En général, /"EXPOSANT d'une lettre indique combiea^jt

de fois l'unité est multipliée par cette lettre. De sorte que pour ^

obtenir la valeur du produit indiqué par une lettre affectée dun ^

exposant, il suffit décrire l'unité, et de mettre à sa suite la^

t)*ALGÉBRE. â09'

fettnp autant de fois facteur qu'il y a d*unités dans l'exposant / !e résultat exprime le produit. Ainsi , la valeur de b^ est l X*X AX î, ou i.Wi; celle de c* est i XcXCXcXc, on 1 .cccc ; celle de 6î est i X i , ou 6. Cette convention s*apjlique aux nombres et ;iux polynômes ; la valeur de 5^, est 3 ^atre fois facteur , ou 3.3.3.3, ou 8i ; la valeur de lo' est lO.io.io, ou looo. Pour indiquer le produit de 3 ^F'Vteurs ^anx au binôme (,a + b), on écrit (a + i)^; rer.prèssioD (a— i — c)* indique le produit de (a — i— c) par {a^^b — c).

379. Les produits de facteurs égaux ont reçu le nom de fuissances. On désigne cette puissance par le nombre de fac- Upn égaux dont elle est formée ; et Tun des facteurs égaux Bnomme la racine. Ainsi y b^ ou b, est la i*^^ puissance de 6; Hou M y est la a^ puissance de b ; b^ est Ja 3* puissance de 6 ; ■ eit la 7* puissance de b. On a rompu l'uniformité de cetto nomenclature,, en introduisant des notions de géométrie ; on dit ^e i* est le quarré de b, et que b^ est le cube de b, Récipro- (pement ,. b est la racine 2' , ou la racine quarrée de i* ; b est la racine 3' , ou la racine cubique de P \ b est la racine 7'

38o. En général, la m* puissance rTune quantité est le produit formé de m facteurs égaux à cette quantité ; et réciproquement f la RACINE m* d'une puissance , est la quantité qtûy prise m fois facteur , reproduit la puissance. Ainsi , b eit h racine quatrième de M, parce que b , 4 fois facteur , donne b'^ ; là racine cinquième de Sa est 2 , parce que a cinq fois facteur, on a. a. a. a. a , donne 3a.

D'après ces conventions; la a* puissance de 10 , ou le quarré de 10, est 10 fois 10 , ou 100 ; la racine a' ou quarrée de ico est 10. Le cube de a, est a X 2 X ^ , ou 8; la racine cubique de 8 est a ; la 4* puissance de ^ est ^ X J- X -/ X -J ou ^7; la ,ncine 4' de 77 est |.

On indique la RACINE d'une quantité, en couleront o0

\tpwntité du SIGNE V/"~, nommé radical, erttre les branc t\ auquel on met le nombre qui marque le DEGRÉ ou FlViUlCÉ

aïO iS^L É M E M S

/a racine. Ainsi', V^.o? indique la- racine cinquième de cr; sil

valeur est a. On est convenu que les expressions V'a*, V/û% indiqueraient également la racine quarrée de a^; l'indice 2 est alors sous-^ntendu.

38i . Vaddition et la^oustractiondes quantités affectées d-ex* posant s* effectuent d! après les règles des n^' q3i et a33i Ainsi. .

Sa' + 70*=+= 120^; iQa^-^St^^jc^.

3822. Le produit^ de deux quantités étant forme de tous les facteurs dû multiplicande et du nmltipUcoiteur ^ il en résulte que le produit des puissances d'une même quantité-, a pour exposant lasomnœ des exposons des facteurs. Ainsi, le pro-" duit de a^ para^ est a^ ; car a^ étant 5 fois £actenr dans a'; et a fois facteur dans a*, doit être 7 fois facteur dans le pro-** duit. Par la même raison. • .

En général, si p et 9 désignent des nombres entiers positifs-^, •|i aura. . .

Nous démontrerons que la même propriété subsiste , quand p et q sont quelconques.

383. lorsqu'un produit contient plusieurs puissances d^une même lettre, on peut n écrire cette lettre quune seule fois, en Fctffectant d'un exposant égal à la somme des nombres qui mar^ quent combien de fois elle est facteur. Ainsi, (B. n*^ i54 et i56)..-

t^b^c' X a^b^'ù =f=. aV X i*3* X C'c' 4= a^b^c^ aa5x5i♦x3a7=faa.5.3.a^a^M4:3oa^•M.

384- Le nombre des facteurs simples contenus dans unpro^ duit, en constitue le DEGRÉ. Ainsi , les produits abcde, af'b^, ab^ contenant 5 facteurs simple» (m premiers , sont du cinquième degré ; on disait anciennement que chacun de ces* produit» avait 5 dimensions. Cette dernière manière de s'énoncer est inexacte. (Voyez la Note de la page 42 de la 5» édition d* 'Algèbre de M. Lacroix.)

d'à L G É S ft £. âtl

8M. Vhpôfynôjne est dit homogÈHe , lorsque tous ses termes Wrttdii même degré. Ainsi (a^ -f a*&) > ^st un polynôme ho^ mogèriB du tfôisièmè degré. Les coefficiens numériques ne comptient poiht dans lestilnation du degré des quantités algé«* briques ; on n"a égard qu'aux lettres. Ainsi , aa*b^ — 76^ , est un polynôme homogène du cinquième degré»

386. L'emploi des lettres doit rendre les démonstrations plus faciles. Eu effet , conune on se borne alors à indiquer les calculs y on peut fixer toute son attention sur les raisonnemens. Pour en donner un exemple , nous démontrerons la règle donnée (n** a^S ) , pour la multiplication des polynômes. Le produit de a par A étant ab ; celui de (a + c) par b , sera (ab -}• bc) , carie midtiplicande a augmentant de c, le produit ab doit augmentef de b fois c ou de bc (B. n? i53). Le produit de (a + c) par d, sera (cd-+- cd% Le produit de (d -p c) par 5 ^ étant (ai -f- 6c) ; celui de- (a -|- c) par (i + d) sera (afc + ic + ofl -}^ c£l) y car le multiplicateur b augmentant de d, le produit (aé+ic) doit augmenter de rffoisle multiplicande (a + c), 01- de (arf-f- crf). Le produit de a par c, étant ac; si le multiplicande a diminue de S , le produit ac diminuera de. c fois b , ou de 6c; le produit de (a — A) par c, est donc (ac — bc). Par la même raison , le produit de (a — b) par rf sera (ad — W). Le produit de (a — i) par c, étaiït (ac — bc)', si le multiplicateur c diminue de Jet devient (c — d), le produit (ac — bc) diminuera de J fois le multiplicande («— 6) , oude.(œi — W) ; le produit de (a— 6) par (c— rf) est donc (ac— Ôc-^ncf •+-6rf)- On a donc . . .

(a + b) (c + di^ac + bc + ad-^M (a — b).(c — d)::jaac-^bc — ad-\^bd.

La comparaison des termes des facteurs avec ceux du proèuty-démontFe la règle du u'' 7:éfi.

K7. Pour mettre plus ffordf-edans la formation du produit Je deux polynômes , et faciliter les réductions dont ce produit êst susceptible, on dispose les produits partiels de manière que