y b^^l.b^z^l.bbbbb.
