Payer 60^, en donnant des pièces de S^ et de 5^ , H
recevant àés êcus de 3^. Désignons les nombres de pièces de chaque espèce par x ^ y ^ z. On donne , x pièces de 6^ , plus y pièces de 5*", qui valent (6±* + 5y^) ; on reçoit z écus de S^^ Où. Saïf' ; an ne paye donc réellement que (£x -f 5y •— 3ê)^ ; mais on doit payer 6o^ ; donc. . .
(6a; + 5y — Zz) = 6o.
Comme on n^a qu'une équation pour trois inconnues , on pent donner des valeurs arbitraires à deux inconnues , et déduire dé l'équation la valeur de la 3* inconnue ; de sorte, cjue l'équation admet une infinité de valeurs de x ,y ,z. Mus le nombre des pièces de chaque espèce doit être entier positif; on ne peut donc admettre que les valeurs entières positives de x^ y, z. Pour les découvrir^ on tirera la valeur de s de l'équation proposée ; et pour abréger les calculs , on préparera cette vide[ur de manière à en èxtrmre le plus grand hoûàit% dentiers pos4lk> ce qui donnera. . .
zs=s ^ <-z^ "«^ w e^sxax + ûy — ao— V
Pour que z soit entier, il faut que*^ soit un nombre entière; ^onc. . .
y=5e\ z=!ix+Qy — ao — ^=2a:+6e— ao— c=ar+5e— ao;
Potar qn^a?^ jr^ s-, «oi^nt etttiers positifs , il mifit que j; et 0 «oient' endi^rs pontifs/et que ix -^Se soit plus grand que flo» Donnant à j; et i e une Infinité de valeurs arbitraires, sau« mises 4 cest^ondidoos, les formules. . •
^=:3t, z=aa:+5e — ao
donneront les valeurs correspondantes de^ et z\ de sorte q\\% le problème est susceptible ttune infimié de solutions. Par exemple , . . .
é=i , donne jr = 3 et zrzsaa:-}- 5e — ao = ax — )5*
Pour que z soit pontif , il faut que ax soit plus fp'and qua i5. On peut dont donner i X des valeur! arbitraires plus
SlS i L É M EJX S
grandes que 7. Soit a; = 8 ; alora c==i6 — i5 = i; ainsi oa peut prendre. . .
a:=8; jr==3; «3=1.
Et en effet, si Ton donne 8 pièces de 6^, plus 3 pièces de 5^, ou 48*" plus iS*", ou G3*; et si Von reçoit un écu de 3*, .on aura payé Go*.
559. De combien de manières peut-on payer 4^*, ouec des pièces de 6*, de 5*^ et de S*^ ? Si Ton donne x pièces de 6*, plus^ pièces de 5*^ plus z pièces de 3*,Nla somme totale sera 6af + 5y* -f- 3z* ; mais Cjette somme doit former 49^» donc
6a: + 5y + 3z = 49«V On en déduit . . ^
Soitjf+i=3e; alors z=:iB— »-aa? — oy-f-e, j^ = 3e— 1. Mettant cette valeur de jf dans celle de s, ikflÎBnt. . . »z= i6 — 2x — 2 (3e — 1) -}-«== 18 — (ax-p5e). Donc. . .
jf=:(3«— 1) et a =18 — (aa; + 5e).
Pour découvrir toutes les solutions du problème , il suffit de donner aux indéterminées x , e, des valeurs entières et positives , telles que (1^0: + Se) soit moindre que 18. Analysons ces valeurs ...
e= 1 , donne j^ = a et a = i3 — ax. ^
Pour que z soit .entier positif, il fâ«t que x soit ni^ndre que 7 ; on peut doue prendre pour af les six nombres 1 , a , 5, 4> 5 > 6 ; les valeurs correspondantes de 2 sont 11 , 9, 7, 5,3, 1. Toutes c^s valeurs de a: et 2, combinées avec jr =3, donnent .su? solutions du problème , correspondantes à e = i. La 1'? de ces solutions est. . .
Et en effet, une pièce de 6*,^ a de 5** et 11 de 3*" , valent 6*+ io^ + 33\ pu 49*^- On verrait de la même manière, que 6= a, donne trois solutions , et que e=3 ne donne qu'une solution. On ne peut pas supposer e plus grand que 3 ^ car
D' A L G é B R E. Siy
Se doit être moindre que 18. A^otre problème n'est donc susceptible que de dix solutions. 1
56o. On proposé de payer S/oo""" avec des billets dejcd^^ 900^ et 1100^. Si 07, j^, z désignent le nombre des billets de chaque espèce^ les x billets de 700^ yaudroht yoox* -, les y billets de qoo* vaudront gooy^, et les z billet» de iioo*" vaudront iiooz^. Mais la totalité de ces billets doit former 5700^ ; donc ...
700a: + gocy + 1 looz = 6700. On en déduit. . . j^— 57 — qy--iig 56 — 7j^ — 7g — (2y4.4z— O 7 , 7
Soit (c + 1) = ae' ; alors e = ae' — 1 ,
y =3e— a2-f-e'=^(2e' — 1) — 2z+e'=:7e' — aa— 3 ,
ar=8— ^— a — c=8— (7e'— az— 3) — z — (ae' — 1 )=! a+2— ge'.
Les valeurs de a: et ^ dépendent de celles des indéterminées 6^ ef z\ et d*après la nature du problème ^ on ne doit admettre que les valeurs entières positives de e^ et z , qui donneront des nombres entiers positifs pour x et y. On satiisfait à ces conditions ^ en supposant e et z égaux à l'unité ; car il en résulte x^=^ /^ e\ y t=z ^. 'Ex tu effet , 4 billets de 700*", plus a billets de 900^; plus un billet de 1 100^, valent 6700*", comme l'exige l'énoncé.
Le problème n admet que cette solution. En effet, x^y,z doivent être des nombres entiers positifs. L'équation proposée donne
7'^+9y + ii2;=57; 112 = 57^- (7^+9^).
Mais X et y ne peuvent pas être plus petits que l'unité , la valeur de 1 iz ne peut donc pa s être plus grande que 67 — (7+9), pu 41 > H fiombre entier z ne«peut donc pas être plus grand.que 3.
Cela posé , les valeurs de x ety , étant ....
2=1, dorme a; = i3 -^ 9e' ; jr = 7e' — ^ 5;
2 == â^ donne a: = i4 — 9^' ; y '=- 1^ — 7 ;
a = 3, donne or = i5 — 90' ; y ^=1 j«^ — 9.
Dans ce» trois solutions , il reate à déterminer e\ de manière que X et y soient entiers po^tifs. Avec un peu d'attention ^ on Toit que la seule manière de satisfaire à ces conditions , est de prendre 2 = i^é^ = i ; ce qui doine la solution unique a;=4>J'=^> 2=1. En effet , les hypothèses 2=;= a , 2 =3 ne donnent aucune solution , car si 6^ est un entier plus grand que l'unité y les valeurs de x deviennent négatives ; et si e'= 1, la valeur de y devient nulle ou négative. La valeur 2^= 1 , est donc seule admissible ; elle ne donne qu'une solution ^ correspondante à e' = 1 ^ car il en résulte ....
et si e' était .un nombre entier plus grand que l'unité , la valeur (i3 — 9c') de x deviendrait négative. Les seules valeur» entières positives de x , j^^ 2 , qui puissent satisfaire à l'équation
7x+9y+ 112= 67 ; sont donc x^=4* J'^^^; 2=1.
Cette analyse mérite toute l'attention des élèves. // est facile de trouver des solutions dun problème indéterminé , la difficulté consiste à déterminer le nombre de ces solutions.
5Gi. Payer 71*, at/cc des pièces de 5^ ^ de 16^ et de ad"'* Désignant ces nombres de pièces par x , y , z^ on sera conduit à réquation . . .
Sx + ioy + 202 = 71 ; d'où a:=: ^— (ay+4*)«
La fraction ^ étant irréductible, et (2y+4*) étant un nombre entier, la valeur de x sera toujours fractionnaire. Le problème est donc impossible.
&6a. Un fermier achète 1 00 bêtes pour 1 00 pistoles , à raison 1 de 10 pistoles fKO^.bcguf y de 5 pistoles par vache ,de a pâsteké par veau j^ et dune demirfistole par mouton. Il s'agit de dé^
D* A L 6 £ B R E. Slg
•couvrir k nombre des animaux de chaque espèce. Si x, y , z et t désignent les quatre nombres inconnus; on aura. . . .
x-)-y+z+i=ioo ; ioit:-|-5y+az+ j t= loo.
Ces deux équations admettent une infinité de solutions; car on peut doiyier des Taleurs arbitraires à deux inconnues et en déduire les valeurs des deux autres ; mais d'après la nature du problème^ les valeurs entières positives de x ^y^z , t, sont leà seules qui conviennent ; cnerchons donc à les déterminer, hà première équation donne ...
la substitution de cette valeur de t, dans la deuxième équation ,
conduit à« . . .
^. VI, . isx + 9y + 5z = i(X>;
a ou ion tire .. .
Soit X — 1 =z= 3e ; on en déduit .... x=: 3^+ 1 ; a=33— S(3e + 0 — 5j^— e = !27— (i9e + 3j^);
f=ioo-r-x— jr — 2=100 — (Sc-h i)— / — 27-+- i9e-)^3^3=7a-4-i6e-f-a/.
Les quantités j^ , e sont indéterminées. Pour que x,y, z,t soient entiers positifs^ il suffit que (19^ + ^) soit moindre que aj ; ce qui exige que Tentier e soit moindre que a. On ne peut donc donner à e que les valeurs o et 1 . Cela posé . . •
e=:o j donne 07= ;i ; 2 = 5(9 — y^ > * = 7^ + ^>''
Pour que z soit plus grand que zéro , il faut que^ soit moindre que 9 ; on pourra donc donner à y les huit valeurs- 1 ^ fi ^ 3 ^ 4, 5, 6, 7 , 8 i ce qui donnera huit solutions. *
e= 1 , donne x = 4 ; z=8— 3y; t=88 + fiy.
Mais a doit être positif; on ne peut donc prendre pour j^ que t ou a ; ce qui donne deux solutions. Le problème proposé est donc susceptible de dix solutions. Par exemple....
c = o et^ = I , donnent a? = 1 , a = a4 > ^ = 74^
3iiO é L É M E N s
Et en elFet , i bœuf, i vache , 224 veaax et j4 moutons , forment 100 bêtes ^ qui reviennent à 100 pistoles , comme Tezigi renoncé.
563. i£s exemples précédens suffisent pour mettre en état de résoudre tous les problèmes du premier degré, dans lesquels h nombre des inconnues est plus grand que celui dê^équatians* Ig Dans ce cas , les équations admettent toujours une infinité de solutions, et sont entièrement indéterminées ;^€ds quelquefmf la nature du problème qui conduit à ces équations , imposant des conditions particulières aux inconnues ; le nombre des s(h iiitions diminue , et le problème peut devenir déterminé, ou
même impossible ; mais il peut aussi rester indéterminé.
564* Nous avons dit (n®344) qu'un problème était dét»» xtàm 9 lorsqtfe ses conditions conduisaient à autant d*équationi que d'inconnues ; mais quelquefois des conditions qui paraissent différentes , ne sont que des conséquences les unes des autres ^ l'Algèbre en avertit , plusieurs équations se réduisent à ifmi seule , le nombre des équations devient moindre que celui da\ inconnues , et le problème est indéterminé. En voici un exQaipk.i
565. Un nombre est composé de quatre chiffres. Le l'^chiffrej* en partant de la gauche , ajouté au dernier', donneSpow\ somme ; le a', ajouté au 3*, forme j ; le 1^ et le 3* chiffre , donnent une somme qui n'est que les ^ de celle des deux | autres ; enfin , la somme des quatre chiffres e^ i5. Quel est U nombre qui jouit de ces propriétés ? Si , partant de la gauclfe, r on désigne les chiffres du nombre demandé par x , y , z,t\(m¥ sera conduit aux quatre équations .... ■>
^+^=8; y+zz=:j ; a:+2i=f Qy+0 î y+x+z+t=iS.
Si Ton ajoute les deux premières équations , membre à membfe, la somme des deux premiers membres sera égale à celle da 'seconds ) ce qui donnera ....
(a;+ 0 + Cj' +2i) = 8 + 7, ou y +x +z+ t=ii.
La dernière équation i^'est donc qu'une conséquence de»; denx
X D*A L G £ B R E. Sni
premières. On n'a donc réellement que les trois équations. . . ^
pour déterminer les quatre inconnues ^ , y , a , f ; le problème est donc indéterminé. Donnant des valeurs arbitraires à lune dçs inconnues , à z, par exemple ^ces trois équations serviront â déterminer les valeurs correspondantes des trois autres inconnues. Pour abréger les calculs , on exprimera les inconnues ^ 9 y 9^f ^"^ moyen de Tindéterminée z, A cet effet , on titera de réquation (2) , ^ = 7 — z ; cette valeur de y , substituée dans réquation (3) , donnera t = 2 -f- a ; mettant ( s -f* â) au lieu de t, dans l'équation (1) ^ il viendra a:= 6— s. Les diverses solutions seront donc fournies en donnant à l'indéterminée z , des valeurs convenables , dans les trob équations....
Le nombre demandé devant être composé de quatre chiffres;
le 1*' chiffre x , ne peut pas être zéro , et a? , j^ , a , t, doivent
être entiers et positifs. On ne ^ut donc donner à Tindéter-
minée z que les six valeurs o^ 1 , s ^ 3 , 4i ^ > c® V^^ fournira
%lz solutions du problème. Par exemple. . .
a = 4 > donne a? = a, j^ = 3, *=:6; le nombre a346 » qui en résulte , satisfait à toutes les con« ditions du problème.
Xa solution précédente peut être simplifiée en exprimant les valeurs des inconnues , au moyen d'un plus petit nombre de caractères. En effet , le i*' chiffre ajouté au 4% donnant 8 ; A le 1*^ chiffre est x , le 4* sera ( 8 — x) \ le a* chiffre ajouté an 3*, donnant 7 ; si le a* chiffre est j^ , le 3* sera (7 — yy. Ainsi , le i*' chiffre est x \ le 4* est ( 8 — a?) ; le a* est jr , et le 3* est (7—^)- Passons maintenant aux deux autres Conditions du problème. Le 1*' et le 3* chiffre donnent un» ^somme qui n'est que les | de celle des deux autres ; on a donc • •
ta dernière condition est implicitement comprise dans les
as
-précédmHB ^,t9ai la lomme des quatre chiffrés a;, (8r-^x), y et (7.7^ia. ^8t identiquement i5..0n n'a donc réellenfient que rJquatSon (i0, jpôur calculei: x et y \ le problème est donc inêétéHiUtàé. L'équation (4) donne y = or -|- i ; mettant x+i pour j^^; ffiihs ïal Valeut (7— j^) 'du 3* chiffre , lé» quatre chiffre» séront-iahsï"è!ipfiniés , au ri»yeii de Tindéterininéé a:. . . .
i*^chiffçe==^;. ^^z=ix+i\ 3* = 6 — x\ 4«j=z8 — x.
Snbalitaant Kuttcesaivement pbur x , ks somkre^ 6^ 5^4* ^t ^ji Is on retômlotera sur. les sohitioos déjà trouvées.
l^iscussvon de Fêquatîôri indéterminée a'x -f- Vy =c^
5G6*. Pfôus venons de rêsou'dré plusieurs problèmes indéterminés, dans lesquels les quantité? connues étaient données en nombre^, . Qfl P^."* considérer les mêmes questions, sous un pQint-rdç-vpe plus général , eu substituant des lettres aux nombres connus. ,£a marche du calcul reste la même ; mais on parvient â.d^s formules dont Tanalyse offre de plus grandes difficultés. Je me bornerai a.indiquer cette analyse pour V équation indéterminé^ du premier degré entre deux inconnues x et y. Cette équation est fournie pai* le problème suivant.
5S7. Trouver deux nombres teU, qu*en multipliant le premier par a! et le second par b', la somme de ces deux pro-* duits soit égale du nombre connu c'. Désignant les deux nomifes inconnus par x.éï y ^ on aura, ...
(1) . . . .^.aV + ^'> = c'.
-Comme on n'a que cette équation pour déterminer les dtucQ inconnues x et y , on peut donner des valeurs arbitraires À rûiiè- des inconnues , et déduire de l'équation les valeurs cctrrëspokdaiites de Vautre inconnue. De sorte^ que le problème esfsuscepiîblé d'une, i'nfinàéàe' solutions, Paiju: en dimiaiifir le nombre , nous supposerons que a\ h', c', étant des nombres entiers , positifs ou négatifs , léis inconnues x et. y doivent ét^^'dujafiniires entiers pw^4^s. Désignons par /2 }e plus sn^4.
d'àloébre. 3fl3
commun diviseur des trois nombres a^ h\ c ; alors. . . •
a, b , c désignant trois nombres entiers , premiers entre eux. La substitution de ces valeurs de </, b\ c\ dans Téquation (i) ^ donne . . • •
ad,x+bd,yz=cd; d*où (^a). ., ax + bymzc. Analysons Téquation (a).
568. Lorsque a et b ont un diviseur commun , x et y ne peuvent pas être des nombres entiers. En effet , si a et & sont divisibles par k ; comme a, A, c, sont premiers entre eux ,
A et c n auront aucuns facteurs communs ; r sera irréductible , et Ton aura a:=:qky b z=:(fk ; Téquation (2) deviendra. . . .
qh.M + q^k.y^szc \ d*où ^a7 + ^^=Tt
Si j:? et j^ étaient des nombres entiers , comme (j .et q' sont
entiers , (^a: + q'y) serait un nombre entier ; mais'r est une
fraction irréductible ; un nombre entier serait donc égal à une fraction irréductible ; ce qui est absurde. Donc x ety ne peuv vent pas être entiers. |L' équation 3x + 6y =^49 (n^ 649 ) , est de cette espèce ; aucunes valeurs entières de x et ^ ne peu- Vent y satisfaire.
569. Tfous supposerons dotic , dans toute la suite de cette unalyse,^ que a et b n*ont aucuns facteurs communs ; alors
j- et - seront des fractions irréductibles ( .n<* /^vj ).
