a^ià: c

btdilare'

Car réçi^ati^n a : i = ç : df, donPiW^ adz=.bc , U en réauUe que d^s chaque çrop^tt\çi^.y\^ produit d^ ,extrêj?;^ç& Ç5t égal, à celiii 4ç;3 moyens ; ces propçrtipn^ sont donc exactes^ 53S<» Ii)e la, proportion ,,>. .X

alb lld d, qui donne adtsz bc ,

on peut déduire, u/ie infinité d'autres proportions. J^oiçi les plus utiles. • . .

1*? , (a+c) : Cbrhd!) 1 5 a :. b ; (a+ç) : (i-M) : le ! d ; a«. <a~c) : (i—ïd) ::a, : b ; (aH-TP>: (3— ^ r.c : rfs

3"- .fe*c>:.(^+^);:(.x-T^>:(*r-Hi);

4^. (a;ti):(cdid)::i?;c;, iaàib) :Xc±dy::b : d ;

G». ia±mcy:{bdpfid) llalb; (G=tmc):(Ai7JMi>.::c:rf; 7^ (ad!iP7i^):(cJzW>::a:c; ia±jni):lc±inul).::b:d';

m^imbliçid; mflibiimclii >

o®. i a b . ûr^c»

mm fit 19

Toutes ces proppirtipnjs sput ç^çacteis,, ç^- dans cbacuii0ri en vertu ^e Tégalité afi= 6c , qoî «éfiuijte dç U proportipa, primitive qlbuçl d^ les parti.es qui composent 1« prodjui^ de« fextrêjxje^. , spnt égaler à celJjBS qui composent h produit dea moyens ; ç^s produite spnt dpijç égau;ç; la^ propprtipn eadatOr dpnç Qn° 5^j ), P^r eaçemple , la proportion.. . . •

(a,i:7nc) : (idimd) :: a: 6

est exacte ,■ car la proportion primitive, al bll c l <2> donnant (idçiz^bc', on en déduit ±mad:=^dz mbc, le prxxluit (a&dz/n&c) des CKtrtoies , est donc égal w produit (ab,±: mad) des-

âbo' ^ É L if M È'k 8^

moyens ; la proportion exister donc. L'exactitude des i proportions se démontrerait de la même manière.

537. Si à la proportion primitive a : blldd ,on pare successivement chacune dé celles qui en ont ét( duites , on verra que les dernières expriment les prep suivantes. Dans toute proportion , 1" /a somme des m de ?s est à la somme des cônséquens , comme un antécéieà son conséquent ; a** la différence des antécédens est à la rence des conséquens , comme un antécédent est à son c quent ; 3° la somme des antécédens est à la somme des séquens , comme la différence des antécédens est à la < reace des conséquens ; 4*^ l^ premier antécédent plus ou 1 son conséquent , est au deuxième antécédent plus ou mon conséquent f comme le i"" antécédent est au 2', où com 1'^ conséquent est àiL second; 5* le 1" cuitécédent plu, conséquent , est au 2* antécédent plus son conséquent , a le 1" antécédent moins son conséquent ^ est au o,* aniéc moins so A' conséquent; 6* le i*^ antécédent plus ou moi certain nombre de fois le a* antécédent , est au \" consé plus ou moins le même nombre de fois le a' conséq commjs un antécèderit est à son conséquent; j^ le i*^ a\ dent plus ou moins un certain nombre de fois son conséi est au 2' antécédent , plus ou moins le même nombre d son conséquent , comme le \*^ antécédent est au 2' antécé ou comme le i" conséquent est au a' conséquent ; 8* une portion n'est pas troublée , quand on multiplie ou divi extrême et un moyen par la même quantité ; 9* les puisi semblables de quatre qûaiitités en proportion , sont aui proportion ; de sorte qu^une proportion n'est pas troublée (; en élève chacun de ses termes â une même puissaria racines du même degré de quatre quantités en propor sont elles-mêmes en proportion ; de sorte qu'une prop TLCSt pas troublée quand on extrait une racine du même de chacun de ses termes,

538. Dans une suite de rapports égaux ^ la somme fiombre quelconque d^ antécédens ^ est à la somme d'un

D* A L G É B R E. Sot

Pmbre de conséquens , comme un antécédent est à son conagitent. Pour le démontrer , nous considérerons les rapports paz.

j= T7 = T5 = etc. ; ou a: i :: af^b' :: a^:i'::etc.

!i'a^t de prouver qu'ils fournissent la proportion. . .

(a + a' + a^+etc. ): (6 + i' + i^ -|-etc.) llalb.

%alité des rapports Tffiy tj > etc. , donnant ai' = db ,

''zrtcfb] etc. ; il en résulte que le produit (aA+(/A-|- a^i-f-etc.) a extrêmes , est égal au produit (oA-j- ai' +- ab" + etc.) des Dyens ; la proportion est d«nc exacte ( n® Sa/).

BSg. Lorsqu'on a plusieurs proportions , si on les multiplie nr ordre y c'est-à-dire les premiers termes entre eux , les wxmds termes entre eux y et ainsi de suite ; les quatre pro" f»is qui en résultent forment une nouvelle proportion. Pour ^ démontrer , nous considérerons les proportions ...

a \ b \l c l d \ ad = &c;

£/ : y :: c': rf' ; a'd= i'c/;

a\l b" \\ c": d"; aV= AV; etc. etc.

s'agit de faire voir qu'elles fournissent la nouvelle proportion.;

€ia'a' etc. : bVb" etc. :: ctfd' etc. : ddcT etc.

atte proportion est exacte, car en vertu des équations ad=bc, :r=z Vdy aV=iV, etc. , le produit {ad.a'd .a!'d" . etc.) a extrêmes est égal au produit ( bc . Vd . i^c" . etc. ) des çyens.

Les proportions ....

Sr les équations -a£{ =:bc , b(f=z cld , donnent. . . .j aJX be^ z=zbcX, à'd , ou ac^ = a'c.

Soa É L É M E N 3

540. Lorsque dans deux proportions , les antécéâeni ii égaux chacun à chacun , les coits'éqûèns sont en prd^rSà Il s'agit de prouver que les proportions.... '^

l uV. l jf\ donnent b t V Vi 3 l et, a : b :i c l a }

Or par lijpotbèse ....

ad = bc ) j f j . ( àd><,Vc^bcyKàit

6'c = cd' I °° "«^ ^"'*"* { oft b'd:=bdr.

La proportion 6 : b' lldl ^ est donô exacte (n** 627 ).

541* Lorsque dans deux proportions > les conséquent i<| égaux , les antécédens sont en pq^ortioUé II s'agit de pro8| que les proportions ....

Ëâ ^ff^t ^ les équations. . . .

ad = ic 1 , f àÀhd == Sch'a

L / • ^j f donnent \ , ,

oc z=z ad} iouûc =r cCc,

Telles sont les principales propriétés dés proportions. OniB qu'elles se déduisent des équations qui expriment l'égalité d rapports ; de sorte que tout l'échafaudage des proportifll deviendrait ihtitile dans toutes lès parties ded mdtbéttiâttM si on y substituait les équations correspondantes; ce quijett rait plus de jour sur les démonstrations. On peut s'en co vaincre çn lisant ta Mécanique de Francœur.

Problèmes indéterminés du premier degfi

542. Les problèmes indéterminés sorti ceux qui conduk à des équations qui admettent une infinité dé solutions. La qui tion du n® 176 estde cette espèce. Kn général ^ un problème indéterminé, lorsqu'il conduit à une équation identique (V Si ou lorsque le nombre des inconnues est plus grand que cêbd équations. En voici des exemples :

Si/j^^ZiB triple d'un nombre , augmenté de ^ ^ est à ce nombre

augmenté de 5, comme là i^st à 4* On demande le nombre

s qui jouit de cette propriété. Si x désigne ce nombre ^ on aura. . .

d'où (n* 526)

4(3x-f 9) =2:ia(x +3); i2aî + 36#= i2x+ 3S.

Cette identité admettant une infinité de valeurs arbitraires de X , le prpjplème est indéterminé. Et en effet , on peut s'assurer qu'un nombre quelconque positif ou négatif , entier ou fractionnaire , satisfait aux conditions de la question. Lés problèmes qui conduisent à dts identités , n'offrant aucune diffi* culte , nous allons passer à l'examen des questions indéteHni-* nées f dans lesquelles le nombre des inconnues surpasse celui des équations.

S^. Lorsquun problème, entre deux inconnues il et y ^ ne fournit quune équation , cette équation admet une infinité de amleurs de x et y ; mais quelquefois , toutss ces valeurs ne conviennent pas au problème , parce quil peut imposer auas inconnues , par sa nature , des conditions particulières , qui ne sont pas exprimées dans l'équation^ Par exemple > si x %tj exprimaient des nombres d'hommes , les valeurs entièrtt et positives de x et y seraient seules admissibles , et suivant que l'équation admettrait une infinité de solutions entières et positives , ou un nombre déterminé de solutions ^ ou n'en ad- ' mettrait aucune , le problème serait indéterminé , détermine ou impossible. Si a: et ^ devant exprimer des nombres tt^era positifs , trois problèmes conduisaient aux équations . . .^^

y = x+x', ^ = 3 — r; jr = x + i,

I* le i*"^ fierait indéterminé , car toute valeur entière positive

f- de 0? ^ augmentée d'un , en donnerait une pour y. Le 2* serait

f déterminé , car il n'admettrait que ces deux solutions entières

i tet positives.. .

«: = 1 , qui donne j' = a ; et a?= a , qui doâne j^r=s 1;

Enfin, le Z* problème serait impossible^ car toute Valeur dtfji^j augmentée de ^ , donnerait une valeur fractionnaire pour jfl]

545. La simplicité des équations précédentes a' mis en éyidenre les solutions entières et positives ; mais il est quelquefois diflicile de les appercevoir. Par exemple , Téquation. . •

5x -H 3y = 49 , donnant jf = 2iZL-£ ,

on n'apperçoit pas les valeurs de x qui donneront des nombre! •entiers positifs pour 'y» Les seules valeurs de £' qui jouissent de cette propriété , sont a , 5 , 8 ; elles donnent y =: i3> jr=r: 8 , y = 3. La recherche de ces valeurs exige des artifict».!? de calcul que nous allons indiquer. Dans toute cette anab/^ (du n^ 546 au nf 58i j ^ nous supposerons que les inconmmà doivent être des nombres entiers positifs.

546. Payer 49* ût'^c des pièces de 5^ et de S*". Désignoni par :r et^, les nombres de pièces de 5* et de 3*. Lesx pièces de 5* vaudront, x fois 5* , ou 5x^', les y pièces de 3^* vaudront 3y^ \ mais ces deux sommes réunies doiventformer 49^^ donc

Cette équation admet une infinité de solutions ; mais d*aprè9* la nature du problème ,'on ne peut prendre que les valeers entières positives de x et y. Pour les découvrir , nous déga-* gérons y , ce qui donnera. . 1 . .

ax "■■■■ 1 0? et^ étant des nombres entiers , — = — doit être un nombre

entier positif ; désignant ce nombre par e , on aura. . .

(2)....j^=iG — X — e ; (5). .. .e = (2x — 1 ) : 3.

Si e était connu , en substituant sa valeur dans l'équation (3)| on en déduirait a: ^ et ces valeurs, substituées dans l'équation-(s) ^ donneraient j^. La question est donc réduite à trou-

Sri

D* A L O È B R E. 3oS

Ver les valeurs de'e , qui donnent des nombres entiers positifs pour X et y. L'équation (3) donne. . .

Pour que la valeur de x soit entière et positive , il suffit

e "^ 1 que , soit un nombre entier ; désignant te nombre par e',

on aura • . . .

(4).. . »a:t=e + e' ; (5). . * . ^-^^I^jcré'.

La recherche des valeurs entières positives de x ety^ n'offre plus aucune difficulté. En effet , l'équation (5) donnant e = ae^— i ; on en déduit» . . •

j^ = i5 — X— 6=35 16 — (5e'— i) — (ae'—i) = i8 — 5e'.

Ces valeurs de j: et j^ doivent satisfaire àTéquation (i)^ quel que soit e\ car on les a déduites de cette équation. , dans laquelle une des inconnues pouvait recevoir des valeurs arbitraires. On peut d'ailleurs le vérifier , en substituant dans l'équation (i) pour x et ^, leurs valeurs (Se'— i) et (i8 — 5e')*, il en résulte

on en déduit ....

Or quel que soit e\ chaque membre de ces identités sera zéro ; c^ reste donc indéterminé. II suffit donc de trouver les valeurs entières positives de e\ qui donneront des nombres entiers positifs pour x et ^ , dans les équations ....

(6) a: = Se' — 1 ; (7) jf = 18 — 5e'.

; Toute valeur entière de e\ donnera des nombres entiers pour i « et y. Mais comme on exige que ces nombres'Soient positifs,

} i faut que 3e' soit plus grand que l'unité > et que Sef soit plus

So6 é ,L é M É N s

petit que i8. H en résulte ces trois solutions de l'équation (i)...*

e' = 1 ; qui donne , a: = fl ; j^ ^= i3 ; i'* solution, «' = fl ; qui donne , a; = 5 ; y = 8 ; 2' solution. c' = 3 ; qui donne , x z=: i ; y •=: 5 ; 3' solution.

Pour vérifier la i'^* solution , on dira; i3 pièces de 3*, pfm fi pièces de 5*, raient Sg* plus 10*, ou 49* * comme l'exige ^' renoncé.

547. Si Ton réfléchit sur la solution précédente , on reconnaîtra que les^transformations de Téquation proposée, avaient pour but de faire disparaître les dénominateurs qui affectaient ° les valeurs des inconnues , afin de réduire le coefficient d*imi inconnue à Tunité. Or il est évident qu'on y parviendra d'autant plus vite , qu'on extraira un plus grand nombre d'entien de chaque expression fractionnaire. On abrégera donc les calr culs y en préparant les numérateurs des inconnues , de manière à. en extraire le plus grand nombre dentiers possible, II n'exiita aucune règle générale ^ l'habitude seule du calcul ^indique lei transformations qui conduisent le plus directement au but Dans notre exemple , on peut abréger les calculs de la mar nière suivante. L'équation (1) donne...

Soit (1 + x) : 3 = e ; alors a: = 3e — 1 ,

jr=iG — 2a: + e= i6 — 2 (3c — i)-^-e=i8 — 5f. Pour que x et y soient entiers positifs , il faut que e soit

entier plus grand que ^ et moindre que ^ ; on ne peut doal' o prendre pour e , que 1 , ou a ^ ou 3 > ce (^i conduitaux vakntf K de X et y déjà obtenues. " 'e

Le seul but des transformations de Téquation proposée étant ^^ de réduire le coefficient d'une inconnue à l'unité , on peiU abréger les calculs, en n'effectuant la division que sur te ter inconnu. Ainsi ^ pour résoudre l'équation

5* -f- 3y = 48# qui donne y = ^9 "I* — ,

D* A L G Ù B )El E. S07

on n*sffectnera la division que sur le terme inconnu 5x ) et désignant par e, e' , dea nombres entiers , on sec^ conduit au calcul suivant. . .

él=^^e; x=^~^" = ^9-^e = e^-c, 0 a a

Remontant aux valeurs de x et y, il vient. • .

rc = e' — e = e' — • (49 — fie') = 3é' -^ 49 > y=e —x=(49 — aeO — (3e' — 49>=98~5e'.

Pour que a: et jf soient positifs , il faut que e' tombe entre ^ e| M • on ne peut donc donner à e' que les valeurs

c' = 17 ; d'où a; = 2 , j^ = i3 , i^* solution. «' = 18; d'où 07 = 5,^ = 8, a* solution, è' = 19 ; d'où 07 = 8 , jy == 3 , 3* solution. ,

Ces trois solutions sont celles du n° 546* Si on lés compara avec l'équation proposée , 5r + 3y = 49 > on verra que les valeurs de X croissent du coefficient 3 dey , tandis que celles de y décroissent du coefficient 5 de x. Nous démontrerons dans le n* 57a , que toute équation du premier degré entre deujp inconnues jouit de cette propriété,

548- L^^ méthodes précédentes s'appliquent à toute* les équations indéterminées du 1®' degré ; nous nous bornerons à indiquer les calculs , en suivant le procédé du n^ 54S. Les élèves devront résoudre les mêmes questions , d'aptes les deux autres méthodes (n° 547); ^^^ verront que ces* trois méthodes conduisent à des formules différentes , mais on en déduit les toêmes solutions. Nous en donnerons une démonstration géné^ l^ale dans le n°577* Pour éviter des répétitions inutile»^ nous prévenons que x ,y,z^t, e^e^e", désigneront toujours des 9%onJfres entiers.

. fS(4s» Payer 49*" o,vec des pièces de ^ et de 6**. Si I prend x pièces de 3^ "et y pièces de &*", on aura. . .

5x-f-6y = 49; d'où a7 + 3y=:^.

Mais X et y devant être des nombres entiers, la quan (jt + fly) sera un nombre enther , qui ne pourra pas être c à ^. // est donc impossible de payer 49*", avec des pièces de et de 6^.

550. Payer 1 1"^, en donnant des pièces de 5^ ^ et recevi des pièces de 6** On donne x pièces de 5*" , qui valent 5a on reçoit y pièces <îe 6* , qui valent 6y** ; on ne paye d( réellement, que 5i^ — Sy"^ > mais cette somme doit être ég i ir^;donc. . * ,

5a: — 6y = 11 ; on en déduit. . •

j' + 1 = 5e, d'où ^ = 5e— i; a7 = 6e+i.

Mettant un nombre entier positif pour e , les valeurs con

pondîtes de x et j' seront entières et positives ; de sorte c

ie problème est susceptible d'une infinité de solutions. I

exemple ...

e = a , donne j^ = g , a: = i3.

On payera donc 1 1**, en donnant i3 pièces de 5*",' et recev; 9 pièces de 6^.

55 1. Les neuf Muses , portant chacune le même nomore

-couronnes de fleurs , rencontrèrent les trois Grâces , et k

offrirent des couronnes. La distribution faite , les Grâces

les Muses avaient chacune le même nombre de couronnes, i

demande combien les Muses portaient de couronnes , et coi

bien elles en donnèrent (n** ijS). Si chaque Muse porte

couronnes et donne j^ couronnes , les neuf Muses qui ayai(

9X couronnes, auront donné 9^ couronnes aux trois Grâces. '.

distribution faite, chaque Muse n'aura plus que (a?—;

couronnes; les trois Grâces auront reçu ^y couronnes; di

cune portera donc 3y couronnes. Mais alors, chaque Muse

tfaaque Grâce ^ doit avoir le même nombre de con^Qmies; donc

x-^y=z5y, d'où Qx=2 3Sy^ le nombre total des couronnes.

Cette dernière équation démontre, que tout multiple de 36 peut être pris pour le nombre des couronnes. On le yérifiek'ait comme dans le n® 175.

55a. Un père de famille a a4 cnfans. Le nombre des gar^ gons est exactement divisible par 7 , et celui des filles par 5. // s' agit de découvrir le nombre des garçons et ceiui des filles. Si a: et ^ désignent des nombres entiers^ on pourra exprimer le nombre des garçons par jx ^ et celui des filles par Zy , car 7x et 3y sont respectivement divisibles par 7 et par 3. Mais le nombre total des enfans est 224 *> donc

Pour découvrir l'es valeurs entière^ et positives des incon-* naes y on résoudra l'équation par rapport ky ^ce qui donnera

v-8 — Zî

j^ devant être un nombre entier , x doit être divisible par 3 ; on a donc ...

jp = 3c ; d'où ^=8— ^7s = 8 — 7e.

Les valeurs Ae x eXy ^ devant être entières et plus grandes I}u4 zéro, /eproi/éme n admet qïi une solution; elle correspond à. l'hypothèse c = 1 , qui donne jx ==21 et 3y = 3. Àinsi^ il y tivait âi garçons et Z filles.

553* Un fermier envoie ses trois filles au marché. Il donne 7 CBufs à l'^née yZ à la cadette , et ^ à la Z*. Elles vendent sine partie de leurs œufs à Z*^ , et le reste àd"^ ^ et rapportent ehacune la même somme d! argents On demande quelle est cette MJnme, et quel est le nombre d'œufs vendu à chaque prix. SI - )a fille aînée vend x œufs à 3-^, elle vendra son reste, (7. — ai) ''«ifs, à a*^. Elle aura donc vendu ses 7 oeuft jQur

SaH" + (7 — op) a*^.

SI la fi* et là 5* fille, vendent jy cêufs et z œufs à y, on trouver qu'elles ^apportent. • .

. %^ + (8 — >') fl^ et 3»^ + (9 — z) a-^.

Mais -chaque fiHe doit rapporter la même somme ; on doit donc avoir. . .

3*-t-(s— z)a = 3/-t-(8— jr)3^' |2=jr — 3

N'ayant que ces deux équations entre les trois incomnns x^ y y z, on peut donner des Valeurs arbitraires à x , et en di- 4uire Içs valeurs correspondantes ^ey et z ; de aorte que aoi équatiQji9 S09t susceptibles û*une infinité de solutions ; maâ d'après la nature du problème, .on ne peut admettre qnelei valeurs entières positives de a; , j' , a. Pour les découvrir , on substituera l'expression (a:— 2) de j^, dans celle de s , ce qui donnera..'.'

z =jf — a=±:(a; — a) — azzzx — 4« On a donc. . .

Or d'après la nature de notre problème , les quantités (7— x) ^t (x--J|9^ doivent être entièt^ et pooiives. On tie peut àumS admettre que les valeurs x = 5 , x = 6.

x = 5 y donne j^ = 6— n=r3 et 2=5 — 4=^1 a: === 6 , donne y z= 6 — 2 = 4 et2; = 6 — 4^^^*

L'exactitude de ces solutions est fac^e à vérifier. En effet^ d la fille aînée , qui a 7 œufs , en vend 5 à 3^ et 2 à a*^ , eUi rapportera ï5^ plus 4*^> ou 1^''' ', la cadette vendra 3 oni&i 3-^ et 5 œufs à 2*^, pour 19*^; enfin la 3* vendra un œuf pour 5*^, et 8 à 2*''; elle rapportera donc 19*^. Les trois filles r^ portent donc 19*^ chacune. On vérifierait la seconde solatioi dé la même manière.

554. Trente pauvres ont reçu 5o^, à raison de 5^ pat homme ^ de 2*"* pair femme ^ et de 1*" par enfant. Combien y avait-il tîhommes , de femmes et d'enfans ? Si x , y , z , désignent cw

inconnues, on aura.

a:-j-^ + z=:5o et 3a?+ 2y-)- z==: 5o.

d'algèbre. 3ii

La !'• équation doane j&=^:3o — y — x\ substituant cette valeur de z dans la 2* équation , on trouve . . . '

3a:-f-2y4- (3o""^"^^)=5o, d'oùj^ = ao — ax.

Mettant cette valeur àe y dans celle de ^> il vient...

«=;3o— a: — ^ = 3o — a:— (ao — flx)== lo-f-x. Donc*..

^ = a(io — x)\ a=io + a:;

T, y^ z devant être des nombres entiers positifs^ a?^doit être plus petit que lo; le problème est donc susceptible de neuf solutions que l'on trouvera, en mettant pour x les neuf premiers nombres i , a , 3 g. Par exemple . . .

a:=4, donne y = a(io — 4)= ^^ ®t z\=:io-f-4= i4* Les 4 hommes prennent la*, les la femmes a4^, et les i4 enfan» i4*; ce qui fait 5o* pour les Sa pauvres.

555. Une montre indique les heures , les minutes et les se^ tondes. Lies trois aiguilles sont sur la la* heure. Il s* agit dé découi^rir tes rencontres de ces aiguilles y^ deux à deux, et trois à trois. Si les trois aiguilles se rencontrant après x heures ^ l'aiguille des minutes a rencontré y fois celle des heures , et Taiguille des secondes z fois celle des heures , y et z seront nécessairement des nombres entiers positifs , et •x sera un nombre positif, entier ou fractionnaire. Cherchons les relations qui existent entre x, y, z. Le cadran contient 6o divisions ; pendant une heure , Taiguille des heures parcourt 5 divisions , PaigiiHIe des minutes en parcourt 6o , et celle des secondeis et^ parcourt 36oo. Donc , en une heure , l'aiguille des minutes parcourt 55 divisions de plus que celle des heures j et l'aiguille des secondes parcourt SSgS divisions, de plus quie celle des hetires. Domc pour'parcourir une division de plus que l'aiguille

des heures ^ l'aiguille des minutes met y? , et celle des secondes

met ^, ^ . Mais lors de la i'* rencontre de deux aiguilles,

r«ne doit avoir parcouru 60 divisions de' plus que l'autre; la ir« rencontre de l'aiguille des minutes avec celle des heures^

3ia É L É ME N S

aura donc lieu ^heures après le départ; lay^"»' rencontre de ces

aiguilles aura donc lieu dans -^^ heures ; mais cette rencontre

a lieu dans a: heures; donc. . .

On trouvera de la même manière , que le temps écoulé depuis le départ des aiguilles , jusqu'à la a^'*"' rencontre de l'ai-, guille des secondes avec celle des heures, est exprimée par '

X heures et par ^f~f heures ; donc . . .

L'égalité des deut: valeurs de a?, donne. . .

Si e désigne un nombre entier quelconque, les valeurs correspondantes de 2 et ^, qui satisferont è. cette dernière équation , seront. , , . '

* , 6qy lîîv

ae.

La 1^® rencontre des trois aiguilles aura lieu lorsque e sera égal à l'unité l cç qui donne ...

Ainsi, à partir de midi , la 1^^ rencontre des. trois aiguilles aura lieu dans 1 2 heures , c'est-à-dire à minuit ; C aiguille des minutes aura rencontré 11 fois celle des heures ^ et l'aiguille des secondes aura rencontré 71^ fois celle des heures. On obtiendrait les autres rencontres générales , en donnant à e Je* valeurs a, 3, 4, 5, etc. L'expression x :?= 12e, démontre que les rencontres des trois aiguilles n'ont lieu que de 12 en 12 heures, sur la 12' heure,

556. Un berger interrogé sur le nombre de ses moutons , ré* pondit : En les comptant 5 à 5, il en reste 2*; comptezt-les 11 â 11, il en restera 4 J ^^ ^' "i^ous les prenez x3 à iS , il en ru^

d'algèbre. Si5

fera ii. On demande le nombre des moutons. Avec un peu d'attention , on voit que si n représente ce nombre , il faudra que 71 divisé successivement par 5, par ii et par i3, donne des quotiens oc y y , z, et des restes a , 4* ^ ^ * Indiquant It preuve de chaque division^ on trouvera. . .

n = (5x + a) = (i 1^ -(- 4) = (i3« -f- 1 1) ; donc. . .

(i). . .5a; + a=; i*iy + 4, et (a). .•5x-f-a=i3z + ii-

J[l s*agit de trouver le^ valeurs entières positives ûe x^y , z^ qui satisfont à ces équations. Voici le calcul ; la i'" équatioa donne ...

j^=:5f — a; a:=::a^-f-c = a(5e — a)-}-e= iic — 4*

^Mettant cette valeur de ai dans l'équation (a) , on trouvé. » .

55c*""""aQ • 5(iie — 4) + û=:i3z+ 11 , d'où »= =-^.

£iFectuant les divisions, il vient. . .

• / , 3e — 3 , , 3Ce— i)

Soit c — i = i3c'; alors z==4e^— â + 3e'; e=13e'+l'. Exprimant x,y,z^ au moyen de e\ on trouve. . .

z =4e + 3e' — a= 4(i3^e' + i) + 3e'--a = 55e' -fa, ^=§e — û = 503e' + i) — a;=G5e'+3, a? == aj' + e = a<6^5e^ 4-3Ô + (i3e'+ i) = i43e' +7, » = 5a; + a = 5 (i43e' 4- 7) + a = 7i5e' + 37.

L'emploi des deux autres valeurs du nombre des moutons, 't^ndùiràit au même résultat; de sorte que. . .

le nombre des moutons =7i5e'+37.

Chaque nombre entier substitué pour e\ donnera une solution ; le problème est donc susceptible d'une infinité de solu-' . tions. Par exemple , e' =:t a , donne 1467 pour le nombre total 4e9 inouioâs.

557. Trois berf^s jouent les moutons de leurs troupeaux , et conviennent que celui qui perdra doublera le nombre des mouf^ ions des deux autres ; de sorte que chaque gagnant reçoit outant de moutons qu'il en a. Le 1*^ berger perd Id i^ partie, le a' la a', et le Z* la 3'. Chaque troupeau est alors compilé du même nombre de moutons. On,. demande combien chaque hçrger ai/ait de moutons, en entrant au jeu et à lajindela 3' partie. Désignons pair x, y , z, les nombres de môûtéiisde chaque troupeau ayant la i*^* partie; «t supposons qu'à là fin de la 3* partie^ chaque troupeau contienne t mbntbns. Lei inconnues oc, y, z, t, seront des nombres entieirs positife. H» sonnant Comme dans le n^ 14S, on former^i^ ce tableau da nombre des moutons de chaque "berger à la fin de chaque partie ...

3* partie 5 i«r berger t montons, a*. . . t mont. ^ 3«. . . t moit.

a*partie) !•' - t , a«... - t , 3«... ae......

lîf« partie 5.... lei^ -y t ,a«...4« ,3*... t

Entrée au jen ; i«' ^t '.. , a«... 2 « , 3«... |«

iMaîs X i y , z , désignent le nombre des moutons de chaque l)erger^ avant la 1'* partie ; donc. . •

Pour que x,y,z, soient entiers , il suffit que g soit lin entier t\

donc . . .

Chaque nombre entier substitué pour e, donnera une solution , de sorte que le problème est entièrement indéterminé. Par exemple , •

e=3, donne ^ = a4, xz=:3q , yzr: 21 ^ 2= 12.

Cette solution correspond au problème du n° 148.