Lorsque V équation littérale du \'^ degré à une seule
inconnue y est possible, impossible ou indéterminée ,j^ valeur
^nérale de l'inconnue est finie ^ infinie ou indéterminée de la
forme %^ et la réciproque a lieu. £n effets toute équation du
1**^ degré i une seule incoanue^ peut être ramenée à laform«. . .
(0...ax = i; d*où (2)...a? = -j (3)...^ r"^=^^'
1°. Lorsque F équation est possible ^ il existe un nombn p, qui^ mis au lieu de a: , la rend identique. Donc...
apr^ b\ d'où b l ar^p.
La formule (a) donnera donc pour x , la valeur finie f. Réciproquement , si la formule (2) donne une valeur Jum
de X y alors - sera un n{)mbre , et la substitution de -, poni x
dans Téqnation fi), conduira i l'identité br^b; F équation sera donc possible. ^
2^. Lorsque f équation est impossible , le produit ax ne peut jamais devenir égal à & ; il faut donc que a soit zéro^ et qa«'i ne soit pas nul , car dans toute autre hjrpothèse , l'équation (1) serait possible. La valeur dex^ donnée par la formule (si)>itt donc infinie.
RÉCIPROQUEMENT , lorsque la formule (a) donne une valear infinie dex; a = o et & est un nombre. L'équation (i)> ^ devient o'Xx^^b, est donc impossible.
La valeur infinie de x, indique que terreur sera iP autant moindre, que x sera plus grand. En eifet, Téquation (3) donne
— = o ; or 6 n'est pas zéro ; donc tant que x sera fini , — ne
sera pas égal à zéro , et Terreur sera — ; mais cette erreur
sera d'autant moindre , que x sera plus grand ; et il sera toujours possible d'assigner une valeur de x assez grande,
pour que l'erreur — , soit aussi petite que l'on voudra.
5°. Lorsque t équation (i) est indéterminée , des valeurs arbitraires données à x , doivent rendre ses deux membres iden- . tiques. Supposant donc x == o, l'équation (1) donnera Tiden- . tité icfa ô ; ce qui démontre que b doit être zéro. L'équation (i) fie réduit à 00: = o; mais cette derjiièce équation doit être vraie , quel que soit x\ il faut donc que à^^o. Et en effet ^
quand a et i sont zéro , l'équation (1) donne l'identité
qX^c^^x ^v ^H°9i ^^^ laqnçllç x reste indéterminé.
la vaUur indéterminée de x^ donnée par la formule (d) ,
RÉCIPROQUEMENT , lorsque la valeur de x, donnée par la formule (a), est %y l'équation (i) est indéterminée^ car a et 6 étant zéro , od peut donner à x des valeurs arbitraires.
4g4- La résolution des équations .déterminées du premier legré entre plusieurs inconnues y conduisant à une équation k une seule inconnue , les propriétés énoncées dans le n^ 49^ » ioii/ent convenir à m équations du i*^ degré entre m incon^ fsues^ On pourra s'en convaincre dans les n^ 49^ > 48^ ^^ 497* 4s5* Lorsque deux équations littérales du premier degré entre deux inconnues , sont possibles » impossibles ou indéterminées , ies formules générales donnent pour les inconnues des valeurs finies y infinies y ou indéterminées de la forme %, RÉCIPRO- QUEMENT , lorsque hs formules générales donnent pour les inconnues des valeurs finies y infinies , ou indéterminées de la Jtntme %; les équations sont possibles y impossibles ^ ou indéter* ïïiinées. En voici la preuve. Les équations littérales
1^. Quand le système des équations (i) et (a} est possible , U existe des nombres p et q y qui , substitiés pour xetyy rendent ces équations identiques^. On a donc. . .
ûp + A? #3 c ; a'p + b'q =fa c'.
Mais ces identités donnent. . .
p4=(cé'— ic^):^ay— fco') et <74à(ûc/ — cû^):(a6' — fta').
Donc I tes formules (3) et (4) » donnent des valeurs finies de xety.
RÉCIPROQUEMÉI^T ^ si les vàléûrs dex et jy données par les formules (3) et (4) , sont finies , le système des équations ( i ) et (a) sera possible , c'est^àr-dire que ces équations admettront une solution commune. En effet/la substitution de ces valeurs dans ces équations ^ conduit aux idemtités o^c, c' ^g\
aSo s Lé M B N s
a*^. Lorsque le système dés équations (i) et (a) e5* impos^ sible , c'est-à-dire , quand les conditions qu'elles expriment étant contradictoires , ne peuvent pas exister ensemble , les formules (S) et (4) donnent des valeurs infinies de x et de j. En effet, les équations (i) et (a) ^ donnent. . .
y:=z(c — ax^lb, ctjr = (c' — a'x) l b\
Mais comme elles sont contradictoires, ces valeurs de y ne peuvent jamais devenir égales ; on ne peut donc pas avoir
ic--^ax):b=z Çc'— dx)\V\ ou {aV—bd)x= {cb'—bcy
Aucune valeur de x ne pouvant satisfaire à cette dernière équation, il faut que (ai' -^ba') soit zéro ; et que Çcb' — ficO soit un nombre n (n** 49^- 2°). Donc. . .
aib' — ba' cfa o j cb' — bc' t^n^
• ba' , n -f- bc' , , , .
at^-p- j o 4= ■ >» 9 on en dednit
Les formules (3) et (4); deviennent
jCe^ valeurs infinies de x et y satisfont aux équations (1) el (a) 4 car elles donnent. . .
00'— oor=c; -oo-— »oo = c'; d'où opt^soo-f-c; oo=^oo + c'.
Ces deux dernières équations sont identiques , car chaque membre est infiniment grand.
. Les valeurs infinies obtenues pour x ety, indiquent quau" cuns nombres ne peuvent satisfaire aux équations (i) et (a), mais que l'erreur sera d^ autant moindre, quex ety serontplu$ grands. En effet, ces équations donnent, . . .
'I=È£=ab'-b^, ±=^^ab^^b^.
Le second membre de chaque équation étant zéro , le ■9*^ membre doit être nuK Or les numérateurs {^cb' '^bff)^
[fuf — - cc[) ne éont pas nuls ; aucunes valeurs finies de x et y ne pourront donc satisfaire à ces équations. Mais plus x ety seront grands^ plus les premiers membres approcheront 4o zéro 9 plus Terreur sera petite. Les formules algébriques (3) et (4) ont donc le double avantage d^ indiquer terreur , et de faire connaître ^mment an peut la rendre aussi petite que l'on veut.
RÉCIPROQUEMENT , lop^que les formules générales (3) et (4) , donnent des valeurs infinies pour x et y y les équations (i) et (ii) sont impossibles ^ c'est-à-dire que la seconde est contradictoire avec la première. En eflFet , quand les valeurs de X eK y sont infinies^ le dénominateur commun (ab'-^ba'} est zéro, et les numérateurs (ci' — bc'), (ac' -^ca') ne sont pas nuls. Ainsi, dans Thypothèse actuelle...
ai' — Jû'=:o, cb' -^^bi/ =zn, ac' — Cfl^ = n' ,
n et n' ne sont pas zéro.
L*équation ab' — ict' = o , donne a = -p- , b = — t^,
Mettant successivement ces valeurs de a et i , dans Téquation (i), elle devient. . .
-vr X + by^c^ ou b (afx -^ l/f )^=:eb^ ax + —7- yzzc\ ou a {afx -h b^jr) ='Caf*
Mais en vertu de Téquation (2), il faut que (a'x + Vy) soit égal à </ ; on aurait donc. . .
ic' = ci' , ac' == cû' ; d'où n == o , n' := o.
Ainsi, pour que le système des équations (1) et (a) pût subnster , il faudrait que n et n' fussent zéro , ce qui est contraire à rh}rpothèse actuelle de xety infinis ; les équations (1) e^ (fi) sont donc impossibles.
3**. Lorsque les équations (^i) et (2) sont indéterminées, elles admettent une infinité de solutions. La valeur de x doit donc être indéterminée ; mai$ on a Yu que cette valeur dépen-
âSa É L é M E N s
dait de l'équatioB. . •
il fant donc ^e. . .
al/'^baf=iOi cy — ^'=o(«« 49S. 3«.)
Gei ëgoations donnent. . . .
-r- = — J -7" = — î donc -7 = —;: d'oa a<r— ca' = o; b a D c a cr '
Les formules (3) et (4) donnent dBnc des valeurs indéUrmir' nées de x et j, de la forme |.
RÉCIPROQUEMENT , lorsque les formules générales (3) tt
(4) > donnent pour x et j des valeurs indéterminées y de la*
forme J, on peut en conclure que les équations {^i) et (a) sojit
indéterminées, c*est-àrdire qu'elles admettent une infinité de
solutions. £n elFet^ dans Fhjrpothèse actuelle. « .
on en dddoit. ...
a=zba':b^, et c-=^btf\y,
La snbttimtion de ces valeuts de a et c , dans IV^ation (i) , doont. • . 4 -^ ar -*- éy ?= -^ j d'oh a'« -♦- ^y = c'....(a),
Uéquation (a) n'est donc qu'une conséquence de l'équa' tion (1) ; les valeurs de x et j ne sont donc assujéties qu'à satisfaire à t équation (1) ; elles sont donc indéterminées; les équations- {i) et (a) sont donc indéterminées.
Les propriétés énoncées au commencement de cet article, se tronyent ainsi démontrées.
Nous terminerons l'analyse des équations (1) et (a), par une remarque importante. Si Ton aymt c = o et c/ssclc» équations (1) et (a) deviendraient. . .
(5) or + îy = G ; (6) a'x + ft'jf = o ,
€t les formules (3) et (4) donneraient. . .
(7).... a: = o:(ai' — iO; j^ = o : (ci' — Ja'). Dans ce cas : 1^ lorsque le dénominateur commun (ab^— «W) nest pas zéro , ks formules (7) donnent z=soe{y==o; ces
Valeurs Sont lês seules qui puissent satisfaire aux épations 0) et (jS) , et le rapport ^ , qui se présente sous la forme | ,
est indéterminé; a* lorsque (ab' — ba') est zéro, les formules
(7) donnent X= ~ , y^=i^; ces valeurs de x et y sont indé^
terminées y meus le rapport^, a^pour valeur déterminée — ?-•
Pour démontrer ces propriétés, nous remarquerons que Téqu»-^
tion (5), donne hy= — ex; d'où ^=z — j ; «n satisfera à cette condition, en posant. . .
(8) jf=:~af;x = + ftr; cslt y l x^z^atl ftr=i=— ati.
La substitution dé ces yaleurs de x et y , dans les équations (5) et (B) , donne . . .
(<)).. t.. (ab — ali)t^o\ (ab — aV)tz=:o.
Soit ^ =zz, d*où ^ = xz ; si Ton met cette valeur de jf
dans les équations (5) et (6), elles deviendront. • • (10) (a + fca)x = o ; (11) (a'-f-i'«)x=o.
Les propriétés énoncées se déduisent des équations (8) , (g) , (10), (11). En effet :
1*. Lorsque (ab' — ba') n*est pps zéro , la seule manière 4e satisfaire aux équations (9) , est de prendre ^ := o ; les éqiM^ tons (8) donnent alors , x^o , ^=0 ; dans ce cas , les équatinR {la)» (11) sont satisfaites indépendamment as z; la valeur
dêz.' ou'de^ reste donc indéterminée; et x et y sont zéro.
a®. Lorsque (ab' — ba') = o , les éqyations (9) sont satisfaites , indépendamment de f ; la valeur de t reste donc indé-> terminée ; les valeurs deit ety, fournies par les équations (8), Sont donc indéterminées. Les équations (10) et (11) devant Bjûster, quel .que soit x , il faut que. . .
a cC
a-f"&2:=o^ a' + y^r^o; d'où « = — v et «== — tt.
Ces yalenrs de s doivent donc être égales; et en effet , dans rhjrpothèse actuelle , ai' = ba' ; d'où t±zjj; la valeur déterminée de z. ou de ^ i est donc — r.
Pour concevoir comment x et y peuvent être indéterminés dans les équations (5) et (G) , quand (ai' — ba') = o ; il suffit
de remarquer que cette équation donne a = -tt- ; substituant
cette valeur de a dans l'équation (5) , on trouve a^x 4- i'y =o ; l'équation (S) n'est donc qu'une conséquence de l'équation (5) ; les valeurs de x et j^ ne sont donc assujéties qu'à satbfaire à l'équation (5) ; elles sont donc indéterminées (n® 334) <; et leur rapport, tiré de l'équation (5), est j^ : a:=: — a : i.
496. L'analyse des racines des équations du premier degré entre deux inconnues (n^ 49 5) 9 convient à m équations du premier degré entre m inconnues; car ces équations conduisant à deux équations du i^*^ degré entre deux inconnues^ on peut leur appliquer les principes du n° 495.
497. Les élèves devront s'exercer sur trois équations entre trois inconnues ; ils démontreront avec facilité les principes du n* 49 5 ; BOUS nous bornerons à les diriger dans le cas le plu9 embarrassant , celui où les équations manquent de ternie tout connu. Alors les équations (1)^ (s)> (3) dun^4^6) Jlviennent. • .
(10). . .ax-hbf^cs^so ; (il). . ,afx'^l/f'h(/z=ià', (la) . . ,a"x'^i/'y^e''i
Dans les formules (4) , (5) , (6) du n* 486 , rf , tf, rf" étant nuls , les numérateurs x , y , z sont zéro. Le dénominateur conmiun, que nous désignerons par D, est.. . .
ab'c" — ac'b" + ca'b" — bde" + ic'a" — cVa\
Dans ce cas , 1^ lorsque le dénominateur commun D n*est pas zéro , les formules (4) , (5) , (S) du n^ 4^9 , donnent x=;:o,y = o,z=:o. Ces valeurs dex ,y , z, sont les seules qui puissent satisfaire aux équations (10) , (i 1) , (ifl) ; et les
mpports - ,^-, quise présentent sous la forme f , sont indéter-^
mnés. a*. Lorsque D est zéro , les formules (4) , (5) , (8) du v!" JfèS donnent y x= l , y=l> z=^^; les valeurs de x, y ,2
- sont indéterminées; mais les rapports - , ^ ibTiC déterminés ; les
valeurs de ces rapports se déduisent des équations (lo) et (i i). ' Pour démontrer ces propriétés , nous supposerons. • . .
Ia substitution de ces valeurs de x et y ^ dans les équations (lo) , (il) , (la) , donne. . • .
On satisfera à ces équations en posant. . . . (^7)...«*'-^V-^•c=oi (i8)...flV4-f»y-hc'=oi (i9)...aVH-^y-t-c-
Us équations (17) et (18) , donnent. . . .
Avec un peu d'attention , on yolt que t étant une indéterminée y les valeurs dex^y , z, qui satisfont aux équations (ao) , et par conséquent aux équations (lo^ et (11) , sont. . .
(ai) x:^(b</'--cl/)ti y=z(caf ^a</)ti i=i(al/^ ba^) t^
car si on substitue ces valeurs dans les équations (10) et (1 1) j on trouvera l'identité o,t=:o, qui est vraie quel que soit ^ Or , ces valeurs de x , y , z , qui satisfont aux équations
(10) et (11)^ doivent aussi satisfaire à l'équation -
(la) . . . ifx + b"y -h c"z = o ; il faut donc que / satisfasse À l'équation
a" (6c'— ci') t+b" {ca'—ac') f + c" ^ab'—ba') t=zo;
effectuant les multiplications , on trouve
{ab'c'—ac'b" +€(/!}"— ba'c" + bc'à'— cb'a") t = o.
Mais le coefHcient de t est le dénominateur commun des valeurs de x ^y , z , que nous avons désigné par £>. La pos^.
sibilité des équations (lo) , (n) > (^^) '^ dépend donc wfin que de l'équation Dt = o. Cela posév. . .
1^. Lorsque D n^ est pas zéro ^ la seule manière de satisfaire à l'éqnation Dt'=io , est de prendre f =o; les équatiMi^ (21) donnent x=p ,^^=50 , 2i=o ; et dans les équations (i4), (^5), (16), % étant zéro ^ les quantités V et y restent indéterminées. Les
rapports - et ^ ^ sont donc indéterminés.
a*. Lorsque D = o , l'équation Ot = o est vraie , quel que soit t; donc t est indéterminé ; les valeurs dex ^ y ^ z , fourmes^ par les équations (ai) > ^^'^^ <2o/ic indéterminées, Lea équations i (i4) , (i5) , (iG) devant subsister quel que soit *, il faut que a:' ety satisfassent aux équations (17), (18), (19). Le» for-* mules (20) expriment les valeurs de o/ et j^, tirées des deux premières équations. La substitution de ces valeurs, dans l'équation ( ^9 ) > donne Z> = o ; équation qui est vraie par li}rpothèse. Les valeurs de od et y qui satisfont aux équations proposées^ sont donc données par les équations (20). De
