Passons à Tanalyse des formules (T
ir
rrr\ y — éjIL^. i." — ^ + ^
dans lesquelles
D'ALGEBRE. s6l
V et h" sont les nombres d'heures pendant lesquels le a^ Courier doit marcher pour être en arrière ou en ayant du i*"^ Courier de a" lieues ; v' et v" expriment les vitesses des couriers ; ifUeucs est Tavance du i**^ courier sur le â* ^ quand celui-ci commence à marcher ; a lieues est la distance qui sépare les points de départ des couriers , et 6 marque le nombre d'heures pendant lequel le i*'^ courier marche avant que le a* ne se mette en route. Les quantités h' et h" y e?q>rimant des nombres d'heures , sont essentiellement positives ; de sorte que les va^ leurs négatives de h' et \l* seront inadmissibles. Les quantités d, af y s/ yv" ^ exprimant des espaces ^ peuvent être prises dans des acceptions opposées ; on peut donc les affecter des signes -f- «t -— . La nature des quantités qui entrent dans la composition des formules (T) , étant connue , passons à leur analyse.
x\ Siv''>i/etû''<£Î;a]ors(£i— aO,(d + a"), (w"— O» sont positifs; les valeurs de h' et h" seront donc positives; Is problème sera donc susceptible de deux solutions. Les for-r mules (T) expriment donc que si le a* courier , qui est c^ tarière ; marche plus vite que le i**^^ et doit, après avoir marché quelque temps ^ être moins éloigné du i**^ qu'il n'en était i l'instant de son départ; alors il y aura deux époques où cela aura lieu , l'une avant la rencontre des couriers , l'autre après leur rencontre. Cette conclusion peut se déduire de l'énoncé du problème l car la distance qui sépare les deux couriers doit être diminuée ; le a* courier , qui est en arrière et qui va le plus vite, s'approche du i*"^ ; il y aura donc une !'• époque où le a* courier se sera assez rapproché du i*"^, pour n'êtro plus en arrière que de la distance demandée. Le a* courier continuant à marcher , joindra le i*"^ , le dépassera, et s'en éloignera ensuite de plus en plus ; il arrivera donc une a* époque où le second courier sera en avant du i*' de la distance demandée. Les résultats déduits des formules (T), s'accordent donc avec ceux que fournit l'examen de la question.
a*. Supposons £i< a* et v'' < i/ ; alors (d — a") et (v"— O «ont négatifs ; la valeur de A' est donc positive ; il y aura donc une époque où le a' courier sera en arrière dui^ de sl^ lieues^
sSa É L É M E N s
L*examen de renoncé dç la question conduit au même résnltit^ car la distance qui sépare les couriers devant être augmentée, et le a* Courier , qui est en arrière , allant moins vite que le i*, celui-ci s'éloigne de plus en plus de l'autre ; il y aura donc un instant où le i^*^ courier se sera assez éloigné du a* , pour qoe celui-ci soit en arri'ère de la distance demandée. Comme le a^ courier est en arrière du i^**, et marche moins vite, îlne pourra jamais le joindre ^ ni le dépasser de a" lieues ) Timpossibilité de cette seconde solution est indiquée par la valeur négative de h",
3^ Quand v" > i/ et J<a'', alors (v* — /) et (d + eF) sont positifs^ {d—^a") est négatif. La valeur de /{ est donc négative^ et celle de h" positive; ce qui indique que le pro^ blême n'est susceptible que d'une solution, qui a lieu après la rencontre. Cela. résulte aussi de Pétioncé .de la question et des hypothèses actuelles; car la distance qui sépare les couriers devant augmenter , et celui qui est en arrière marcliant le plus vite , il n'y a qu'après avoir rencontré le i*' courier , que le &^ pourra en être plus éloigné qu'il ne l'était à l'instant de son départ.
4*. Supposons v" <; v' et rf> a". Alors (y" — /) est négatif, {d — a") et {d'^d') sont positifs; les formules (T) donnent pour K . et h" des valeurs négatives , qui sont inadmissibles , et indiquent que le problème n'est susceptible d'aucune solution. L'examen de l'énoncé conduit au même résultat , . car a" étant plus petit que rf, la distance qui sépare les couriers doit diminuer ; le a* courier , qui est en arrière, doit donc se rapprocher du i**" ; la vitesse du a* courier doit donc être plus grande que celle du i'*"; mais on suppose au contraire que v" < /; U i question est donc absurde,
5^ Si dz=za" et i/''>V; alors \i/'' — vO et (rf + c") sont positifs , (d — aO est zéro ; les formules (T) donnent zéro pour h' et une quantité positive pour h" ; elles indiquent donc que le problème est susceptible de deux solutions , dont l'une a lieu à l'instant du départ du a* ceurier , et t autre h" heurta après son départ. Cela est exact; car d étant égal à a"^ q\
demande dans combien de temps , à partir de l'instant du départ du a* courier, les couriers seront à une distance égale à celle qui les sépare ; cela aura évidemment lieu à Tinstant du départ , ce qui est indiqué par la valeur A' = o ; et comme le s* Courier va plus vîte que le i***» il le joindra et le dépassera ensuite , après un certain temps , de la quantité d dont il était en arrière à l'instant de son départ ; ce temps est donné par la valeur positive de h*. Si d étant toujours égal à a" » V* étcdt plus petit que V , alors h" devenant négatif serait inadmissible ; le problème ne serait donc susceptible que d'une solution , donnée par la valeur A'z=o, correspondante à^rins. tant du départ du 22* courier. Et en effet , le a* courier marchant moins vite que le 1*^, s'en éloignera , et ne pourra jamais le rencontrer ; il ne peut donc pas exister de solution après la rencontre des couriers.
6*. Si d n'étant pas égal à a'' ^ on avait v* = v' ; les couriers marchant avec la même vitesse , seraient toujours éloignés de d lieues ; ils ne pourraient donc jamais se trouver à a*' lieues de distance , comme l'exige l'énoncé ; le problème serait donc impossible. Cette impossibilité est indiquée par les v^urs de h^ et h", qui deviennent infinies. Cela signifie que plus les vitesses des couriers approchent d'être égales, plus (y" — v') diminue , plus hf et h" augmentent ;, ce qui s'accorde avec la -nature du problème.
7^ Si ci= a'' et / = v"; alors la valeur de A' devient égale i - 1 et celle de h*' est infinie. Interprétons ces résultats. Les
couriers marchant avec la même vitesse , la distance qui les sépare ne peut jamais changer ; de sorte qu'après un temp» quelconque, le a* courier sera en arrière du i*"^ de d ou af lieues ; mais ce temps est exprimé par A' heures ; la valeur - de A' est donc entièrement indéterminée. La formule o
.„ d +a^ ^ d+a" . , ad
* =737;7i donne -^— = v^ — i/, ou^ = o.
ad d n* étant pas zcro^ la fraction j^ ne éera jamais égale à zéro;
mais Terreur sera d'autant moindre , que h'' sera plus grand. La valeur infinie de h" indique donc qu'aucun nombre ne peut sa^ tisfaire à l'équation qui donne h" , mais que l'erreur sera d'autant plus petite , que A" sera plus grand ; et sous le rapport de l'Algèbre , Terreur est nulle lorsque h" est infini. Cette valeur infinie de h" satisfait à l'équation , et ne satisfait pas au problème ^ car le a* Courier reste toujours en arrière du i®' de a" lieues. .
' 8*. Si... . a'^zizo; alorsh' = k" z=:-^ 7.
Cette formule est celle que Ton obtiendrait, si, tout restant d'ailleurs égal dans la question du n° 4?? 9 ^^ cherchait après combien d'heures de marche le 2* courier rencontrera le i*'. <3ela devait arriver ainsi , car a" exprimant la distance qui se* parera les couriers , quand le a^ aura marché pendant h' ou h" heures ; cette distance étant nulle , les couriers se rencontrent.
«)®. Si v' change de signe, alors les valeurs de A' et h" deviennent. . .
Ces formules sont précisément celles que Ton obtiendrait ,' si , tout restant d'ailleurs égal dans la question du n** 477 > ^* i*'^ courier, au lieu de marcher dans le sens du a*, en parcourant v' lieues par heure, venait au contraire à sa rencontre avec la même vitesse. On voit donc que si v' change de signe dans les formules (T), la quantité exprimée. par v', reçoit -une acception directement opposée à celle qu'elle avait dans l'énoncé; et que si dans l'énoncé de la question, la quantité représentée par v', reçoit une acception opposée, v' change partout de signe. On pourrait répéter sur les formules (T'), une analyse semblable à celle que nous venons àe faire sur les formules (T) ; on en déduirait de même que les conséquence déduites des formules , sont toujours d'accord avec celles ^ fournit renoncé de la question.
480. Si, tout restant d'ailleurs égal dans la question du n®477> le i*"" Courier, au lieu de partir b heures avant le a*, partait b heures après ; alors pendant b heures, le a* courier se rapprocherait du 1*' de bv" lieues; il n'en serait donc plus éloigné que de (a — bv") lieues ; de sorte qu'à l'instant où les couriers cbmmenceraient à marcher ensemble, le â* courier serait en arrière du i*' de (a — bv") lieues. Désignant cette distance par d lieues , et nommant A' et A" lès nombres d'heures pendant lesquels les couriers doivent marcher ensemble , pour être éloignés de a" lieues ; on trouvera les valeurs de A' et A", données parles formules (T) [n**477]-
481* Si l'on compare les résultats obtenus dans les questions précédentes , on verra que toutes les formules relatives aux différens cas que présente la solution du problème des comnw, sont comprises dans celle-ci . . .
dizia"
v"zz:/'
V et y" lieues désignent les vitesses des couriers, A t instant où les couriers commencent^à marcher ensemble, le i*^est en avant du a' de d lieues. Les couriers doivent marcher ensemble pendant H heures , pour être éloignés de a" lieues. Quant aux doubles signes qui se trouvent dans la fraction qui exprime H ; pour le numérateur , le signe — donne I0 solution qui a lieu avant la rencontre , et le signe + donne celle qui a lieu après la rencontre ; pour le dénominateur , le signe — correspond au cas où les couriers vont dans le même sens, et le signe '•\' correspond au cas où les couriers viennent l'un vers l'autre. Appliquons cette formule à des exemples.
1" Application, Dans le problème du n° i5i , les couriers partent au même instant, de deux endroits dont la distance est icx) lieues ; donc c{z=.ioo. Les vitesses sont 3 lieues et a lieues ; donc v'=:3, v^'rrra. On cherche l'instant où les couriers se rencontrent; la distance , a^ lieues , qui doit alors les séparer , «st donc nulle; ainsi a" = o. Les couriers viennent l'un vers- Tautre ; on doit donc prendre le signe 4* ^^ dénominateur.
On a donc...
d loo loo
Les couriers se rencontreront donc après ao heures de marche. Ce résultat est celui du n® i5i.
a' Application, Dans la question du n° i54> les couriers partent au même instant ^ et la distance qui sépare les points de départ est go lieues ; donc J=^ go. Les vitesses sont 3 lieues et 5 lieues; donc v'=3 et v'' = 5. Les couriers marchent dans le même sens ; on doit donc prendre le signe -^ au dénominateur de la valeur de H\ ce dénominateur est donc (v" — v'). On cherche l'instant où les couriers se rencontrent; la distance d* lieues qui les sépare alors est donc nulle. Ces hjrpothèses donnent. . .
V — V 5 — 3 a Les couriers se rencontreront donc après 45 heures de marche. Ce résultat est celui du n® i54.
Z* Application, Dans le problème du n"^ i55 ^ les con-
. rîers vont dans le même sens \ le dénominateur est donc
(v*— v'). Le i«' Courier, qui a Go lieues d'avance, part
10 heures avant le a^, et fait 5 lieues par heure. Ainsi, quand
les couriers commencent à marcher ensemble, l'avance du 1*'
- sur le a^ est go lieues ; donc c2;=go. Les vitesses sont 3 lieues
et 5 lieues -, donc v' = 3 , v" = 5. EnEn , comme on cherche
l'instant de la rencontre des couriers , cH =1 o. La substitution
. de ces valeurs dans celle de fT , donne . . .
Le second courier rencontrera donc le premier y après 45 heures de marche. Ce résultat est celui du n® i55.
4' Application, Dans le n** i56, les couriers marchent :daos le même sens ,avec les vitesses | et f de lieue. Le dénomi' ^ateur de la valeur de H est donc ...
d'à LGÉBRE. %Gj
On cherche l'instant de la rencontre ; donc a" = o. Le i" Courier, qui a i38 lieues d'avance , part 40 heures avant le a* , et fait J de lieue par heure ; en 40 heures il fait donc 3o lieues; ^e sorte qu'à l'instant où les couriers commencent â marcher ensemble ^ le i**^ a une avance de 168 lieues; donc J= 168. La substitution de ces valeurs donne. . .
Jï = rf : (1.'' ~ v') = 1 68 : ^ = 168 X ^ = 1 568.
Ainsi, exprès i568 keures^de marche ^ Je second carrier ren-* contrera le premier. Ce résultat est celui. du n° i56.
5' Application, Dans le n** 167 , on a, . .
v''=|, v' = ^, v''-v' = ^; d = 23o; a"=6a; d'où
Zr=(iqia"):(»/''— vO=(a3oqp6a):À=(a3oip62)X^..
Prenant le signe — , on trouvera que le a* courier doit marcher pendant 1 568 heures , pour être en arrière du 1 *' de 6a lieues. Si l'on prend le signe -j- , on verra que le 2' courier doit mar^ cher pendant or/ *ib heures ao minutes , pour être en avant du i'' de 6a lieues. Ce qui s'accorde avec les résultats du n^ i57»
Formules générales pour la résolution des équations f . déterminées du premier degré.
48a. Les règles données pour résoudre les équations numériques , s'appliquent aux é(]uations littérales. Lorsqu'on doit opérer sur [Plusieurs équations, on «im]^lifiele8 calculs , et Ton rend les résultats symétriques , en représentant les coefficiena d'une même inconnue, par la même lettre affectée d'un o» de plusieurs accens , suivant le nombre des équations.
483. Toute équation du premier degré à une seule inconnue j^ peut être ramenée à la forme ax=:b; et a. n'étant pas zéro^ il n^ existe quune seule valeur. de ;X qui puisse y satisfaire. En effet, après avoirjait passer les termes «n x dans le 1*' membre, et les termes tout connus daus le a^ membre^ on peut désigner
par a ^ la somme des coefiiciens de a; , et par h lé ftecond membre. Ainsi ^ Féquation ...
ex = fljc -I- -, détient
cpex — dp :=> epqx -f" ï*»
{ cpe — epq ) x = (dp ^^er).
Posant (cpc — epq) = a , et (^dp + cr) = i , l'équation sera ramenée à la forme ax = b. Cette équation donne x =3-6 l a.
Je dis que cette valeur de x est la seule qui puisse satisfaire
à r équation ax = b / car si une autre valeur x = f - + </ ] pouvait 7 satisfaire , on aurait Y identité. . .
dans laquelle q ne pourrait pas être zéro ; or cette identité se réduit à aq ^o-, ce qui est absurde^ puisque ni a^ ni f ne «ont zéro.
484* Toute équation du premier degré entre deux inconnues , peut être mise sous la forme ax + by == c ; car après avoir fait passer les termes affectés des inconnues dans le i^'^ membre , et les termes tout connus dans le a^ membre , on peut désigner par a et 6 les sommes des termes qui multiplient x et y, et par c Ta somme des termes tout connus. Par exemple^ pour ramener Téquation. . .
c -t- ~ -f- rfy = mx -t- — -♦- a ,
à 'la foime ax-h byz=zc '^ on xnnltipliera chaque membre par qs \ ce.qai donnera....
eqs H- spx'^ ^sdf = qsmx + rqy + ^qs
spx — qsmx -f- ^sdy — rqy = a^5 — eqs
(sp^^ qsm) a: -4- {qsd-^ rq)y'=.qs (a — c).
Désignant le coefficient de x par a ,, celui de^ par 6, et le fl* membre par c, l'équation proposée deviendra aX'\'byz=ic. Cette équation admet une infinité de valeurs de x et y (n"* 334}* Par exemple j si l'on doime des valeurs arbitraires i x ^ les
valéuri correspondantes de ^ ^ seront données par la formide
485. Deux équations du premier degré entre deux inconnues, peuvent toujours être mises sous cette forme (n^ /fi^) . . •
(i). ..• ax-f"^ = c; (a).... £/a? + 6'^ = c^
Les coei&ciens a^ b y c f d^V , c\ désignent des quantités connues ; les caractères x et y , employés pour représenter les inconnues , sont essentiellement les mêmes dans ces deux équations ; de sorte que résoudre ces équations , c'est trouver des quantités connues , qui, substituées pour x et j , rendent identiques les deux membres de chaque équation. Il existe différens procédés pour résoudre ces équations ; ils conduisent aux mêmes résultats , parce qu'ils sont fondés sur ce principe unique , que x et y ont la même valeur dans chaque équation,
i" Procédé. L'équation (i), donne x=^(c-^by) l a; substituant cette valeur de x dans Téquation (2) , on trouve. ^ .,
OD en d^nit. ...
afc^-a'tf-^al/f^zai/i (at/--a'b)f=i{a</^ca') ;/ = («</— ca') : {flb'-^bgTj.
Mettant cette Talcnr de jr dans Téquation (i) , il vient. . . . ^^
a (ab" — baf) x -f- bac' — bca' = ab^c — bca' a (ab^~^ba')x=:ab'c^abc' = a {b'c — bc*) ai^ct/^ bc' ) cb^ -- bc' ^ ^ a {ab' -^ ba' )'^ ab'—ba''
La substitution de la valeur de y dans l'équation (2) ; condtdt à la même valeur de x. Cela devait nécessairement arriver , car ayant mis dans l'équation (2) , la valeur de x tirée de l'équation (1), l'équation (3) qui eu est résultée, exprime que X a la même valeur dans les équations (1) et (2) ; la valeur de^ tirée de l'équation (3) , doit donc jouir de la propriété de donner la même valeur de x , lorsqu'on la substitue dans les équations (1) et (2). tette remarque est générale; on
SÏ^O ]£ L É M E R •
n obtient les valeurs des inconnues , quea exprimant qu'eBasont les mêmes dans les équations proposées,
Lorsqu*en combinant plusieurs équations , on fait disparsutre une inconnue, on dit qu'on élimine cette- inconnue. Aina, Téquation (3)^ est le réwltatàtV élimination de x , entre les équations ( i) et (a) ;^ on lui a donn» le^ nom d'équation fmJe en y.
Les valeurs' de x et jf, tirées des équations (i) et (9)980111 donc ...
ry ^ ^*' — *^ rt:^ ûc' — ca'
^^^ ""^ab'-bà^'^ ^^^ —y =^ -^trziw
Ces valeurs satisfont aux équations (1) et (s), car elles les rendent identiques. Voici lè calcul pour réquatioii.(.i)-:
a' Procédé. Pourrésoudre leséquatiotis (-i) et (2)', on multipliera le» deux membres de la !'• par b' , ceux de là a* par S^ ce qui donnera ...
ab'x + bVy = cV \ bdx + bVy = bc\.
Retranchant la a^ équation de la 1^*, il viendra. • •
W^aV — bel) X =>(cè' — bd) ; d'où: x =: ■■!,;■■ ..iwi,
ab — ba
On trouverait y de la même manière^ en multipliant les deux membres de Téquation (i) par d , ceux de Téquation (2) par a y et retranchant ensuite les nouvelles équations l'une de l'autre.
La comparaison des équations (.1) et (2)" des n** 335 et 485, donne . . .
Substituant ces valeurs dans les formules (4) et (5)j on trouve x = 3,j'=:9; ce qui s'accorde avec les résultats du n*» 335.
486. Trois équations du premier degfé entre trois inconnues^ peuvent être mises sous la forme. • .
i« Procédé. Pour résoudre ces équations , on tire de la 1'%
2 = (d— aa: — iy): c.
lia substitution de cette valeur de z^ daùs les équations (a) *tt(3), donne...
c'a: -f- ^y + c' (££— ax — iy) : c = cT a^x + i';y + c'' (££ — oc — . ^) : c = cT .
Chassant le dénominateur c ^ on trouve
{a'c -^ac') x+(^l/c— bc' )jf = (ccT — c'd) Xa''c—ac')x + iVc—bc'*)y = (crf^ —c'W).
Posant^ pour abréger,
dc — ac' = A\ b'c — b(!=:B', cêl — c'd=C\ <ec^a^ = A'', A"c— . Ac" = -fi' ; cd' — d'dzi^Ci
on aura. • .
Ax + By^C\ A'x+Bry^C:
Ces équations donnent (n^ 4^5)
CB' — BC Ae—Cjf
y ^~ AB' — BA'' y~ABf'^BA!' '
Mettant pour A^ B^ C, A' y B\ C , les quantités que ces lettres représentent^ et effectuant les multiplications indiquées, on trouvera^ toutes réductions faites ,
dVd' — de' h" + cà!V — bdfc" + bc'd!' — cVd" ^ ^ — aAV — adb" + cdb" — ba'c' + bdoT — cb^aT.
. acT c*^ — ac'd' + ca^dT — ddd + dcV — c^yg^
^^ y — ab'c" — ac'b" + ca'i" — Wc" + ^cV -^TF?'
La substitution de ces valeurs de a: et ^ ^ dans Tunè quelconque des équations proposées , donne une équation ^ui ne contient plus que l'inconnue 2 ; on en déduit. . .
ab'd!'— ad! h' + ddb" r- bdd" + bdfa"— dVa^ ^v ^ ~ aVc" — ad y' + cdb*» *- bdd + bda" — cVd'
a' Procédé, On supposera. . .
d — C5=C; JC — dz-=zC\
Les équations (1) et (2) deviendront
oj; -}" ^ = ^ > ^^ + ^'y =^ ^*
«274 £ L é M E ir 8
On peut remarquer que la valeur du numérateur p , se de celle du dénominateur q , en changeant le coefficient d dt dans, le terme %t^ut connu , et conservant les açcens. Les yal( de X, y f z ,8e déduisent de celle de u^ d'après le a* p: du n"* 4S6. Par exemple , pour obtenir la valeur de a; , il râffit^ dans la valeur de u, de changer d, d^ , d" y JT ^ u, eu a, dp a^^y d'y Xy et réciproquement.
488- Les calculs eifectués^ on verra que la quantité qsem^ le dénominateur commun des valeurs des inconnues x, j, z , u; et les numérateurs pourront se déduire du dénominateur conh mun q» eny chcuigeant le coefficient de l'inconnue (fùe fou cherche , dans le terme tout connu e ; on conserve les-atom. En examinant les formules des n^* 485 et 486 y ou verra qa'eDa jouissent de la même propriété.
489. En général , pour résoudre m équations du prenm degré entre m inconnues y on prendra dans une équation b valeur d*une inconnue ; la substitution de cette valmr dam les autres équations y donnera (m-^i) équations, entre (m— >i) inconnues. Opérant sur ces nouvelles équations comme sur les précédentes, on en déduira (m— -â^ équatipns, entre (m-* a) inconnues ; et continuant à opérer de la même mamère, oji parviendra à une équation du premier degré à une •seule inr connue. Cette dernière équc^ion donnera la valeur de t inconnu» qu'elle renferme; et remqntant aux équations précédentes^ on en déduira les valeurs dfis autres inconnues. Chaque inconnueétant déduite d'une équation dui*^ degré à une seule incon* nue y ne sera susceptible que d'une seule vcileu0' (n® 483).
490. En comparant les valeurs générales des inconnues , j avec les équations d'où elles sont déduites , et profitant de» I remarques du n® 488 , on peut découvrir une règle général» 1 pour former ces valeurs , sans effectuer aucun calcul. En effet,
1^ L'équation ax=zb , donnant x=^b : a ; on voit que U dénominateur est le coefficient ù. de x, et le numérateur s'm déduit en changeant le coefficient a de l'inconnue x , dansk, terme tout connu h.
D* A L G £ B R E. aj5
a*. Si Ton compare les formules (4) et (5) du n* 485, avec les équations (i) et (2) du même numéro , on verra que le dénominateur (ab' -— ba' ) n'est encore composé que des coeffidens 9Ly2L^ h fV des inconnues x et y. Pour obtenir ce dénominateur ; il sufiit de former les permutations ( B. n"" i56) é ,ba,àM produit ab \ d*affecter la i'* du signe + > la a' du flgne — , ce qui dcJnne (ai — ba)\ et de mettre un accent ila seconde lettre de chaque terme ; le résultat est le dénomilUiteur (ay — ba').
Les numérateurs des valeurs de x et y , se déduisent du dénominateur commun (ab' — ba') , en y changeant le coeffi- €ient de t inconnue qu'on cherche , dans le terme tout connu , et conservant les accens. Ainsi, pour former le numérateur de a? , on changera a en c, dans le dénominateur ( ab'-^ba^) , ce qui domiera (cfr' — 6c'). Changeant fr en c, dans le dénominateur, le résultat ( at' — - ca' ) sera le numérateur de y.
3**. Dans le n° 4^S , si Ton compare les valeurs de x,y yZ,
doimées par les formules (4) , (5) , (6) , avec les équations
. (1) , (a) , (3) , on verra que les valeurs des inconnues , dans
trois équations intre trois inconnues, jouissent des mêmes
propriétés. Le dénominateur commun
abV — acV + caV — ba'c" + bcV - cb'a"
» est encore composé que des coefficiens a, b, c, a', b', c', a", b", c* des inconnues. Pour obtenir ce dénominateur , il suffit de former les six permutations ....
' abc. , acb , cab , bac , bca , cba ,
. du produit abc ; on les affecte alternativement des signes + . et — ^ en mettant un accent à la a* lettre , et deux accens à la 3* lettre; le résultat, . .
ab'c" — ac'b'' + ca'b" — ba'c* + bc'a" — cb'a"
exprime le dénominateur commun des valeurs de x , y , z. iLes numérateurs se déduisent du dénominateur commun , en changeant le coefficient de l'inconnue quon cherche , dans h terme tout connu , et conservant ks accens. Par exemple ,
si dans le dénominateur commun , on change le coefficients de X, dans le terme tout connu d , le résultat. . • .
dbY — dc'b" 4- cd;b" -^ bdc" + bc'ér — cVff
sera le numérateur de la fraction qui exprime x (formule 4 du n^ 486 ).
Pour retenir tordre dans lequel on doit écrire les permuta" lions de abc ^ on forme d* abord les arrangemens -|- ab ^ •— ba €les deux lettres a e^ b. Dans chacun de ces arrahgemens y on place la lettre c successivement àlaZ^ place , à la a' et à la i^'y en ayant soin de donner à chaque première permutation de trois lettres , le signe de la permutation de deux lettres qui l'a fourni, et de changer alternativement les signes des autres permutations. Alors, • . .
+ ab donne + abc , — acb , + cab — ba donne — bac , + bca , — cba ;
réunissant ces permutations , on trouve. . . . •
+ abc — acb -f- cab — bac + bca — cba.
On en déduit le dénominateur commun , en ajff^ctant la q' lettre de 'chaque permutation d'un accent, et la 3' de deux accens,
491. En généra] , les remarques du n^ 4B^f conviennent à m équations du premier degré, entre m inconnues. Par exemple, pour former le dénominateur commun q , des valeurs de X , y ,z , u , dans les équations (1) , (2) , (3) , (4) du n® 487 ; on introduira la lettre d 4 toutes les place^possibles dans chacun des arrangemens de trois lettres déjà formés , en ayant soin de donner à chaque première permutation de quatre lettres , le signe de la permutation de trois lettres qui l'a fournie , et de changer alternativement les signes des autres permutations. Alors
-t- abcy donnera -t- abcd — abdc -h adbc — dabc -— acb, donnera *- acbd -¥• acdb — adcb -¥• dacb "h cab, doqpera -4- cabd — cadb -+- cdab — dcab — bac, donnera — bacd -+- badc — bdac -4- dbac -t- bca, donnera -+- bcad i— bcda -t- bdca — dbca , ' *-" sha, donnera — cbad 4- ebda — cdba -h dcba%
D*ALGiBRE. ^77
Réunissant ces permutations du produit abcd , avec leurs signes y et accentuant une fois la a* lettre de chaque permutation , a fois la 3*, et 3 fois la 4*i le résultat sera le dénominateur commun q* , obtenu dans le n^ 4^7. De ce dénominateur , on déduira les numérateurs de x ^ y , z , u , en changeant les coefficiens a y b y c ^ d ,de ces inconnues , dans le terme tout corftiu e , et conservant les accens.
Si l'on avait cinq équations entre cinq inconnues ^ chaque équation serait de la forme. . . .
Pour former le dénominateur commun des valeurs des inconnues , on introduirait la lettre e à toutes les places possibles dans chaque permutation des quatre lettres abcd. Chaque permutation de 4 lettres en donnerait 5, de 5 lettres ; les Q/^ipermu-' dations de (abcd , donneraient donc a4 ^^^^ 5 ou lao permu-' tations de abcde. De sorte que le dénominateur commun contiendrait 1.2.3.4*5 termes. Le dénominateur commun de . 6 équations entre 6 inconnues contiendrait 1. a. 3. 4*5. 6 ou 720 termes.
4g3. En gécféral ^ le.dénomincUeur commun des valeurs des inconnues dans m équations entre m inconnues , contiendrait i«a.3.4- * *™ termes ; car 1 .a. 3. . ,m exprime le nombre des permutations d'un produit de m lettres (B. ii<* 1^7). Chcèque numérateur contiendrait le même nombre de termes.
Analyse desformules générales qui donnent les valeurs des inconnues y dans les équations du i"" degré.
