XV

sorte que les rapports - et - sont déterminés. Les valeurs de

ces rapports peuvent se déduire des équations (10) et (11).

On peut démontrer Arectement que lorsque D = o , les valeurs de %, y» z^ qui satisfont aux équations (10)^ (* 1)9 (is)> doivent être indéterminées. £n eflPet , l'équation iDcno^ donne.. .

Mais les ëquaûoot (lo) et (ii) donftent. ...

^ ' • •*' «""ai&'— i&a" Î""a//-.A*"

l'éqaation (aa) deyimic donc. ....

L'équation (122) n'est donc qu'une cons9quenc& des équations (10) et (11) ; les valeurs de x, y , z ne sont donc «88n)éties qu'à satisf^e aux deux équiaiooi (10) et (1 1) ; cet

D ' JL L G É B R E. J187

tileiirs sont donc indéterminées (n*344)* T^ rapports -* et^

jotU o/orj déterminés par les équations (a3).

4g8. En général , étant donné m équations du premier degré entre m inconnues ; lorsque les termes tout connus sont nuls , les numérateurs des valeurs des inconnues sont nuls. Si leur dénominateur commun D n'est pas zéro , chaque inconr nue est égale à zéro , et le rapport entre deux quelconques de ces inconnues , est indéterminé. Si le dénominateur commun D est nul, les valeurs des inconnues sont indéterminées , mais les (ni— -1) rapports d'une inconnue à toutes les autres, sont déterminés par les ( m — - 1 ) premières équations ; la substitution des valeurs de ces rapports dans la dernière équor» tion , conduit à Séquation de condition D = o , qui est satis-^ faite,

499* Etant donné m équations du premier degré entre m inconnues , on en déduira la valeur de chaque inconnue ; et ces valeurs substituées Sans les équations proposées , condui-ront à des identités. Chaque inconnue n'aura qu'une seule n^aleur fn^ 4i23j, [Nous avons analysé les exceptions dont cette règle est suscept&le 3*

Etant donné m équations du i*^ degré entre (m+n) in^ connues , on poutra donner des valeurs arbitraires à n incon* nues ; car il restera m inconnues , avec lesquelles on pourra toujours satisfaire aux m équations. Par exemple , ayant deux équations. . . .

entre 3 inconnues ; m sera égal à a , et 71 vaudra 1 ; on pourra donc donner des valeurs arbitraires à TUne des inconnues ;

2=3, donne j:+^ =3; 2a: + 3y = 8; d'où 07=1; j=a.'

donnant une autre valeur à « , on en déduirait les valeurs correspondantes de x ety\ et ainsi de suite.

Enfin y étant donné (m 4* Q) équations entre m inconnues, un satisfera à m équations avec les m inconnues. Les valeurs de ces inconnues substituées dans les n autres équations ,

cr

donneront n équations de condition entre les données, tg possibilité des équations proposées dépendra de T existence de ces a équations de condition. Par exemple , étant donné lei trois équations

ar-f-fcy = c; tf'jî-f-i'^zrc' ; a!'X'^b''y=zd'

«ntre les deux inconnues x et y\ il doit exister une équation de condition entre les données. Pour la découvrir , on tirera lei valeurs de a; et j^ des deux premières équations ; la substitation de ces valeurs dans la 3* équation^ donnera....

„ fcV — hc\ ,„ /ad — ccl\ ^ \aV-bct)^^ \flb' - hd) =

Pour que les trois équations proposées puissent subsister en même temps , il faut que les données a^b^c\ a\h\ (f^cC, i", c' satisfasseut à cette équation de condition ^ en la rendant identique.

5oo. Problème. Etant donné plusieurs équations littérales r entre plusieurs inconnues , on demande les relations qui doii^ent exister entre les coefficiens des inconnues et les ternies tout connus , pour que les équations admettent des valeurs données des inconnues. Pour résoudre ce problème , il suffit de ^ substituer les valeurs que doivent prendre les inconnues ; les équations qui, en résultent expriment les relations demandées. Par exemple , si Ton demandait les relations qui doivent exister entre a^ b ,c'^ af, b\ c\ pour que les équations. . .

(i). . . .ax+ by= c; a^x + Vy=.d

admettent les valeurs x=:2, ^^ = 3; on substituerait ces valeurs dans les équations proposées ; ce qui donnerait. . .

(2) . . . . 2a -j- 3i = c ; îxd + 36' = d .

Ces deux dernières équations expriment les relations demandées ; et comme chaque équation ne peut déterminer qu'une des trois quantités qu'elle renferme , on peut donner des valeurs arbitraires à deux de ces quantités ; si Ton suppose . • .

fl==3 ; i=7; a' = 3o; 6' = 60;

les ëqitations'(ft) donneront., •• i^

les équations (1) deviennent alors....,

3x + 7j^ =r 27 ; 3ox -}- 6oy = Q^o.

Ces équations donnent elTectivement vr =i a et jr ±=: 3. Si Tou attribuait d'autres valeurs à a ^ b^ a\ b' , on trouverait des nouvelles équations qui admettraient les mêmes valeurs 2p= a , jr = 3. De sorte qu'iV exUte une infinité d'équations i^ui admettent les mêmes valeurs des inconnues.

5oi. Lorsqu après avoir tiré d'une équation la valeur d'une des inconnues qu'elle renferme , on substitue cette valeur dans la même équation, le résultat est une identité. En effet ^ soit l'équation. • . .

(i). . .cx+fcy-f"^=^'> on en tire (2). . .z=(d~-ajù — by) Je; bette valeur de z, substituée dans Téquation (1), donne V identité

Cela devait nécessairement arriver , car l'équation (2) exprimant les mêmes conditions que Téquation (1) , le résultat de la substitution de la valeur de z dans les équations (1) et (2) , doit être le même ; njais substituer la valeur de z dans l'équation (2) , revient à égaler la valeur de a à elle-même ; la Tésultat doit donc être une identité!. On peut encore dire: si là valeur d'une inconnue tirée d'une équation et substituée dans cette équation , ne donnait pas une identité , on pourrait 'augnienter à volonté le nombre des équations d'un problème ; et par conséquent un problème indéterminé deviendrait déter- 'Hûné ou impossible, ce qui est absurde.

Rapports et Proportions.

5oa. L'Introduction à t Algèbre renferme quelques notions relatives auftc rapports eV proportions. 'Wou^ allons compléter Cette théorie.

5o3. Le résultat ^ la comparaison des grandeurs de deux quantités, se nommé leur RA^'ORT ou leur RAISON.

5o4* Lorsqu*en comparant deux, quantités y on veut con-naître de combien l'une surpasse Vautre ; le résultat de cette comparaison, qui exprrime la DIFFÉRER CE de ces deux quantités , est leur rapport par différence. Ainsi , le rapport pur différence entre a' et V , est Çc^ ^^V) ; on riadique aaasi de (^ette manière a' ,V \ le point placé entre a^ et b\ a.doec ici la même signification que le signe — ; ce qui est fort incommode, puisque dans d'autres circonstances, V^'X^xessmid ,V signifie a' multiplié par V , Si Ton donne aux quantités a'ttl/^ les valeurs numériques 7 et 4 > on verra que le rapport par différence entre ces quantités , indiqué par 7 — 4> ou par 7.4, est 3.

505. Lorsqu*en comparant deux quantités , on veut connaître combien de fois l'une contient l'autre , le résultat de cette comr paraison , qui exprime le QUOTIENT des deux quantités diviséa l'une par t autre, est leur rapport par quotient. Ainsi, le rapport par quotient entre a et 6 , est a divisé par b ; on l'indique des

deux manières suivantes , -ret aZ b. Le rapport par quotient

entre la et 3, indiqué par ~, ou par 12^3, est donc 4.

506. Des deux quantités que l'on compare , celle qa'oa énonce ou qu'on écrit la première , se nomme antécédent, et la seconde conséquent ; l'antécédent et le conséquent forment les deux termes du rappo/t. Nous évaluerons toujours ce rap- J>ort , en retranchant le conséquent de l'antécédent (n* 5o4) , ou en divisant l'antécédent par le conséquent (n^ 5o5). Les propriétés des différences et des quotiens , ayant été démon-< trées en Arithmétique , il suffira de les rappeler, j

507. Le rapport par différence ne change pas , quand on ajoute à chacun de ses termes , ou quand on en retranche une même quantité (B. n® i47)- En effet, le rapport par différence «ntre a' et V, étant {d — b') , celui qui exista entre Ça^ ±id), et {V ±Ld), estjencore (a' — b').

D* À'L G Ê B tl ë; flgi

•5o8. Uh rûpport par 'quotient ne change pas quand on mut* tiplie ses detià: termes , ou quand on les divise par une même fuarâité (n^ gsi). En effet , le rapport par quotient de a

à 6, étaDt T> ceux de ma à mb et de — à — . se réduisent o m m

i r; donc .

mm o

5p9. Les propriétés énoncées dans les n'* 607 et 5o8 , serrent à simplifier les rapports. Ainsi, le rapport par différence do (p — i + c) à (^ — i + c) , est le même que celui depix, ou (p— x) ; car on peut soustraire ( — i + c) de chacun des termes du ^ra^pdrt (n** 607). Le rapport par quotient, dé

{, ) à ( , ) , est le même que celui de (a— 1 ) à

(i— /Q» ou T-— 7; car en supprimant le dénominateur. . .

(i 1— c) , on n'a fait que multiplier les deux termes du rapport par cette quantité , ce qui ne change pas le rapport (n* 5o8 }.

5 10. L* égalité de deux rapports se nomme PROPORTION ; et cette proportion est dite par différence , ou par quotient , ^elôn que les rapports quony considère sont par différence ou pçr quotient • Ainsi. • •

a' — A' = c' - cT , est une pri^portion par dUTérence ; car elle exprime que les quatre quantités (/, b\ tfy tf , sont telles, que le report par * différeticfe dès déujt ptemièrfed , est égal à celni des deux dernières. Cette proportion s'indique aussi de cette manière. . .

Le point placé entre les deux termes de chaque rapport, signifie donc moins; et les deux points placés entre les deux rappoHs, signifient égal. D'après ces conventions,

d'^V—c' — â:eXd.V\c\i, . ;

mviX deux expressions éqtihr^^tM , qui sigmfieot <pte la âiffé->

rence entre d et V , est égale à celle qui existe entre d et S. La 1*^® expression est considérée comme une équation » et se prononce , a' moins V égale d moins df ; tandis que la o,* est considérée comme une proportion par différence , qui se prononce , a' est à h\ comme c' est à d\

a c 5 1 1 . L'égalité y = -^ , est une proportion par. quotient , car

, elle exprime que les quatre quantités a , b , c, d, soHt telles, que le rapport par quotient des deux premières est égal à celai des deux dernières; cette proportion s'écrit plus commanéiment de cette manière. . .

Quand elle est ainsi écrite , on la prononce . . . •

a est à b comme c est à d.

Ainsi. .. T = ^; a l b il cl d

sont deux expressions équivalentes, qui expriment que le quotient de a par b est égal à celui de c par d.

5ia. Dans toute proportion, par différence ou par quotient, ainâ écrites ...

a . b l c . d-, ou al b II c l d,

le premier terme a et le dernier d, occupant les extrémités ^ fie nomment les extrêmes ; le second terme b et le troisième c, qui occupent le milieu , se nomment les moyens, a est le pre-* mîer antécédent, b est le premier conséquent; c est le second antécédent, d est le second conséquent. La quantité d ^ est ce -qu'on nomme une quatrième proportionnelle aux trois autres quantités a, b ^ c.

5i3. Quand les MOYENS sont égaux , la proportion est dite <;ONTIMU£. Ainsi. ..

a . blb ,c, et al bllb le

sont des proportions continues ; la i^^ par dififérence, la a* par quotient. Oa les écrit de la manière suivante. . . .

i a , b , c f proportion continue par différence , ^ a l b l Q y proportion continue par quotient».

-In

D * A L G È B R E. ûgS

Les signes f et ff, placés en ayant de la première et de la seconde proportion , indiquent que dans Ténoncé on doit répéter deux fois le terme moyen ^ qui est ici 6 ; de sorte que ces deux proportions se prononcelit. . .

ei est àh comme b est à c.

On dit que c est une troisième proportionnelle aux deux quantités a 6t b.

5 1 4* Les rapports par différence et par quotient, se nommaient anciennement rapport arithmétique , et rapport géométrique. En conséquence , les égalités de ces rapports , que nous avons énoncées , proportion par différence , et proportion par quotient,, se nomnfeient proportion arithmétique^ et proportion géométrique. Ces dénominations étaient vicieuses , car les rapports et proportions géométriques ne sont pas moibs arithmétiques que ceux qui portaient ^exclusivement ce nom, puisque ces deux espèces de rapports et de proportions s'appliquent également aux nombres. L'origine de ces noms tient aux usages qu'on faisait des rapports et proportions. La théorie des proportions géométriques est fort ancienne, on la trouve dans le 5* Livre des Élémens ^*Euclide; et comme il applique cette théorie . à la Géométrie , c'est probablement ce qui avait fait donner à ces proportions le nom de proportions géométriques. Les proportions arithmétiques avaient été ainsi nommées , parce qu'on ne les considérait qu'en Arithmétique.

5 10. La théorie des proportions arithmétiques n'étant d'aucune utilité, j'insisterai peu sur ce qui lui est relatif. Je donnerai plus de développement à la théorie des proportions géométriques, à cause de son utilité dans la Géométrie, On la regardait comme également utile dans l'Arithmétique , mais j'ai fait voir dans Y Introduction , qu'elle n'était d'aucune utilité pouç la solution des questions arithmétiques.

5iG. Le mot proportion^ ayant reçu dans notrç langue un sens qui ne convient pas à l'égalité de deux différences ; nous changerons l'expression proportion par différence, «n cell«

d'equi-^ifférence , qui indique Tégalité (le deux différences ; et nous conserverons le nom de proportion, axof. proportions par quotient. Ainai, toutes Içsfois qiion parlera d^une prùpor" tioriy on sous-entendra qu'elle est par quotient ; de même, lorsqu'on parlera d'un rapport , sai;s désigner son espèce , il faudra sous-entendre qu'il est par quotient.

D'après ces conventions, le^ expressions, rapport arisimé^ tique ^ rapport. par différence ^ différence ^ reste ou^ûççè^, kdiquent également la différence entre deux quantités. Les expressions , proportion arithmétique , proportion par jfiffé^ rence, équi-différence ^ indiquent l'égalité de deux diflférences. Les expressions, rapport géométrique ^ rapport par quotient ^ et rapport , indiquent toutes trois un quotiey^ EnEui les expressions, proportfo/ig-^omefr/çuç, proportion par quotient , pro^ portion , sont synonymes ,^ et indiquent l'égalité de deux quo^ tiens.

517. Dans toute EQUi-Djç^çEEifCE , la SO^WJ^ d^ extrêmes est égale à celle de^ moyens^ Çn effet, Tj^ui-d^ffeteAC^ . . •

a . b: c .d^ çyprjflxant qu.e a-rô==?c — 4 (a*5to);

ei l'on ajoute (& -{* ^ ^ux de«x membres de ^cette équation, il viendra. . .

a — J + fc -(-d=c-— J+fc-|-^> ou a + J=i--f-c; ce qui démontre la propriété énoncée ...

5i8. Réciproquement, lorsque la SOMME de deux quau" tités est égale à la somme de deux autres quantités , ces quatre quantités forment une équi- différence ^ dont les moyens sont les deux parties de l'une dés sommes , et dont les extrêmes sont les deux parties de l'antre somme ; de sorte que l'équi" différence existe, toutes les fois que la somme des extrêmes est égale à la somme des moyens. En effet , si la somme des quantités aet d, est égale à celle des quantités ft et c , on aura

Retranchant (Ô + d) de cha^que membre, il viejidra...

d'algèbre. agS

Mais cetle deraièr-e équation exprime qû« les quatre quantité» a,b, c, d , forment Véqui-différence a.blc.d'^ la propriété énoncée est donc démontrée.

5ig. Lorsque téqui-différence n existe pas , là SOMME des extrêmes n'est pas égale à la somme des moyens. En effet , si l'équi-différence a.blcd n'existe pas , (a — ij ne sera pas égal à (c — 4),x ajoutant (b -i-d) k ce3 quantités inégales , les sommes (a+d) et (&+c) seront inégales; la somme des extrêmes ne sera donc pas égale à la somme des moyens^

Bao. Lorsque la somme (a -j- d), de deucc quantités a , d , nest pas égale à la somme (c +b), de deux autres quantités c, b'; les quatre quantités a, b , c, d', ne forment pas l'équi^ différence à.bic.d; car (a + d) n'étant pas égal à (A + c); si de ces deux quantités inégales, on retranche (fr+rf)î les restes (a — fc) et (c — d) seùpt inégaux; la diffétence entre a et i^ ne sera donc pas égai^ à. la différence entre c et J ; l'équi-différence a.b*c.d n*extistera donc pas.

Sai. Toutes les propriétés dès équi-dijférences se déduisent des principes précédens. Voici les plus utiles.

622. Dans toute équi-différence , il suffit de connaître trois termes , pour obtenir le quatrième ; 1° si le terme inconnu est un extrême, on trouve sa valeur en RETRANCHAitT de la somme des moyens , P extrême connu^; si le terme inconnu est un MOYEN , on obtient sa valeur , enr retranchant: de la somme des extrêmes, le moyen connu^ En eff>8t^ Téqui^dlffërence. . •.

a , blc . d, exprime que a^-^b^ic — d.

Cette équation donne . . .

d=(6 + c) — a; et C5=:(a+rf) — 6. >

De ces deux dernières équafiont) la 1" démontre querpour obtenir Vextréme d , il faut de la somme (fr •+■ e) des mojp^nt» retrancher l'extrême a; et la a^dirquepour obtenir le moeysnc^ il faut retrancher de la somme (a + d) des extrêmes, le moyen b ; ce qui démontre la règle éhoncée^.

5a3. Dans une équind^^enca QçMii^e y, Uk $PMM^- 4es

Sl^S é L é M E K s

extrêmes est égale au DOUBLE -du terme moyen, car Téqui-) différence continue ...

a , b'ib ,Cf donne a + c=:i-|-5 = 2i; J = — — .

Le terme moyen b est le milieu^ ou la moyenne propor^' tionnelle arithmétique entre a et c. Et par conséquent , pouf trouver une moyenne proportionnelle arithmétique entre deux quantités , il faut prendre la moitié de leur SOMME.

5a4' Pour que réqni-différénce existe , il sufEt que la somme des extrêmes soit égale à celle des moyens (n® 5 18). Onpeu$ donc faire subir à une équi- différence toutes les transformations qui n altèrent pas l'égalité entre la somme des extrêmes et celle des moyens. L*équation a — i = c— •<£, fournit donc les huit équi-difTérences. , .

à ^' bt c . d b n a\ d.c

a . cl b ,d b .dla , c

d ,b\ c . a ù ,dla,b

d * cl b . a c . ald , b

car cette équation donnant' (a + ^ = (i + c) , dans chaque équi'diiTérence , la somme des extrêmes est égale à celle des

jnoyens. Passons aux propriétés des proportions par quotient

SaS. Si Ton compare la définition de Téqui-difFérence à celle de la proportion , on verra que la 1 ^^ ne diffère de la seconde qu*en ce que le mot différence se change en celui de quotient; le mot somme doit donc aussi se changer en celui de produit; et en effet, si dans les propriétés relatives aux équi-différences , on change les mots SOMME et DIFFÉRENCE, en ceux de PRO- DUIT et de QUOTIENT, on obtiendra les propriétés correspond dantes des proportions. En voici Ja preuve :

5a6. Dans toute PROPORTION , le PRODUIT des extrêmes est égal à celui des moyens ; ( principe analogue a celui da

a** 617). En effet, la proportion...

a c alb llcl d ^ exprimant que t = t (n® 5ii).

Si Von multiplie les deux membres de cette équation par hd.

il yienâra. . •

abd cbd , .

— r- =: — ï- ; ou ad=. be \ \ 0 a

5a7,- Réciproquement, lorsque le PRODUIT de deux quan^

tiiés est égal au produit de deux autres quantités ; ces quatre

€fuantités forment une proportion , . dont les moyens sont les

deux facteurs de l'un des produits , et dont les extrêmes sont

les deux .facteurs, de l'autre produit; de sorte que la proppr-^

tion existe^ toutes les fois que le produit des extrêmes est égal

à celui des moyens ; {principe analogue à celui du n" 5i8).

En effet , si le produit des quantités attd^ est égal au produit

des quantités & et c, on aura. . . )

adzzzbc'y

divisant chaque membre par bd ^ il viendra. ••

ad bc a c

bd~bd' ^"^ b~d'

Mais cette dernière équation exprime que les quatre quantités a, i, c, d, forment la proportion alb lldd', la propriété énoncée est donc démontrée.

5a8. Lorsque la proportion n'existe pas , le PRODUIT des extirêmes n'est pas égal au produit des moyens; (propriété analogue à celle du n* Sig). £n effet, si la proportion iz:6 Ile: d

n'existe pas , Içs fractions t> ;? ne seront pas égales; si on les

multiplie par bd, les produits ad et bc seront inégaux ; le pro^ duit des extrêmes ne sera donc pas égal à celui des moyens.

629. Lorsque le PROnuiT ad, de deux quantités a et d,nestpas égal au produit bc , de deux autres quantités h et c , les quatre quantités a , b , c , d , ne forment pas la proportion a I b ; Z c : d ; (propriété analogue à celle du n* Sac). Car ad n'étant pas égal à bc , si l'on divise ces deux quantités inégales par bd,

les quotiens v , -^ seront inégaux ; le quotient de a par b , ne

sera donc pas égal à celui de c par d ) la proportion albllc^d n'existera .donc pas.

, bc a

et C = -r-

530. Toutes les propriétés des proportions se déduisent cbt principes précédens \ voici les plus utiles.

53 1 . Dans toute proportion^ il suffit de connaître trois termes^ pour obtenir le quatrième.^Si le terme inconnu est un extréne^ On en trouve la valeur, en DIVISANT le PRODUIT des moyens par l'extrême connu ; si te terme inconnu- est un moyen , on en obtient la valeur ^ en divisant le produit des extrêm^patk moyen connu ; (principe analogue à celui du n? 5sl^)^ Et

effet > la proportion ...

al o II cl a exprime que -7 = t»

Cette équation donne . . .

cid

De ces deux dernières équations^ la i'* démontre que ponr

obtenir Textrême d , il faut diviser le produit bc des mojens

-par l'extrême a ; la si^ dit que pour obtenir la valeui: du.miR]wn c,

il faut diviser le produit adjies e^itrêm^ft p^ l'autre mojen b\

ce qui démontre la règle énoncée:.

53a. Les règles des n^ 5aâ et 53i , démontceut qof spdaa deux proportions (par différence ou par quotient) , trois t4irma correspondans sont égaux , les quatrièmes termes seront égaux,

553. Dans une proportion continue , le PROPUIT des extrêmes ( est égal au QUARRÉ du terme moyen; ) propriété analogue i "celle du n® 5a3). En effet , la proportion continue. . ,

al b II b l c donne dc-=zb* \ i = v/Se .

534. Le terme moyen b est la moyenne proportionnelbk géométrique entre a et c. Conséquémment pour trouver moyenne proportionnelle géométrique entre deux qucmtàéSfU faut extraire la racine QUARRÉe de leur PRODUIT.

535. Pour que la proportion existe, il suffit que le prodmt des extrêmes soit égal à celui des moyens {p° 527). On peut donc faire subir à un^ proportion , toutes les. transformfitiQnjiE qui n'altèrent pas l'égalité entre le PRODUIT des extrêmes

D* A li G É B R E. ag()

c^bii d^. moyens ', (p^o^Nriété ao^alog^e ^ celle ^u n^ 5^4)^ L*équation t = -^, fournît donc les huit proportions,

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