Pour trouver les solutions de féquation (2) , nous sui

'%nrons le second procédé du n° 547, ^^ i^ovxs dirons : Si l'un des

«oeSSciens, a par exemple , était Tunité , on aurait x=c — by\

substituant pour ^ des nombre? entier», tels que (c — ^)

fte positif, on obtiendrait les valeurs correspondantes de a; j

ce cpa n*offre aucune difficulté. On ne. peut plus suivre ce

Sa4 i L é M E N s

procédé , lorsque les coefficiens a et 6 sont tous deux plut grands que Tunité; mais il est toujours possible de ramener ce cas au précédent ^ en faisant dépendre la résolution de l'équation proposée , de celle d'une équation dans laquelle le coefficient de Tune des inconnues est Tunité. En effet , b peut être plus petit que a , ou plus grand que a ^ ou égal à a. Analysons ces trois cas.

571. P' CAS. Si b est plus petit que a, on tirera de Téquation (a) ,

(3) ^=(c — flx):ft.

On pourrait extraire de cette fraction tous les entiers qu'elle renferme^ en divisant c et a par b ; mais comme le seul but de ces divisions est de réduire le coefficient d'une inconxrae à l'unité^ on abrégera le calcul en n'effectuant la division que sur le terme ox. Nous profiterons de cette remarque dans toute la suite du calcul, en n'effectuant la division que sur le terme affecté de Tinconnue. Divisant donc a par b , nommons q le quotient^ et rie reste; alors. . .

léSL substitution de cette valeur de a dans celle de j^ ( équation 5) , donne ...

c — (bq -^-Ax . C'^rx

Pour que y soit entier , il faut que (jc^^rx) \ 6, soit un entier e, (e peut être positif ou négatif). Donc. . .

(c — rx) : 6=e; d'oùy = — çx+e et (4)« • • xz=zÇc^^be)\r,

Si r était l'unité ; en donnant à e des valeurs entières , on en déduirait pour x et y des nombres entiers ; de sorte que le problème serait résolu. Si r n'est pas l'unité , on opérera sur l'équation (4) comme on a fait sur l'équation (3) , et la difficulté fiera diminuée ; car on se propose de parvenir à un diviseur >égal à Vunité , et dans les équations (3) et (4) > le diviseur r est moindre que le diviseur b. On avisera donc b par r ; soit if le quotient j et / le reste \ alors 6 = rç' + /. La substitution

s ' A L G i B R e: 3iâ6

de eette valeur de b , dans celle de x (équation 4)> donne. • .

Pour que x aoit entier, il faut que ( — - J soit un entier ^ y {é peut être positif ou négatif) ; donc. • . «

-^11 — sse'; d'oùa;=: — ç'e + e', (5) c = — -7 — .

Si / est l'unité , en donnant à ^ des valeurs entières ; les équations. . •

donneront des valeurs entières de e, oc^y^ le problème sera donc résolu. Si / n'est pas l'unie , on opérera sur l'équation (5) comme sur les équations (3) et (4) , et l'on divisera r par/. Mms sans pousser plus loin les calculs , on peut remarquer qu'ils se réduisent à chercher le plus grand commun diviseur entre les deux nombres entiers a et h; car après avoir divisé la plus grande de ces deux quantités par la plus petite , ce qui a donné le ' reste r ; on a divisé la plus petite b par le reste r > ce qui a donné le reste / -, on a divisé r par /, et l'on vok qu'en suivant ce procédé , on serait conduit à diviser les restes successifs les uns par les autres; ce qui s'accorde avec la règle donnée (Arith. n* i^i) pour trouver lé plus grand commun ^iviseor «ntre les nombres a et 6. Or, par h3rpothèse, ces deux nom-^ bres n'ont aucun diviseur commun ; leur plus grand commun diviseur sera donc l'unité ; et par conséquent, après un nombre de divisions tout au plus égal àh , on parviendra à un reste égal à t unité. Supposons que / soit ce reste; âlotsl . .

/ = 1 , J = rq' -|- /= rcf '■^i. Les équations. . .

donneront, en mettant pour e sa valeur (^c-^re^) , a:=i=e'— fl'e=i/— 9'(c— rO = (i+9'r)c'— C(7'==fté5'-C9\

^y=»e— 9x=:Co— re')— ^(*e — C9')=0 +W') c:^ ir+^)^^

S^S é L Ér M E N s

Désignant le nombre entier positif (t + qq') par p , et observant que (r-+Liç) =a, on aura enfin. . .

(G) x±=i + be' — cq'\ y=L — ae' + cp\ p=.i+qq\

Les lettres a, kî Cy p, q^, désignent des notnbr^ connus , de sorte que les valeurs de x ^Xy ii:e dépendant que deis'. Or, d'après la nature du problème ^ é est une indéterminée ^ car dans les équations (â) et (3)» on peut donner des valeurs arbitraires à a:; la valeur àey dépend de la valeur arbitraire donnée à x] dans r équation (4), , la valetir de x dépendde la valtur arbitraire donnée à è ', enfin dans l'équation (5) , la valeur de e dépend de la valeur arbitraire donnée à e''j^donc, les valeurs, de x çt y, qui satisfont à t équation (a) , rie dépendent que des valeurs arbitraires données 'û l'^indétermiHée e', dans lès équations ÇS^, On peut d'ailleurs démontrer dire'dHeihent que e^ étant (jùelconque , les valeurs d% xetj, déduites 'des formules (6) *, satisferont toujours à l'équation (a). En effet, si Toil substitue ces valeurs dans l'équation (a) , on trouvera .*. .

(/T) . . .cz=z(^db — ab ) e'!+ ( ^P~ w' ) ^' O^ R=W+;ii a=à^-f-r^ {'•T-r7'=/==i,; dope... bprr^aq'xi:b (<// + 1) — (è^ + r) ç' =ô -^^ rq'':=± i • L*équ£^xi (K) se réduit donc à . . .

c=a (ab.^ ai)e' + c ; d'où' (afi — ab) e^-f- (c — c) =^ o.

Dans cetje identité , c' resté inrf^iprminé.. . , .

Ainsi^ pQur obtenir des sohiUons de r équation (a) , il suffit dans les formules (S), de donnef! c; e' des valeiOfs telles , que ,(be'r- -Tcq')^^i; (çp — ae') soient des nombres entiers positifs. Pour appliqi^r. cette méthode générale à un exempte^ on cornparerai' équation (i) ^un** 546,

5r + oy = 49 , à l'équation générale ax -f- èy — c ; ce qui donnera ... ^ '

» 'v ' a = 5, ft = 3 , c = 49» Xa diviei<m dëirpar &, donne h quotient q)=z i et le reste r:^à ; làdivi^on de b par rVdom>e le^quotienf 9' s 1 et le

La substitutfoYl de ces valeur^ dânb les équations (6) , donne...

Ces valeurs Ab x et y sont les mêmes que celles -du n'^ 547-

• • < «y ..I» ■■'*'iii-à" -.«i.jjf/

Lès valeur^ successives de or et y se déauisént fadlemeat les unes des autres. En effet ^^ supp'o^sons que 71 et Tt,-^.^ soient deux vaîeurs de e'^ et que les valeurs correspondîtes de 9^ tXy soient x\^ ^ et od'yy'. Les formules (6) donneront. . . .

pour e'==n,. . # x:=:2x' ^Trzbn^^cq' ^y:=^y^ ^^z-^^an-^cp-,

pourc'=n+i, . . .a:" = è (714- 1)— c(/' -jj^" =.-^, a («+0+ 9^î

On en déduit . . . a:" = j/ + & ^ et j^" =y -r a. .

6712. Les équations x''^=zaf -^b ^ y\ =^' — (ï> compawet à l'équationor + èy = c > démontrent que , pour passer a une solution â ta suwante, il suffit d'ajouter à la va]euf,,ffe^% ff coefficient b de y , et de retrancher de la valeur de y le coefficient a de X. Les mots afoutér et soustraire îidtit Wfà dan§ Tacception algébrique ^ c'èst-^â-dii^^uë a et 6 pTeû^âîl téprésenter des nombres positifs ou négatifs. Par exemplair si acB-L— a » et A=a — 5, les vdieurs de a/* et y*' devièBB^dt'. ;C —:'

a/'=x' + bz;^3f^3 et j^ fa/ -^-assy'-T^ (r-f.à) wjK + Ô.

D'j^è k règle précédcûte, ai ï et (/+rf> ^finaiieot la plus petite et la plus grande valédt de e' , les t^léû^^stM^s^ sives de rrcit^^ déduises déis é^âtioâft (6)^ eh êu^ô^afkïti .4.

Si x^ et ^^ — da) sont les plus petites valeurs entières positive! de X ety, alors (j/ — i) et (y-r <fa — a) serowtuégatife-

673. On peut démontrer directement la prx)priété du n* 670 > sans résoudre l'équation ax*^iy:!i=:c. En effet, si a; = «6 et y ±E=* , ôaÊsfont à cette éqaatiôn, un aura. .. dit -fitftxc» ( les leftrês ee et ff déaigneiït dèil nombries èûtîêîfdlpaÂife). lA

5â8 S L é M E HT S

eubstitution de cette valeur de c dans Téquatlon proposée ^

donne^ ,4

ûx-f- iy = a«fc+iC; on en déduit. ..

Mais '(y — ^) est un nombre entier ; a(a: — *) : frjdoit donc être un nombre entier ; or ^ par hypothèse , a et i n'ont an« cuns facteurs communs; (a?-— otï doit donc être exactement divisible par h (n° 4^3). Si ^ désigne le quotient de cette di-^ vision , dû aur^. . .

X — «6 = ôe' ; dou j^ — C = ~ ^ = — ce .

Ces équations* donnent. . .

a: = fre' + * ety=fc — oe' + e .. (7). C*j

Si rbn stippose qpe les valeurs dé x et^ correspondantes à c' = 71 et è^ = n + 1 , sont x^ ety , x" et^ ; alors dans les équations (7). ...

ff z=Ln^ donop a?' = /&n-f #t. et . y=--^aji + ff, é'^sUf^-x, donne x''=j(/i*f.i) + «^iy=-"û('*+ i)"4"f;

d'où.,. »,; ,»/

ccf' — ^a;'=i;y — y=2— cr; donc x''=a?' + *> ^ ==y'— ^•

Ces detK féqvations démontrent la règle du n^ 672.

674^ â^' Cit^'^ «St b ^toî^ p&f^ grand que a^ on tirerait la valeur de œ^. l'équation (3) » et on opérerait comme dans le 1*' cas; ce. qui conduirait à des résultats de même forme.

575. 3» Cas, 5i b^^aji é^ga/ à a , l'équation (2) du n** 567, deviendrait.^.

1^1 La labttimtion de c^syalenn de x et / dans l'c^atîoa. . . (a). . . ax-f-&^ = c = aA-f-&C, donne ridenûté. . .

dans lac[Qelle V reste indëtenùin^. Xef valeurs de z et j j déduites dti formules {^), satisfont donc à V équation (2) » quel que soit sf.

D * A L G è B R E. Zu$

Mais a^b^c sont premiers entre eux; a, a, c sont donc premiers entre eux, a et c n'ont donc aucuns facteurs com-

muns^ - est donc une fraction irréductible (n^4^7) ',x etynm

peuvent donc pas être des nombres entiers.

676. Les propriétés que nous venons d'établir sênt indépen^ dantes des signes de a^ b,c; de sorte qiilelles conviennent à toute équation du pfemi^. degré entre deux inconnues. Noua allons, faire voir que le nombre des solutions dépend des gran^ deurs et des signes des nombres représentés par a^ b , c.

Dans l'équation (a) ^ on peut toujours supposer b. positif ; car sll était négatif, en changeant les signes de tous les termes^ on rendrait ax positif. Il suffit donc de faire toutes les hypothèses possibles sur 6 et c^ en supposant toujours a positif. L'écpiation (a) est alors susceptible de ces quatre formes. . .

ar-f-iy = c, or— 6ys:c, aa?— .fty=3— c, ax + ^=— o*'

En n'admettant pourx et y que des nombres entiers positifs , on voit que la i^* de ces quatre équations n est susceptible que^ d'un nombre déterminé de solutions; car la somme des nombres positifs ax et by y devant être égale à c, les parties de cette somme ne peuvent pas croître indéfiniment ; la a' équation et la 3' admettent une. infinité de solutions , haï les nombres ex. et ty croissant indéfiniment ^ leur différence peut conserver la. même valeur c. Enfin ^Za dernière équation est absurde, car la aonmie des nombres positifs ax et by, ne peut être égale aii nombre négatif — c. Les formules (6) démontrent les mêmes propriétés ; en effet :

1**. Quand hetc sont des^ nombres positifs, les équations (6) donnent ces valeurs de x et y... '

Pour que x et y soient entiers çt positifs, il faut que e^ soit un

cq' nombre enti($r positif, plus ' grand que -r^ > et plus petit que

2L; ce qui exige qu^ ^ < — , ou que ffg' < bp (n* Go8> ; or

a on a trouvé. . ..

p = (/(7' + i , 6 == r/ + 1 , a =;r .;^,ii7 = r+. (r/ 4- i)(7.

La substitution de ces valeurs de p. fr. a, dans l'inégalité a(f '^bp i donne successivement. . ^ ' \^

'(r + rqf9' + 9)Y < (r^+ i).(w' ■+..iy,

. rc;' + rqq'q' -|1 çijf' < rq' + r(/(7Y + ^î' +' I ; ou cr< i .

Cette dernière inégalité étapt .t9Pio;urs yraie , la condUion

Co CD

•V- ^ — est toujours remplie-. Oh obtièWdfn donc des solutions

D^ Si

de r équation (.2) ax + by = c , en donnant à l'indéterminée . . . . e >

les valeurs entièrespositiv^s comprises ^entre—- et -J-; il sujffit

donc f pour que le problème soit possible , qu'il tombe un ou

plusieurs nonpbres entiers entre — èt~. Les valeurs de x et •■ ' • D- ■■ a ■

y ne pouvftnt pas être plus petites -qne l'unité , ax^ly ocr c

ne peut pas être moindre que (a^b). Le problème sera den:e

impossible f lorsque c sera plus petit que (a-}- b). «Si c était égal

À (a-f-b) , les seules valeurs entières pffiitii^es de x et y seraient

tunité, ? u..'

s^. Si b est, négatif et t positif \^ Aoité b change de signe dans

le n^ 671 ; l'équation (9) et les yakui^s-de x et jr années par

les formules (6) y deTiennent. . .

or — iy = c, a: = — be'-^cq'^ yrri'^ae^ -^cp.

Tant que e' setSi positif, la valeur de où sera négative ; on doit donc supposer e' négatif, ou 0'== — 6*, e" étant positif; alor^

t^ ■ xz=::be'''~^cq^':^bfe'''^^\ y =:z ae" + cp.

La valeur de jf sera toujours positivé ; pour que x sait pdsifif, il faut que e" soit plus grand que -^;«t conséqaemméixt^ CfÉ

peut donner à e" des videurs entières quelconques , plus grandes que^ -~. Donc, t équation ax— ^by=c, admet toujours \ine

infinité 4^ valeurs entières et positis^es de % et y,

3**. Si h et c sont négatifs , l'équation ( 2 ) deviendra nx-'^hy ==,— c ; et les formules (S) donneront, en changeant les signes de & et c , \

X'izz'^be' ^ ^q' ^ y=3^a^ ^^q».

Tant qne e' sera positif, y sera négatif; soit donc / =— è^, il en résultera ...

a: = ie*' + c^' et J' =; 4- ce'' — cp =3 a f e" •^— \

Donnant à c* des valeurs arbitraires , plus grandes que — ',

les valeurs correspondantes de x et y seront positives; de sorte que léquçLtiçn ax->— bjt=: -^ c, admet une ir^nité d^ valewv entières positives de. xety, w

4^. Si 2» étant positif f c était négoHft l*équatio(B^(ft).€br "Rendrait ûo? -f- 6y ;ç3— c, et Ton voit qu'aucunes vateurs positives dex et .y ne pourraient satisfaire à ceéte dernière équttùon , car la somme des nombres, positifs ox et &y , ne peut î^unaîe éjtre égale i» nombre néga^ *^ c. Les formules (S) inijiqiieiit cette impossibilité, car elles dannent..

xzribe' -^ ccf: et y=i — a/ — cp.*

Tour que y so\t positif, il faut que e' spit négatif ; fiosant dooiC è' = — e , on en déduira . . .

xt^cq'—he' = bQf — e'\y = ae''—cp = a(e^

Four que x et y soient positifs, il faut que e" soit moindre

que -^, et plus grand que — ; ce qui exige que -~-, soit plût

grand que -^; mais oh a prouvé que -jt- <C — • ^^^ f^^". )nules Ç6) ne donneront donc aucunes solutions de réquatioii

a3:4-&y=— c. Et en effet ^ cette équation n'admet aucune! •; valeurs positives de x et y. m

577. Nous avonsprouvé (notedun^ 575),</afi toutes les valêun de X et j, déduites des formules (7) satisfesaient à l' équation,.,

(a) ax4-l}y=c (*)

Nous allons démontrer que la réciproque est vraie, dei\r à-^re que toutes les valeurs entières positives de xetjftpd peuvent satisfaire à l'équation (a) , sont données par les for^ mules (7). £n effet , soit a?=£t et y = f , une solution de

réquation {a), déduite des formules (7); de sorte q«e

OA -|- 6C= c. D'après la règle du n"" 673 > toutes le$ yalenrs de X ety y déduites des formules (7)^ seront. . .

\C-hna), (C-*-/ia— a),...(C-*-aa),(C-*-fl), C,(C— û), (C— aa),...(C— n'a),

En ayant soin d'arrêter ces séries départ et d'autre , lorsqu'on trouvera des valeurs négatives de a; ou j^ ; ainsi, netnf sont des nombres entiers positifs , tels que *— (n + ï) ^ etff — (i/+i)o flont négatifs ; les plus petites valeurs entières positives de x etjr, déduites des formules (7) , sont donc («& — nH) et (C-^n'a') ; 1» plus grandes valeurs correspondantes de j^ et x sont (C-f-nfi) et (fit + n'fi). Pour démontrer que les valeurs de x et y , déduites des formules (7) , sont les seules qui puissent satisfaire d réquation (p,), il suffit de prouver, 1^ qu'on ne peut passatisr faire à F équation (a) avec des valeurs de x et y, moindres que (*— nb) et ÇC — n'a) , ni plus grandes que (et -f- n'b) et (C -|- na); Si? que les^valeurs de x et y ^ qui satisfont à l'équation (a), ne peuvent pas tomber entre deux des valeurs consécutives dex et y déduites des formules (7) ; de sorte que , par exemple ,

(*) On suppose que les termes de Péjaalion (a) n'ont pins de factem «ommans ; alors pour que x et y puissent être des nombres entiers , il faut que a et b soient premiers entre eux ( n^ 568 j. Nous supposerons que cette condition est remplie. Nous supposerons anssi que a, b^ e *09i Ij ' positifs^ il sera facile d'appliqaw la dcmonstratioi; au^ cas oîi a > d> e otf l* des signes quelconques.

«x=xT€*y=y^ satisfont à l' équation (a) , ia valeur de xf^ ne peut pas tomber entre a-^ ab et A^Sb, et celle de y ne oeut pas tomber entre C et (C — • a) . Démontrons ces propriétés :

1^. Toutes les valeurs de x et y, qui peuvent satisfaire à T équation (a)^ sont nécessairement comprises entre lesplus petites et les plus grandes valeurs de x et y déduites des ^formules (7) . En effets soit A^^nbzrzaf, la plus petite des valeurs de x déduites des formules (7) ; la valeur correspondante de^ sera y^ = C -|- na, et y sera la pins grande des valeurs de y, dé-< duites des formules (7) ; car en vertu de Téquation (a), jr est , d'autant plus grande que x est plus petit. x:szxf ety=y/^ devant satisfaire à l'équation (a) , on aura. . .

oo/ -J- ij/ = c.

D'après la règle du n** 57a, {af —- b) et (y + a) satisfont i l'équation (a) ; mais a/ est la plus petite valeur positive de x^ déduite des formules (7) ; (a/-— b) doit donc être négatif. Cela posé^ si une valeur positive de x, moindre que a/, pouvait satisfaire à l'équation (a)^ en la désignant par xT'^ on aurait j/'^' = a/— ir , et J serait moindre que b , car (jxf — - b) est négatif. La valeur correspondante de j^ étant y '^^^ il en résulterait aa/^'-i-iy"' = c ; mais x^''' = x' — J' et c = aa/^bf ; donc ,

a (a/— J) + fc/'''= ûo/ +6y ; d'oùy'''— y = yî

(y"— y) étant un nombre entier, le nombre b doit diviser le produit a.i", mais 6 et â sont premiers entre eux (n^ 669) ; b devrait donc diviser ^(n^ 4^3) ; ce qui est absurde, puisque i" est njioindre/que b. Aucune valeur.de x, moindre que la plus .petite des valeurs de x déduites de la formule (7) , ne peut donc satisfaire à l'équation (a). On démontrerait de la même manière, qu'aucune vale^ur de y moindre que la plus petite des . valeurs de y déduites des formules (7) , ne peut satisfaire à l'équation (a) ; et comme x est d'autant plus grand que y est pliis petit, le principe énoncé (^®.) est démontré.

a**. Aucune solution entière de l'équation (2), rie peut tomber

entre deux des , solutions consécutives données par les formulée, (7). En effet , si x'' 9ty^ désignent des valeurs de x ety'àéàvittê des formules (7) , en supposant e' :=s:z', on aur<(. • «

Pour obtenir la solution suivante, on stipposera e' == z 4" i ; les valeurs correspondantes de j: ^t y seront (x'+fc) ef (^ — û). Par la même raison , deux autres solutioiis consécutives, déduites des formules (7) , seront j/',jr*, et (a?* -f- A), (y — a); et Ton aura ax*' -f- fty''±r= c. Il s'agit de prouver que les valeurs de a? et j^ ^i satisfont 'à Féquation (2) , ne peurcûf pas tomber entre ces solutions. En voici \â démonstralSon; sî a? = x** et j' = J'* > satisfoiit à f équation (2)', on anfa. . .

ojcf' + by" = c ; mais ax' -f-^by = c eî ax" + ^" = c ; done ax'''^hf^=:^x"-¥hy" < ' '*'' • "^^"^^ ( a {x^-x')^}, {.f—f) ... .(9)

Si x"' pouvait tomber entre x' et x' •+• i , qui sont deux ^Falenrs consécutives de x^ déduites des formules (7)» on aiurait

or'* = a:' -f. Z', ou x*^ — a/ = ^^ et <f<i. • L'équation (8) deviendrait. * .

Mais ^y — ^y ) e^t «Ji nombre entier ; J devrait dwîc diviser exactement gJ^ ; 9r i et a sont premiers entre eux , b diviserait <fonc :î" (n®433) » ce qui est impossible, puisque i est phijS grand que J^. Donc enfiïi , x** ne peut pas to'mber entre x' et j/ + h.

Si y pouvait tomber entre y et (y — a), on aurait...

y =y — y et cr<;a ; réquation (9) donnerait x* — x" = — .

Mais (x* — x") est un nombre entier, « et i sont premier» entre éuX; a diviserait donc <^, ce qui est impossible, ptrisqve a'^y» ï)onc y ne peut pas tomber entre deux des ratewr» consécutives dej^ déduites des formules (7). Le principe Aïonci / au commencement de cet article . est doBC démoatré.

kf-

d'algèbre. S55

578. Ce qui précède (Su /i*' 5S6 au n!" Sjj) , offre Vanalyse iÊmplèïe de V équation indéterminée du premier degré entre deux tconnues (a) . . .* ax -f- bjr = c. Lorsqu'on ne veut admettre ùur Jcetj que des nombres entiers positifs , il faut , pour que i problème soit possible , que a , b , c , n ayant plus de facteur Jznmun , les coefficiens a e^b des inconnueê^ soient premiers ntre eux. Les formules qui donnent toutes les solutions de ^équation (a) ne dépendent que de la recherche du plus grand ommun diviseur entre a et b. Les valeurs de x et y déduites le ces formules ^ sont les seules qui puissent satisfaire à l'équa* tioTi (aï). Connaissant une solution, on peut en déduire toutes tes autres, comme oh Fa indiqué dans le n' 677. Le nombre des solutions dépend des signes desLfh^c; l'équation ax+by=c, n'admet qu'un nombre déterminé de solutions entières posi^ tivesy quelquefois Un en existe aucune; les équations ax— by=c^ •x— bjr=— c, admettent toujours une infinité de solutions f ^ftn T équation ax + by=— c n'en admet aucune,

57g. Les solutions entières positives de P équation indéterminée X+b j-f-cz=d , se déduisent facilement de ce qui précède. On tâbstitue pour z un nombre entier quelconque e ; il en résulte 31 -f- by = d — ce / on déduit de cette dernière équation Us \4deurs entières positives de x et y , corresponelantes à z = ej^ ^nnant d autres valeurs entières à z, on en déduit d'autres moteurs de X et y, et ainsi de suite. On démontrerait , comme tans le n^ 568 , que pour que l'équation ax + by + cz = d ' wdmette des valeurs entières de x, y , z, il faut que a^ b, i, d, n'ayant aucuns facteurs communs , les coefficiens a , b, c, ies inconnues , soient premiers entre eux,

58o. En général , pour que [équation indéterminée du pre^ ■liier deff'é entre m inconnues,

•x4-by+cz'-}-du,+etc.=e(a,b,c,d. . . e sont des nombres entiers)

vdmette des valeurs entières des inconnues ^ il faut qu'après 9y<¥F supprimé tous les facteurs communs entre les coefficiens ï&i inconnues et le terme tout connu , les coefficiens des incon-^ Ni^ soient premiers entre eux. Lorsque cette condition sera

remplie, il sera facile de calculer les valeurs entières positif des inconnues ; à cet effet , on donnera des valeurs arbitraka à (m— -22) inconnues^ ce qui conduira à une équation entre deux inconnues; on en déduira toutes les valeurs entières po* sitives des deuxqfitres inconnues. Donnant d^ autres valeuni (m-— a) inconnues f on en déduira une nouvelle équation entre deux inconnues ; cette équation donnera les valeurs nh tières positives des deux inconnues qu'elfe renferme , et aind de suite. Le nombre des solutions dépendra des grandeurs et des signes des données.

58 1. Les élèves qui auront bien saisi Tesprit des méthode» précédentes , en déduiront facilement le moyen de trourer les valeurs entières positives des inconnues , lorsque le nombre des 1 inconnues sera plus grand que celui des équaticms. Par exemple^ étant donné deux équations du premier degré entre Upis ior^ connues x, y , z , on peut toujours les ramener à la forme. ^^

(1) . . . ax + by +"^2 = d ; (a) . . . a'x + b'y -f- c'z==d';

a> b ,' 0, d^ désignant des nombres entiers premiers entre eux, ainsi que ai, h', c' d\ Pour que ces équations admettent du valeurs entières dex'^y^z, il faut que a , b ^ c, soient premm entre eux , ainsi que ^ ^ h\ c\ Ces conditions étant rempli6f||^ on peut facilement trouver les valeurs entières positive^ deil inconnues. A cet effet , on éliminera z entre les équations proposées^ ce qui conduira à un résultat de la forme. . .

(3) Jx + By = C;

A , By C , désignant des nombres entiers premiers enfre'enXL, Pour que cette équation admette des valeurs entières de s et ^ , il faut que A et B soient premiers entre eux (n** 568) Lorsque cette condition sera remplie^ lés valeurs de x etjff^ seront données par les formules. . . pj

(4) x=:a + Be, y=e^Ae,

dans lesquelles e est une indéterminée. Mais comme toutes-Ifl| valeurs entières positives de x et y ne donnent pas toujoi des valeurs entières positives de 2^ on les substituera dans V\

d'algèbre. 837

quelconque des équations (i) et (a) ; ce qui conduira à un ré» •oltat de la forme

(5) : . . . jfz + B'e = C (e est une indéterminée )

jiT, V ^€f n'ont aucun facteur commun ; et pour qtte a et e puissent être des nombres entiers, il faut que A' et B' soient premiers entre eux. Les valeurs entières positives de 2 et e , qui satisfont à cette équation^ seront de la forme. . .

(G) . . . «=p''+ 9"^' ; c = ^ + A^ ; (e' est une indéterminée^.

La substitution de cette valeur de c, dans les fotmules (4), conduira à des résultats de cette forme. . .

a: = p+9e'; jfrsp' + çV;

de sorte que les valeurs de x et ^ , qui satisfont aux équations (1) et (2), sont.. .

Dans ces formules , p, q , p' , tf, p", q' , sont des nombres entiers, positifs ou négatifs, qui dépendent de Oj, b , c, d, ti y h\ c', êC \ et e' désigne un nombre entier indéterminé, l^nnant à ^ des valeurs entières quelconques , telles que les Taleurs correspondantes de x ,^, s, soient positives, on obtiendra les solutions entières positives des équations (1) et (a). Appliquons cette méthode générale aux équations indéterminées