É L É M EN S

les termes semblables se trouvent les uns sous les autres. A cet effet , on écrit les termes du multiplicande et du muliipli' cateur\ suivant tordre indiqué par les grandeurs des exposant d'une même lettre , prise arbitrairement. On dit alors que le$^ facteurs sont ORDONNÉS (*). Par exemple, pour former le produit de ( 6^ -f- a*i + o^ + ab^ ) par (46* + 3a»— 3a*) , on ordonnera ces facteurs par' rapport à la lettre a\ et disposant les uns sous les autres, les termes semblables des produits partiels, on sera conduit au calcul suivant. . .

Multiplicande.... a'-f- a«i-f- ah*-¥b^ Idoltiplicateur. . . . 3a* — ^ah -+- 4^*

■ . fZa^-^^a'^b'^Za^b*-^^a*b^ ( i*' prodml)

Produits I 3^4i 3a3i.— 3a«53-.3fl^4 ( a» produit)

parlieU |^ -^^n^-^^^b^-^-^ab^-^ib^..,, (3* produil)

Produit total 3a« •^l\a^b*'^^*b^-¥ ab^-^i^b**

PoUr effectuer cette multiplication^ on a d^aboid multi|)lié le multiplicande par le lei* terme 3a* du multiplicateur, ce qui a donné le iti^ prodoit partiel. Passant an a^ terme du multiplicateur > #n a multiplie chaque terme dû multiplicande par — ^ab , ce qui a donne le a* produit paiptiel^Ja multiplication par le dernier terme ^b* du multiplicateur, a donne' le 3* produit partiel. On a placé le i^r terme de chaque produit partiel, aoof le terme «emblable du produit partiel précédent , ce qui a conduit à ayancer chaque produit partiel d'un rang vers la droite. ÀYec cette attention , l«i termes semblables des produits partiels se trouvent naturellement placés les uns sous les autres , et les réductions qui résultent de Taddition de ces produits , 8>fi%rtuent sans difficulté. Par exemple, pour ajouter les termes semblables -♦•3a^i», — 3a'ô*, -+• ^a'^b* , il suffit de regarder a'^b* comme une quantité qui est prise un nombre de fois marqué par la somme algébrique de ses coefficiens H- 3, — 3 , -4- 4 i cette somme étant -f- 4> on voit que les termes eu à^b* se réduisent à + ê^'^b^. On a effectué les autres réductions de la même manière, ce. qui a donné le produit total. On parviendrait au même résultat , en chaugeant Tordre des facteurs. Si l'on donne des valeurs numériques arbitraires aux lettres a et 6 , on verra que la valeur numérique du produit total , sera toujours égale au produit des valeurs .

(*) Cette considération n'est pas particulière à l'Algèbre ; car en Arithmétique, les uuiiés]dee différeus ordres se tiouvent nulurellemcut .classées suivant leurs grandeurs.

d'algèbre. di3

HWnériqves dei fadeurs. On trouvera de la même manière.../

388. Lorsqu'un polynôme est ordonné , chaque terme est la somme algébrique des monômes affectés de la même puis^ 'Sance de la lettre par rapport à laquelle on a ordonné. De sorte

que le premier terme est la somme algébrique des monômes affectés de la plus haute puissance de la lettre petr rapport à laquelle on a ordonné. Les coeffieiens de cette lettre peuvent donc être des polynômes ; on les ordonne par rapport à une autre lettre. On dit alors que le polynôme proposé est ordonné par rapport à deux lettres. Ainsi , le polynôme. • .

ordonné par rapport aux deux lettres a et i, devient

(Sfts+i*— i)a3 + (46»— 3i)a* + (3is— i* + M— 7).

Les termes sont ordonnés par rapport aux puissances .décroissantes de a ; et les coeillciens des diverses puissances de a sont ordonnés par rapport à 6. Le i*' terme est (Sé'+fc*— i) o^; le »• terme est (4**— 36) a* ; et le dernier terme est (3i^— 6* + 64 7),

389. Si Ton proposait de mnltiplier &a* + 3 — &a — a* 4- <> * par e> — & -f> ah* — i-^ab y on onlonnerait ces denz polynômes par rapport aux lettres a et & ; ce qaî conduirait au calcul suivant. . . .

{h — \)a*~-{b — i)a-+-3 Multiplicande.

(i*-4-&-f-i)« — (^-hi) Multiplicateur.

(^iX*»-*-*-+-i)«î— (i— i)(i--+-A-»-i)a«-»-3(A--»-A-+-i)a IproduÎM

.— (fr— 1)(5 •¥\)a* -+-(*— i)(5-+-i)a—3(5-hi)j partiels»

Pour obtqpir la somme de ces denz produits partiels , on effectuera Itt maltiplications indicées , ce qui donnera. . . .

(&— i) (fc' -♦-&-+- i)=#iô'-i; (ô—i )(&-+- 1)4=*' -M les coefEcîens de à^^ de a* et de a sont donc. ...

(^î— ,), {«.^3.4.i ft«+i), et (3^>+3ft4-3 + 6« — tX

Sl4 £ L É M E K »

lu se réduisent à..*.

X«c produit demandé est donc ....

( Aï— i) «3— ( *»-♦- 6« — a) a* -4- <4A«^3* -♦• a) a — 3 (* -♦- i).

3go. QuQjid les facteurs et le produit sont ordonnés par jrapport d la même lettre^ le i*^ terme duprQduit:exprime né» xessairement le produit dui^ terme du muUipiiccaide parle 1*^ terme du mult^licateur. Cela, est évideot > carie tMm affecté du plus grand exposant dans le produit » ne peut t^ sulter que de la multiplication des termes affectés des plas grands exposans dans les facteurs, hà division dès polynânmi se déduira de ce principe.

Sq 1 . Le produit du diviseur par le quotient , devant être égal au dividende (n° a5o).^i t'oH supprime ifans le diuidêndê tous les facteurs du diviseur , le résultat exprimer4i. U .;guotient* Les règles relatives à la division se déduisent avec facilité de ce-principe, et des règles données pour ia multiplication.

3ga. £a règle des SIGNES , est la même que dans la mul^ tipUcation, Lorsque le dividende 'et le diviseur ont le mênui .signe i le quotient a le signe ^; et lorsqu'ils ont des signes ■différens^ le^ quotient a le signe '-^^ (ii° «5i).

5^5. La règle des COEFficiens , est de diviser le cordent •du dividende par celui du diviseur; le résultat exprime le coef" ■ficient du quotient. £n effet , le coeificiûit du dividende étant i le produit du 'coefficient du diviseur par celui du quotient; [ si l'on divise le premier coefficient p^r le second ^ ^^ ^^^^ ; trouver le troisième,

394' La r^gle des lettjies., e^t de supprimer dans le êir \ 'i/idende toutes les lettres qui composent le diviseur ; 4e- résulkd \ rexprime les lettres du quotient. Cela résulte de ce giie le di** vidende contient toutes les lettres du diviseur et du quotieét. Ainsi ^ le quotient de abcd par «J ^ est hci c5elui de abcde par acd est be.

^5. Lùfsqi^ie dividende ne.contient pas tous les facteuH

D' A L G £ B R E. ai5

^diviseur, -le ifuotient nestipas ejoast ;.on supprime les facteurs communs; la fraction irréductible qui en résulte , exprime ia valeur du quotient y réduite à sa plus simple, expression.

Ainsi. . •

iBabc , 5a.5'bc , 5bc

aifloe "^ Sa.'^de j'de

3g6. Dans ladivision de deux puissances d'une même, lettre ^ Ta règle des exposa NS est de retrancher V exposant du diviseur JU.cmbsi'du dividende ; le reste exprime l'exposant du quotient; ooTy l'exposant, dn dividende étant la somme des exposans du divîacur et du quotient , si l'on retranche le second exposant du .premier , le reste sera l'exposant du quotient. Ainsi ; lô quotient de i^ par 6^, est i*"', ou i'; celui'de b^ par M, est i'"^4^ ou V. On peut le démontrer directement ^ car. . •

597. 'Jba, démonstration de cette règle suppose que'Fèxposant ditJitâdende est plus grand que celui du diviseur. Voyons s'il, est possible de la rendre générale ^ en appliquant la définition du n** aSj , aux exposans :

l^. Lorsque l'exposant du dividende est plus grand que celui du diviseur , on peut effectuer la soustraction arithmétique , et ie reste positif y exprime l'exposant du quotient (n^ Sg^). Ainsi ^ le quotient de. la division de i^ par b^ est b^"^^ ou b^ ; oar le dixiseur i^,- multiplié parle quotient ^'^/donne le dividende &7.£n féoéral^ p et m désignant deux nombres entiers positifs , si p «?t plus grand que tm,^ le quotient de bP par i"* sera 4'*""'*. Cherchons à rendre cette formule générale > p étant moindre que m , ou égal à m.

â°. Lorsque l'exposant du dividende est moindre que celui du diviseur y 4»n ne peut plus effectuer la soustraction arithmétique , ^et si l'on appliquait la règle, J^exposant du quotient serait négatif. Par exemple , le quotient de P par b^ serait Jf^ ou b"* \ kiterpréton^ ee résultat. D aprèe les netîfens 4UnA«

métiqnes^ le quotient de b^ par b' est indiqué pûr-v^ ou par

y. i 3 ; supprimant le facteur i^ ^ commun aux deux termes

de cette fraction , le résultat -7- indique le quotient demandé.

Mais pour que la règle du n"* 396, soit applicable à ce dernier

cas y il faut que t- soit identiquement égal à A"^; examinons |

donc , si la déCnition des exposans , combinée avec celle det 1 signes, peut conduire à cette identité. Les expressions 6^ i**, 8ont équivalentes à \,b.b,b.b\ de sorte que Vexposftnt positif - -f- 4 > indique que l'unité doit être multipliée par 4 facteun égaux à b \ pour que b"'^ , soit égal à 1 ; M , il faut que texpo* 9ant négatif — 4 > indique que Tunité doit être divisée par . 4 facteurs égaux à 6; TeaT^o^an^po^if/f indiquant des mullipU^ cations f V exposant négatif doit ^ donc indiquer des divisions; ce qui 8*accorde avec la propriété reconnue des signes + et — > i d'indiquer lei^ manières d*etre opposées des quantités. Nous : adopterons donc cette définition, afin de donner à la règle du ^ n® 396 , tQOte la généralité qui convient à Talgèbre. s

3®. «Si les exposans du dividende et du diviseur étaient égaux ^ en appliquant la règle , on trouverait zéro pour t exposant du, quotient. Par exemple, le quotient de b^ par insérait 6^""^, ou i*; mais le dividende étant égal au diviseur » le quotient est Tunité; la généralité de la règle exige donc que ^° =^ 1 . Il s*agit donc d'examiner si la définition des exposans conduit à ce résultat. D'après cett« définition , i* indique un produit dont les facteur» sont 1 , A , A ; donc b"" doit indiquer un produit qui n'a pour facteur que l'unité, car l'exposant o indique que b n'est pas facteur dans le produit. L'identité i°=|= 1, résulte donc delà définition des exposans (u° 378},

398. Ainsi, pour que la règle du n^ 396, soit générale^ il suffit de regarder les signes -f ^^ — > comme indiquant Us manières d'être opposées^ des 'quantités. L'exposant POSITIF

indique des mvltiplicahows , l'exposant jnégatîp ràfifu*

d'algèbre. S17

les DIVISIONS ; et toute quantité affectée de l'exposant o ^ est 'gaie d lunité. D'après cela. . .

>£n général^ P ^^ Ç étant des nombres entiers positifs. . . of : cfl^aaF-i; û-'"4=i : a"»; d'où û^"=f=i : a"".

Dans ces identités , a et & désignent des quantités quelconques^ monômes ou polynômes. Ainsi

Sgg. La règle précédente donne le moyen d'écrire les frao« .tiens, BOUS Ta forme de quantités entières, car on peut faire {passer les facteurs du dénominateur, au numérateur ^ en changpant les signes des exposons de ces facteurs. Ainsi. . .

400. Les règles des n^* 383 et 3g6 conviennent aux exposant entiers ^ positifs et négatifs ; le produit des puissances d'une même* quantité , a pour exposant la somme algébrique des exposons des facteurs. Pour ' ^Mserdeux puissances d'une même quantité Pune par l'autre, il su fit de retrancher l'exposant du diviseur de celui du dividende, d'après la f^gle du n** 3g6; le reste exprime l'exposant du quotient. En effet, si ptîq désignent des nombres entiers positifs , on a démontre que. . . .

.^ais^arHi aPiai^iaf-ii «-fs^i:a+^i i:a-P=t=«+f.

On ea déduit..*.

• af af^ aP i^^af^^ . . .«-,»•

[€k a donc. . . ^

^'lUfisions flf i«f4aa^-f j «^:Vr-f#w^H j ertim »H

-scS

')Les résultats^ «9pvî«i4>l>«r«c«s ldeniktti,xU!inentft»t la r^gle^^DOttcëe. 'Oa ea déduit....

«3 . tf-3 =|3 «5-5 ci. fl« 43 1 ; a» .^^5 4r n»-' =t= «• ; .«-««5 4»rfr-ît+î a^<r-» (a -4- 4)7 . (a -4- A)-î.(« rf- A)»4: (a -♦- A,)7r-î+5.4r (a -♦- é>.

4oi. La division des monômes ^e::pouvaot plus nMi^ ^

difficulté , passons à la division complexe. JLe dividende .devant

toujours être considéré comme un produit dont le diviseur et

le quotient sodt les farieurs -, il est naturel d'examiner com-

.^nent on forme le produit 4e deux polynômes, afin ti'cn dé-

•,dttirele procédé >d'après liequel on* pisut décomposer ce prodknt.

Multiplication eu for'-

'J^wiiù>nyAMi,ééoompoÉitùm éPun^^prodltk.

mation tUun ^oduit»

i*»" reste,'. . aa*54-7tf5A«:+-34i«4»

^« M^te .^Wyk-l^'à^

3' rMfe ,., o.

Si Ton (Compare le {u-od^ a(-4- 5a13.7f- ^a^* f^^a^b^, vimc^-m^^um^ (a^ -4-3flr*ft j et (a* + ^^b 4- 4*) , on verra gue les factean ^tant ordonnéepar rapport à a , les prcklints partiels et le proldùit tothl sont aassi ordonnés f et le i«ir terme a^ du produit total est le prodnitdu i*' tciOiftÀ^dn «Millii^ cande , par le itr terme <i* du multiplicateur (n^'Bgs). Le diuidende , le di^ir teur et le quotient étant donc ordonnés ^ le i*** terme du diyidem exprime le produit du i*»" ^r^me du dit^iseurpt^r le i«'"terfne du que*^ tient; de sorte qu'yen divisant le i*** terme a* du dividende , par lei^. terme a^ du diiHsewr ^ le résultat tfii jbï^ r>«i a*, sera le i*' terme quotient. CherçhQus le ;i« terme de ce quotient. Si le produit du i«' tei^ du diviseur par le a* terme du quotient était- connu , en divisant ce prodoir par le i^^^çcme du.,dix.iseur, 1b résultat, scrah le;i« terme du q^otient• Ot| avec un peu d^attrntion, on voit que pour trouver ce produit, il, suffit Jn^ retrancher du dividende le produit («*4-3a44) du diviseur d^-h \à^t le 1er terme a* du quotient, car le dividende exprimant la somme ^àesi 'j>ix><faiits paxtida. du idi^ÛMsar .a^-iH^a*!^: psur Jes tEois iexmcs a?^ %ak 9. J*

IX'ALCiBRE. ùlQ

■9timt.> m Von-.ntXMnthe do dividende le |>rodujt du diriseor par le ** MVIQC/i* dp ^potieat, \e reste aa46 4- ^«3^* ^-3a>^) exprime^ le Rodnit da diviseur par lei deux autres termes du quotiept ; le i«r tenue m*b de ce produit aéra donc le produit du i«r terme du diviseur par le i«-lpiaiu dn <fM>tient (n^dgo)'. La diuiêion du \*' terme aa^b du \*' reste mr.ic 9^^^rmeA* du diviseur p donnera donc le a* tenue aab du quotient. ISfifiltft^i l'on retrancbedu i*r reste,* Je produit du diviseur jiar le i* tern^B da <pio|icnt^ le résultai a^b* -4- 3a*&^ sera le produit du diviseur par le S* teroie da quopent. Le i«v terme a^b* de ce a* reste, sera donc .le frodnit du i«r terme dn diviseur par le dernier terme du quotient ( n<> 890 ) ; k diniiMijde ét^b^ par m>, donncsa donc le dernier • terne b* du quotient. 3l«irmclniU<dtt-a« reste le ■ produit du diviseur par le dernier terme du MMiticpt s.le 3* reste sera zéro. Pe sor^e que le quotient total est A*H-!ki&-4-&*. ^ en cfièt , le ^viseur multiplié par ce quotient , reproduit le dividende.

4oa. On doit remarquer que pour effectuer cette division, il suffit de '^ \imisoQ9cni«V €»ployës dans l'Aritbmétique. La recbfrclie IBQn^QPI^ qui compoient :1e quotient littéral , correspond à la rechercha tfla duKâens chiffres du quotient numérique) mais comme dans chaque veste iyie produit du i^^ terme du diviseur par le i*"* des termes du quotient h-mUnt k découvrir , eat en- évidence^ -la division algébrique a le grand i^m^exiger tkttçMn-tdtoanemeMt ; et .sous œ point de vue, elle \m pinurXiçtlie que |a division ff;ritl)]uéL|que.

4o3, En, général > le dividende exprimai^ le produit du divi-»- •eur par le .quotient , lorsque le dividende , U diviseur et le jouent sont ordonnés par tçpport à la même lettre , le i"* ternie du dii/îdende est le produit du i*^ terme du diviseur par le X*^ terme du quotient; on obtiendra donc toujours le i" terme du quo^ienjt, en divisantle 1 ^r terme du dividende par le 1 "" terme <Iu 'diyisB\ir. .Le dividende exprimant la somme des produit^ ]0rti/el8 du diviseur par tous les termes du quotient; «i roa

C Tanche du dividende ^ le produit du diviseur par le i^** terme ^ .Retient ^ le reste exprim^era le produit du diviseur par 4ons les termes dû quotient , excepté le i**". Ce 1" reste it donc être coq^idéré comme le produit de deux facteurs ; •de-c^es'facteurs est le diviseur; l'autre facteur est coinde tous '^es' termes du quotient » excepté le i**^ ; \% ^ttitm» de ce dernier facteur est donc le a^ terme du >Bt. Le -ï*^ terme du. 1" reste sera donc le produit du ■terme du diviseur pKr le a* terme du quotient (n* Sqo); ^taii^isiondu i*^ terme- de ce 1'^ reste, par h 1'' tsmie du

.fiâO É L é M E N s

• diviseur, donnera donc le fl* terme du quotient. Par laf liiÀol>| rason, si Ton retranche du i*"^ reste , le produit du diTisetf] par le a* terme du quotient, on obtiendra un a* reste .qa^ exprimera le produit du diviseur partons les termes du quo-j .tient, excepté les deux premiers; le i*"^ terme du a^rest» sei»^ donc le produit du i**" terme du diviseur par le 3* terme dà quotient; la division dit i" ternie du a' reste, par le i'*" U du diviseur , donnera donc le 5' terme du, quotient. Si ton cot^ tinue les mêmes raisonnemens et les mêmes opérations , olk \ obtiendra successivement tous les terpies du quotient^ en di* irisant chaque fois le i'' terme du resté ^ par le i^ terme i^j diviseur. '

• 4^^-' Lorsqu'on parvient à un reste égal à zéro , le quotiaâ' obtenu est exact y car ayant successivement retranché dpdî^ vidende, les produits partiels du diviseur par les termes du quch* tient , c*est comme si Ton eût retranché du dividende , le produit; du diviseur par le quotient obtenu ; mais le reste de cette «ois-; traction est zéro; le dividende 'est donc égal au produit dà, diviseur par le qiiotîent' obtenu. Ce quotient est donc exact.

405. Cette démonstration de la méthode que l'on suit pourl effectuer la division algébrique , fait seiitir la nécessité dorA donner le dividende y le diviseur et les ^restes successifs , pat\ rapport à la même lettre; car sans cette précaution , le i*' termi de chaque reste , pouvant provenir de la réduction de plusîeanj termes deo produits partiels , ce i**" terme ne serait plus le pnirl duit d'un terme du diviseur par un terme du quotient; ladi-i vision de ce i*' terme par un terme du diviseur, ne dpnnera^j donc pas un terme du quotient, it est donc nécessaire dot^

donner. ' ■

406. Les raisonnemens précédent conduisent à cette r< générale : Pour diviser ^deux poiyt^ômçs lun par Vautfe, posez les calculs comme en arithmétique^ (A. n° 90 ). OfdoniaA le dividende et le diviseur par rapport dune même lettre-^ commentant par les plus hauts expasans. Divisez le.i'-tfi du dividende par le i'^ terme du diviseur j le résultaê sera}

D\A L G È B R fi. aai

l*' terme du quotient. Retranchez du dividende le produit du

lùdseurparle i*^ terme du quotient; vous obtiendrez un i" reste.

J^iHsez le 1*^ terme du i"" reste par le i*^ terme du diviseur, le

'ésubat sera le a' terjne du quotient. Retranchez du dividende ,

Db produit du diviseur par le a' terme du quotient; vous trou^

Hrez un u* reste. Divisez le \*^ terme de ce a' reste , par lé

1" terme du diviseur y le résultat sera le 3' terme du quotient.

Continuez à opérer de la même manière ; vous obtiendrez suc^

usswement tous les termes du quotient , en divisant chaque fois

h 1*^ terme du dernier reste obtenu , par le i" terme du diviseur.

Lorsque vous parviendrez au reste zéro , le quotient obtenu sera

eocttct; et si vous n'avez pas commis de faute de calcul, le di"

viseur multiplié par ce quotient, donnera un produit qui sera

^égal au dividende. En appliquant cette règlk à des exemples,

\ûn doit avoir soin d* ordonner le dividende, le diviseur et les

■■ restes successifs , par rapport à la même lettre. Pour soustraire

les produits partiels du diviseur par les termes du quotient , on

écrit les termes de ces produits , en changeant les signes -f^

CI» — , et les signes — en -^ (n? 233). On effectue ensuite les

réductions, et l'on ordonne le reste. Les coejfficiens de la lettre

par rapport à laquelle on a ordonné , pouvant être des poly-^

nomes ; on les ordonne alors par rapport à une autre lettre.

Appliquons cette règle à la décomposition du produit forma

dans le n^ 387 ', et proposons-nous , connaissant le produit et

le multiplicande , de trouver le multiplicateur. Yoici le calcul.. .

-.3tf«— 3<i4ft— 3aîi«— 3fl»ô3

ZTéste.... — 3a*&-*- a^b*-^ a*b^-k* ab^-h^b^ '^3a*b'h^a^b*'*-3a»b^'h3ab^

Zab-h/^b* quoi.

reste -+-4fl'^*-»-4«**^-»-4«^*'»"4^*

— 4aîA>— 4fl«&5— 4aA4— 4A«

^ reste « o

3a 5 i^'' terme

a' ' du quot.

— 'ia^b , - ,

r- r±>— 3ao,2« terme.

^ :|>+-4^*,3« terme.

Le !•' terme 3fl* da <1ividende , divise par le i«r terme a' du divisent , dàanié l» i«' Urme 3a* du quotient. Ou a multiplié les termes du diviseur

jlM É L é M* E K' s

par 3ff«-;«t paÂTMiiittaîreJe produit du dhrîkea^ pin*- lè^tiM'tèittl quotient,, on a écrit 8ou« le dividende les- prodiiitS'partieli'd^'tieinii "viseur par 3a^, en changeant leS' signet de cef produits (n*' a23).;^f lès réductions, on a trouvé le i*^ reste. La dirisiondu i«r terme -— ce reste, [lar 1er i««* terinerH- a^ dn diVisrar, adcmtié'— -Sh&'pour lé î da quotient. Où tt émince multiplié lé' diviliMir pèr -• 3ab^ etr ch les signes des produits partiels, pour effectuer- la soAostractiou , on a' résultat sous le i*^- reste j les 'réductions- effectuées ont donné l^'^^ r i*!* terme -+• 4a'6" dcce a* reste, divisé par le i*^ terme a^ du di^ dmmé le 3« terme + 4^> dc^ quotient. Itettatfâhant du a< reste le prc diviseur par le 3* terme dtt quotient, lè»re9Ce*-9''est rédnit à^ëfo: tie\ exact est donc 3a* — 3ah + 4^** Et- eu effet., le diviseur nknlt^ quotient , reproduit tt dividende (n*387}. On' peut- remapqpcx'f «xemplé , que les multiplications du diviseur par les differens te/ quotient, peuvent- produire dbs termes qui ne se trouvent pas dividende; ces •termes sont ceux qui? onV disparu lorsqu'on a n produit du divUeUr par le- quotient» C'est ainsi que' dttn» l*èflei n<* 387 , le produit — 3aAh. du i«r terme da multiplicande- par- le 2 dii multiplicateur, ayant disparu du produit total; dans la divisio pi-odiiitpar le multi^liisande , là multiplication du diviseur par le i« dtt-qnoâeoC'a déiihé-' lé- terme* — 3«i4^, qui- ne* s^ trouvait pas divîdendo.

]^ ËU^i^ pMirront* s^exereer sur leS'âoemptes qnt suivent: a*-^ B* fxi -- b

L Ifl' -+-• a*b "h ab* -f- b^ Quotient*

Preuve,

flî -4- 'a»b -*- ab* -f^ b^' Multiplicam a — ô MultiplicatB

a* -+- a^b -f^ a*b* -+- ab^

— a^b — a'b» — ab^ — ^fi

ai -ff a^b'

ml*

aib*' <r»ft*

ab^

ab^

bi

Mester. . . . o J «4 — ^ Produit total

IJonc...

(«4— ô<) î(a— ft)=f=tfî-4-a*fe-+-flô' •+- b^,

PbtÉT diviser b^à* — ^4 — ab^ -+- a^b» -h aa*Ô -h lab* ^a^b — a*b — b* -4- la. On- ordonnera le dividende et le divifieur par rapf j|tftM"'â^j c% qiii cdndaûra au calcul suivant.

D'ALGtBJtC. fisf

• +^îa«-f-a6««— .A4

^*^'^#.i^q^î±i:WA-0-

•^b^a* ba»,b*

on dn i>*r terme^ ( £^-^ i } a'da dÎTidende, ptr. 1< i^r terme -Am*' , a donne le !•' terme* (&—i}a du quotient. On a ensuite i«i»

dÎTiHende , le produit du divÎMurpar le i*' terme du quotient* onn^ le i*r reste. On a réduit ce !•' reste à êa plus simple e»f diTÎsîon du i«r terme b^a* de ce reste, par le i*r terme Âa* du donné le 9*'terme.-H ^*do quotient On a rèMinrhe du i«r resta )rodiilt do diviseur par Iç'a* terme du quotient^ la reste tém a in* e qootient exact était (b — i ) a -4- A*. Et a» effipt , si Ton eiftccn*

on trouvera que le divisem^ multiplié pi» oa qaotMiiC> rapvadâv

and les coefficieru de la lettre par rapport à léNfuelle-on-ét }nt dés polynômes y la recherche dt chaque terme du quotientire à une ditnsion complexe. La décomposition da produit formé 1^9 en offire m exemple. Voici le-caleal ....

-(6^-1- A«—a)a« -t-C/IA* -t-SA-t-a)*!— 3(^-1- 1) r(*—i) ««—f A— I >-*-S

)a5-t.(Aî,) a«— 3(A«-f-6-»-i)a

— (^•-.i)a«-h(A«— i)a^3 (A-fi) ^^t^'^l)a•^b^^l)a^^b^l)

enltle i«» tertee du qœcient , on a divisé (iM—i) «3 paf{l>— !)«•{' le (/>'— I ) par (b — i) a donuc (b* •¥- b-^i); âe soctaqqe' î du quotient fst ( A* -4- 6 -h i } a. On a retranché du t]'mt\ew\e , lu diviseur par le i^f terme du quotient i dansi la reste, le coef&* cftt — A* — iSr» -♦- a-l- ifr' — I , ou — A» -•- I , on — (b* — i ) ; it de a est 4£»* -♦- 3A-f-a— 3A* — 3ifr— î^ p« (A* — i). f-i« t donc — (^ — 1)«" -•- (A« — i)« — 3(A^- i). La divisi/m - I ) a" par -♦• ( A — i ) a*, a donné — { A -4- i ) pour le «• trrm^i i; on a retrancbe dir !•' reste, le prodoii da-divifeiir par la 1 quotient , ce qui a donné zéro pour le o^ rrehi, Iai qiMCfriMi* •aç ( b' -f A'4- 1 ; a — r^-f- V }' Et en eflrt, le divisevr mit lliplî^ tiens» lefMdgnHè dixiikiidt (n^ 38^;.

£a appliquant la règle da n* 4^ > ^^ troutera qne le qfaotieiit de laa*'— 3ia*M-(»o/»«— a9c»)a'-+-^376c*-+-i8c')fl*4-(i5c< — :àibe^)wm par. . . . 3a* — ^b — 5c* , est. . . . 4^' — 5a*lh--^c*-+-6e^ ;

que celui de. «*— ifr* par a — b est a*H-A(a'+^*a»+i'fl4^

que celui de ' a*-i-^* par a4-^ ««t «^ — ^a'+A'a*— ^'tf+^

Pour faire la preuNre de chaque division , on multipliera le diviieii le quotient ; le produi,t sera égal au dividende.

4o8. Le quotient ne changeant pas lorsq\i^on divise, le dividende divisenr par une même quantité, on simplifie les calculs en suppri dans le dividende et le diviseur , les facteurs communs que l'en appercetfoir. Par exemple, si Ton voulait diviser (a^bcd — ab^cd {^a^bcd'^ab^cd) , on mettrait ces quai^titës sous cette forme... ••

abc4 ( «^ — b^) et abcd (.« — b).

Supprimant le factetir commun abcd, la question serait réduite à ' (a 4 — ^4) par {a — b) ; eiFectuant celte division, on trouverait a^^ba*-¥b* ' pour le quotient demandé.

4og. Lorsque le diviseur n'est pas Vun des facteurs du

dende, le quotient n*est pas exacte et la division se pro

indéfiniment , sans quon puisse parvenir au reste zéro;

ce cas f si ton ne veut pas admettre au quotient des exp

négatifs de la lettre par rapport à laquelle on a ordonn

doit arrêter la division lorsqu'on phrvient à un reste à

1'*" terme ne contient la lettre par rapport à laquelle on

donné , qu'à une puissance inférieure à celle de la menu

dans le i" terme du diviseur» Par exemple, si l'on c

(a*+ ^^ — 3A*) par (a" — i) , après avoir trouvé (a*-|- a

au quotient, le reste serait ak^ — ai* ; le i**" termede c

ii*étant pas divisible par le i*' terme a* du diviseur, <

arrêter la division. Le quotient est alors composé de !

(ji^ -{- ab '•\- b) et de la fraction — 2—. On a donc

• 4^0 Lorsque la division ne s'effectue pas exactemi fait la PREUVE comme en arithmétique (A. n® iSy) ; 0 tiplie le diviseur par les entiers obtenm au quotient ; le

D'ALGEBRE. aaS

igmenté du dernier reste -^ doit donner une sommé égale au wiâende. En appliquant cette preuve à la division précédente, n trouvera que. . .

(a^— b) (a^+ ab + h) + (a — îi)b^t^a^ + t^b — 3b\ 3e qui vérifie l'exactitude de Topération.

in. Pour que les exposons de la lettre pur rapport à laquelle a ordonné , diminuent dans les restes successifs , il est indis» }le de réunir en un seul terme , les monômes affectés de même puisscmce de la lettre par rapport à laquelle on a mé, ■ Par exemple » si dans la division de 4^ + fi^fr par '4- ba^^^ 5a + 7 , on regardait aa* comme le i**" terme diviseur ^ les restes successifs contiendraient toujours a^, sorte qu'on ne parviendrait pas à un reste moindre que le ir (n^ 4^^)* Mais en prenant pour i*** terme du diviseur smble des monômes affectés de a^ , ce qui revient à orler, on seira conduit à diviser 4a^ + siab, par (b -f* â) a* ^-Sfl-f-j; le i^' terme du diviseur sera (i + a)a*. Effîeolant la division ^ d*après la règle du n^'^oG, et admettait des fteflBfdeas fractionnaires de a, les entiers du quotient seront

(Âd-

lO

**" (/>-4-a) (/>-+- a;* .;,k mte sera...

\ ^-+-a '*"(/»-+-a)(^-+-aJ5 ^ (^-+-a;«'

Sb mte le réduit à

(a/>^+86« — ao^+44) . i4o

On tronyera de la même manière, que le qnotient

6a' 4- if^a* -f- 1^ (6— i) a — (^ — i) c— 6 ( 6 — i ) «t-« r. ^ J g» 4- 6«a — ca-' , est (6— i) a +/» (^ — i).

4i3. Désormais, lorsque nous parlerons du reste d*une

ion , nous supposerons toujours que le plus haut expo^

de la. lettre par rapport à laquelle on a ordonné , est

dans le reste que dans U diviseur, Cest dans ce sen€

Aa6 4 L é M E K S .

gue l'on dit que le reste est MOINDRE que h diviseur, l s'agit que des grandeurs des exposans de la lettre par rap à laquelle on a ordonné,

4i3, En géniral , on juge des grandeurs des quantités a briques ^ d'après les exposans. Ainsi; sous le rapport de I gèbre, o^ est plus grand que a* ; mais il ne s*agit pas des lù Amériques ^ car si a était moindre que rqnité , a X «i*«f! plus petit que 2 X a*; la valeur nninjériqne de a^ fieannit k moindre que celle de a^ P'après cette convendon , a?-^^, itft plu« gr«iiid que û* + (i — 1) a+ 6 -f 2.

41 4' -^^ès avoir ordonné les deux termes d^une frmA par rapport à la même lettre, la lettre a par exemple, qaà le plus haut exposant de a dans le numérateur n'est pas fn&ià que dans le dénominateur, on peut extraire tous tes eni contenus dans ta fraction, en effectuant la division jusqu'à quon parvienne à un reste dans lequel la plus hoiUe puisaf de a soit moindre que dans le diviseur. La fraction propH est ainsi décomposée en un entier plus une fractioum L'm est le quotient obtenu; et la fraction qui accompagne cetemi a pour numérateur le dernier Peste , et pour dénominéUm^ dénominateur de la fraction proposée; le plus haut de a dans le numérateur est moindre que dans le âéi teur; le numérateur est donc moindre que le déi Çn** 4^5). Cette règle conduit aux résultats qui suivent:.]

tP'^ab^ + P p

i i ! — ± a^ -4- Qa^b + 1 H ^,

4i5. INFoqs avoxis exposa , dans l^ArithmélHjiie « giielqaes méthoden gées pour simplifier le calcul des fractions n\imériques. Cet s'appliquent aux fractions littérales ; nous rappellerons Jet plot û

416. Lorsque le dénominateur commun de pltuieurs fractiom obtenu , pour calculer les nouveaux numérateurs , il suffit de âùnatti cessiuement le dénominateur commun , par le dénoimnmtmtr de des fractions proposées ; les quotiens , multipliés par lût ni votmpQndanSi (Lannfront pour prodmU les immér^rte&in dufii

B'OL «. G t S R E. dfiif

s ilÉiflwrfugitar oowummru Qn ifef fil touj&urs mmifêoym e^itm

ndles dénominateun àêsfnLctionê proffosées éiéùithomlknuXf

du dénon^ùnsieur cpmmfinjuar o<» dénominateurs s'effectuera

(B. n* aia). Aixiii^ p^or réduire an mém^ i^éjffémw^^ffçvr U^