uels sont ces nombres ? Comme cet énoncé ne dif

rç du précédent ^ qu'en ce que les nombres 1 5 et 3 ^ rem'*

placent la et 6 ^ il suffirait d'opérer sur la somme 1 5 et II difTérence 3 , comme on a opéré (n* 354) sur la somme 'la et la différence 6 ; de sorte que la solution de notre problème se déduirait de celle du n* 354 > ^^ 7 substituant à la somme la et à la différence 6 ^ la nouvelle somme 1 5 et la nouvelle dif* férence 3. Ce qui conduirait à cette solution. . .

Désignons par x le plus petit des deux nombres ; le plu grand, qui est égal au plus petit plus la différence , sera (x+ 3) ; mais la somme de ces deux nombres est i5\ donc...

jr + (x-+-3)r=:i5; on en déduit ....

ar4"3=i5; ar = i5 — 3j aj:=:ia; j: = fi. \

Le plus petit nombre x = 6.

Le plus grand nombre (j:-f-3)=6 + 3 = 9.

Les nombres 6 et 9 , satisfont à toutes les conditions Ai < problème, car leur somme est i5, et leur différence est S. -

356. Il suit de la comparaison des énoncés et des solutioni des deux problèmes précédens^ que si Ton change les valeint ^ numériques des quantités connues^ alors les valeurs numérique» des inconnues changent aussi ; mais les raisonnemens et les opé^ rations à faire , pour déduire les inconnues des quantités con« nues , restent les mêmes ; et par conséquent , pour résondrs toutes les questions qui se déduisent d'un même énoncé , en jr changeant les valeurs numériques des quantités connues , il faat continuellement répéter les mêmes raisonnemens. Ces remarques sont générales -, car la solution d*un problème est toujours composée de deux parties essentiellement différentes ; savoir ^ la valeur numérique du résultat , et les opérations faites pour l'obtenir. Comme ces dernières ne dépendent que des condh lions du problème , dans toutes les questions de même es-^ pèce (*), on parvient au résultat, en effectuant les mêmci

{*") Par questions de même espèce, nom entendons ici celles <pii m dififêrent que par les valeurs numériques des quantités connues. Dam et t4;ns , les questions des no* 354 ^^ ^^^ *^"' ^c même espèce. Je previeni

2ue les quantités connues qui entrent dans une question, s 'appellent ks ' années; ainsi dans la question du n* 354 > Iw données sont la «t-6.

D * À L G £ B R E. igS

t)pératioii8 sur les données. Conséquemment , si le résultat tonservait la trace des opérations faites pourTobtenir, comme il offrirait le tableau exact des opérations à faire sur les quantités connues^ pour en déduire les valeurs des inconnues , il aurait le grand avantage de donner un moyen facile de résoudre toutes les questions de même espèce , sans être obligé de recommencer continuellement les mêmes raisonnemens. On ne peut atteindre ce but en employant des nombres déterminés , parce qu'alors on effectue tous les calculs , et le résultat ne conserve aucimes traces des opérations faites sur les données delà question ; ainsi, par exemple, la somme de deux nombres étant lâ et leur différence 6 , nous sommes parvenus, au moyen de certaines opérations , à découvrir que 3 et g étaient ^tes deux nombres; mais à l'inspection de ces résultats, >I est impossible de déterminer par quelles opérations ils se déduisent des données 6 et 12. Le moyen le plus naturel de le décou- . vrirjCst de chercher à résoudre la même question, en ne donnant aucunes valeurs particulières à la somme et à la dif-« f firence ; les formes des résultats auxquels nous parviendrons, étant indépendantes des valeurs numériques des données, indiqueront les opérations à faire sur les nombres connus pour *n déduire , dans toutes les questions de la même espèce , le*» -^ valeurs des inconnues. Traitons donc le problème du n* 354 de cette manière générale. . .

357. La somme et la différence de deux nombres sont connues ; i>n demande quels sont ces nombres (^B. n° i5i). D*après cet tQoncé . . .

I Le plus grand nombre ) . 1 M* somme > [ \ plus le plus petit , ) i donnée. >

Pour que cette e'galité ne renferme qu^une inconnue , on remplacera le 1^ grand nonxbre par sa valeur , qui est le plus petit nombre plus la ëifliSrence j ce qui donnera .*. . •

( Le plus petit nombre ;>/i« la différence > , ^^ Cl» somme 1^ \ plus le plus petit nombre, ) ^^ ( donnée, f

Comme k premier membre de celle dcmiifrc égalité renferoBc 4m foîf .

la somme donnée.

ic plus petit nombre ei la différence, on peut écrire... V

f ^ I a fois le plus petit nombre ) , , (

^^ \ p/«.ladi£Krence / ^g»'' (

Retranchant la différence, des deux membres de celte égalité , on aura. . . ^

çp\ S a fois le plus I , "u f ^ somme moins \

^ ^ t petit nombre j ^^^ \ la différence, f

Divisant les deux membres par a , il viendra. , . .

/^ C Le plus petit > . . (la demi-somme moins \

\ nombre / i la demi-différence. /

Si Ton ajoute la différence aux deux membres de Tégalité ( C) , on aura., ig

C Le plus petit nombre ï , - f la demi-somme moins la demi- 1 ( plus la différence 3 ^^^ \ différence plus la différence. /

Mais le plus grand nombre est égal an plus petit nombre augmenté de ta différence , et lorsque de la différence on 6te la demi-différence , le résultas nrprime la demi-différence. L'égalité précédente devient donc. . . .

-yj. i Le plus grand ) , , ( la demi-somme ;?/m5 > 4 nombre j ° ( la demi-différence. /

358. Les formules (C) , (D) , donnent les valeurs générale^ du plus petit nombre et du plus grand; elles indiquent quelle^ sont les opérations à faire sur les nombres connus , pour en dè^ duire immédiatement les valeurs des inconnues. En voici de» •xemple^ . . ;

10. Si la somme éuit la et la différence 6 (n<* 354) > ^^ formules Cfl> donneraient.....

Le plus petit nombre = 6 — 3 = 3;

Le plus grand nombre = 6 + 3 = 9. j

ao. Si la somme étaif 1 5 et la différence 3 (n» 355), les mêmes formulée 4onneraient. .. .

Le plus petit nombre = = — =6;

Le plus grand nombre rr: 1 — = — :=g.

des résultats s^accordent avec ceux des n^* 354 ^^ ^^^*

359. Ce qui précède doit faire voir que pour obtenir des ; formules générales , propres à résoudre toutes les questions de j Aémê,£spèGê, il ne faut assigner aucunes valeurs particulier

d*alg£brb. ig7

; DONNÉES. Mais ces solutions générales entraînent dans longueurs qui tiennent à ce que les diverses opérations et quantités connues et inconnues sont écrites en toutes lettres, moyen qui dut bientôt s'oITrir, pour abréger ces solutions , sans doute d'employer les signes algébriques , et d'écriro abrégé les quantités connues et inconnues. On représent» ic chaque quantité connue par une lettre; et pour que cetto re pût continuellement rappeler ce qu'elle représentait, oa : choisir les lettres initiales des noms des données.

)6o. Si Ton applique ces remarques au problème du n°357« is lequel il s'agissait , connaissant la somme et la différence deux nombres , de trouuer chacun d'eux. Ou désignera la ime des deux nombres par s , leur différence par d\ et la s petit nombre , qui est inconnu ^ par x. En yeiitu de- cet éyiadons, le plus grand nombre^ égal au plus petit plus la érence, sera (^x -^ d). Mais la somme de ces deux nom* s est S'y on a donc ... a? + (x + J) = ^ ; d'où, • .

(A') ax -+- d = s.

anchant d, des dent membres de cette «^[uation , on aura. . . •

(^Ov aa: = #- ci

isant les deux membres par a, il viendra....

'on ajoute d aux deux membres de Tequation (O), on aura. . . .

(ar -f- J ) exprime le plus grand nombr,e , et d — - ci sja - <f. Donc. . .*

(ly) le plus grand nombre ( a: + <^) = - + —

i voit que les équations A', R, C, ly sonl les égalités A^B ,C^D^ s à l'aide des abréviations adoptées. Les formules (y, jy offrent I0 au des opérations a effectuer sur les quantités connues a tt^df en déduire les inconnues; elles disent que.,.,

j le plus petit 1 , . i la demi-somme moins ^ , \ nombre ) \ la demi- différence f '

f le plus grand l , . i la demi-somme plus 1

\ nombre > ^^ ^ \ la demi-différenç/ê /* , . .

iqS é l é m e n s

36 1. Cet exemple suffît pour faire sentir combien il esP avantageux de substituer des lettrés aux nombres. Quand on emploie des nombres , on obtient un résultat numérique , qui ne conservant aucunes traces des opérations qui l'ont produit > ne convient quà la question qui Ta fourni ; de sorte que si les valeurs numériques des données changeaient ; pour obtenir le résultat , il faudrait répéter les mêmes raisonnemens. Lors" qu'on emploie des lettres , le résultat , indiquant par quelles opérations l'inconnue se déduit des quantités connues, a le grand avantage de fournir la solution de toutes les questions de la même espèce ; pour cela il suffit, dans le résultat général, de remplacer les lettres par les nombres qui conviennent à une question particulière ; le résultat généiral se particularise , el devient celui qiii convient à la question proposée.

Par exemple , si la somme de deux nombres e'tait loo , et leur différence 20^, oa aurait 6 = 100, <7 = 30 ^ substituaat dans les formules O, jy pour « et 4 hors valeurs ioq et ao, il en résulterait. . ,..

■ s . d . . io« . . ao „ , .

ar = = — — ■= DO — 10 = 40 ;

, , 5 ^ <£ 100 , ao ^^ , -

Les uombres demandes sont donc 60 et 4o« Us satisfont h toutes les conditions du problème j car leur somme est 100^ et leur diiFe'rence est ao« S2

U somme. était 79 et la différence ?. ou aurait....

3 , a ,, .» * 3 d 1 ^ = 7 : d=z-: d'où - = 3 > " = ? >

les formules O, U donneraient. . . .

a3 ^7 Les nombres demandes sont donc -7- et -r-* En effet, la somme de c«t

noml>re8 est 7- ou 7 , et leur- difi^ence est -r- ou •=•

Enfin ^ si la' somme de deux nombres est la ^ et leur difftifrence 18 y on auiri

v=l9 tt dzzi9. Les formules C^, ly donneront. . . .

s ^d la i8 g «î5.

ar 4-é/=.- -4--=: 1 = 6 + 9 = -+- i5

Le plus petit nombre est donc — 3 , et le plut grand + i5. Ces noinbftti. •atisfont à contes les conditions da problème , car leur somme alge'briquc est ( i5 — 3) ou la j et comme pour retrancher** 3^ il fant changer son ci|pe, leur di£Fërence est ( i5 «H 3 } ou i8.

3Gîâ. Pour ne laisser aucuns doutes sur l'exactitude des observations que renferme le n* 36 1 , nous généraliserons les énoncés de plusieurs problèmes de l'Introduction^ en remplaçant les nombres par des lettres. Il en résultera des formates générales , qui comprendront les solutions de toutes les questions de même espèce»

363. Les règles que nous axions données dans la i^* partie de ces Élémens , pour opérer sur les INCONNUES , s appliquent évidemment aux DONNEES , car les unes et les autres repré-* sentent toujours des nombres abstraits , En voici des exemples...

( aa -4- 3& ) -4- ( 5a — 7^} 4= aa -f- 35 -+- 5fl — 7^ =t= 7a — 4^ j ^( aa — ^ ) — ( aô — 5a ) r^ an — ô — aô H- 5a 43 7a — 3ô ;

a , c p ^.a . dq c , bq p . bd . adq 4- cbq — pbd ^ b ■*■ d^q ^TTd^ ■*" dTbq " TT^T bd^ '

(5tf — aô) — {3b — aa — c) 4= 5a — a& — 3& -f- aa H- c4=7« — 5b -h cj

aa X 3^ X 5cd^2.3.5.abcd::^zSoabcd^

. ^ 5-*aac\ j aa (3^ — c) (5 — aac) ^^^ 6ab — aac — 5H-aac ^ 6ab — 5^

** KSb—c J"^ {ib—c) ~" (3*— cj"^ 3&— c ""^Jb^'^

fa—b\ /^'in^U\ (a — b) (aa — 3&) aaa — aa&-^3a^4-3/^&, Vaa — cj \ c^d J {'2a — c) {c — d) ^ac-^cc — 'jad-hcd ' /^âj-^N,>^c— ^N ><a--^\ /"aa^3&\ aaa— aa&— 3a&-4-3&& vaa — cj* Vaa — 3b J^ V^aa— cy V c—d J^ aac-^cc^Mid'^cd '•

Les eqnations. ....

^ jT-f-arr^j x-^c=zdi pxr:^q 5 ar:r = f, *Min«at (n©» aSo , a8i , aSi)

SOO é L É M £ If ft

. Poor résoudre Téquation. ...

ax -i — =:ar-f--»

on efiPectuera les calculs d'après la règle du n* agS. Ainsi , on fera d*abord disparaître les dénominateurs^ en multipliant les deux membres par cq , ce qui donnera.. ..

cg.ax -+• ^ ■ ' ■ = cg,dx -+- ^ ' ■ j ou acqx + bq=: edqx + ep.

Passant les termes en x dans le \^^ membre , et les termes tout connus daa» )e a* membre , on aura. . . .

acqx — cdqx =zcp — èq ^ ou ( acq -— cdq )xr=zcp -^bq^

•n en déduit

X = {cp — hq) : (acq ^^ cdq).

364' Les problèmes des n*** 97, 98, 39, etc., se réduisent à par^ tager un nombre connu, en parties proportionnelles à des nombres connus. Pour découvrir les formules générales qui donnent la solution de toutes les questions de cette espèce, nous substituerons des lettres aux nombres connus*, ce qui fournira cet énoncé général . . .

3S5. Partager un nombre connu n, en parties proportion^

nelles aux nombres connus p', p', p** (*). Pour abréger, nous

représenterons la somme (p' +p" +p'*) par s ; et raisonnant

comme dans le n® 100, on dira : si le nombre à partager était

(p'+p*' -f"P*')> ou s y les parties seraient p\ p*, p". Consé-

quemment , si le noinbre à partager était s divisé par ^ , ou 1 ,

les nouvelles parties qui seraient les précédentes divisées par ^ ,

r/ n" n" deviendraient f- , £- ^ fL, Mais le nombre à partager est n

(*) Les lettres ;>', p", p" désignent des nombres quelconques; les accens'f ", ", placés au-dessus de la lettre pyse jirononcent prime , seconde y tierce ; de sorte que p', p", p^ se prononcent p prime , p seconde , p tierce; la lettre p, initiale de proportionnel , est destinée à rappeler qu'elle reprc-* •ente des nombres proportionnels , et le nombre des accens marque le rang des parties auxquelles ces nombres sont proportionnels ; ainsi p^, p", p'* ï •ont respectivement proportionnels h la ir* partie, à la a® et à la 3*. ]^(ov% !■ faon* bientôt coDuatcre les ariAtages qui rcsôltcat de c«tte notation* K

«^ A L G t 9 R C. SkOt

{ois 1 on n 3 les nouvelles parties sont donc n fols plus grandes que les précédentes ; on a donc ...

i'* partie = -^ ; a* partie = -2- ; 3* partie = -^.

Ces parties satisfont à toutes les conditions du problème»' Leur somme est identiquement égale au nombre n à partager i

car.. .

¥ y »P' l "f^ -p ^iP'-^P'+P"i -f- "^ rjnn.

Et comme en supprimant leur facteur commun - , elles de-v

Tiennent les parties proportionn elles p', p", p*, elles conservent les rapports demandés (n** loo).

Voici une solution plus directe. Puisque les trois parties doivent être proportionnelles aux nombres p', p*', p** ; si la i'* est p'x ; la a* sera p*x , et la 3* sera p*x ; car en supprimant le facteur commun x , on voit que les trois parties sont dans le» rapports des nombres p\ p", p" ; mais la somme d% ces parties doit coçiposer le nombre à partager it ; on a donc . . .

Le premier membre est composé de x pris un nombre da fois marqué par (^ p' -^ p" -^ p" ) , ce qu'on indique ainsi Xp' + p" +P*')^> l'équation précédente devient donc...

n (p' ^-p^+p*) x = /i ; ou^a: = n; donca7=-.

La substitution de cette valeur de x, dans les expressions des trois parties , donne . . .

(jP) !'• partie =p'j:=—; a«=p*'x = ^— 5 3«=p^J:=i-

- 36G. L'examen de qes formules conduit à cette règle générale: hJPour obtenir une partie, divisez le nombre donné, par la Isamme des nombres proportionnels, et multipliez le quotieni

,par k nombre proportionnel à la partie que vous cherchez. Le îtctf sera la partie demandée. Il est évident que cela a lieu,

ÎXO* ÉLÉMENT

quel que soit le nombre des parties. Si l'on applique cette T^^^ au problème du n* 97 , dans lequel ils*agissait de partager 35 , en deux parties proportionnelles aux nombres Zet^\ on divisera le nombre donné 35^ par 7, qui est la somme des nombres proportionnels 3 et 4 j le quotient 5 , multiplié successivement par les nombres 3 et 4 > proportionnels à la i'* et à la a® partie ^ donnera i5 et 120 pour les parties demandées. Ces résultats s'^ cordent avec ceux du n® 97. La même règle appliquée à la question du n* 99 , dans laquelle il s'agissait de partager 45 , en trois parties proportionnelles aux nombres 3,/ 5^ 7, conduira à diviser le nombre donné 45 > par la somme i5 des ♦nombres proportionnels 3, 5, 7, et à multiplier le quotient 3 par les nombres proportionnels 3, 5, 7,; les produits 9 , i5, âi y exprimeront les parties demandées : ce qui s'accorde avec les résultats du n*' 100.

3S7. Les formules (F) jouissent d'une propriété remarquable ; en changeant dans la valeur de la i*^* partie, p' en p^, et ré- ~ ciproquement p" en p' , la somme s des nombres p', p", p**, ne

tfn change pas, et l'expression de la !'• partie devient i- — -, valeur

qui est celle de la »• partie. Il est facile de voir à quoi tient cette circonstance ; en effet , si au lieu de chercher la 1^* partie , on cherchait la a® , au lieu d'employer p', qui est relatif à la 1'* partie, on emploîraitp" qui est relatif à la a*; et les nombres n et j, n'ayant pas plutôt rapport à une partie qu'à une * autre , entreraient de la même manière dans le résultat. La -^ a* partie ne doit donc effectivement différer de la i'*, qu'en .^ ce ,que p' est remplacé par p". On peut encore dire : puisque 9 les parties demandées sont p'o; , p"a:, p'^x \ il suffit , dans Te^cpres- S ' «ion de la 1'® partie , de changer p', «n p" ou en p^ , pour ob-' t tenir la a® ou la 3* partie, car par ce changement, p^x devient Bp"x ou p^'r. Cette propriété est de la plus grande importance. L=. Pour l'instant , nous nous bornerons à l'appliquer au problèxnM ^ ./qui suit. . . 'If-