fl4j^+ 6oz=: i5G-, et — 'a4a:: + 40* + 56y

on divisera les termes de la première équation par leur plus grand commun diviseur 1 a , et ceux de la a^ par leur plus grand commun diviseur 8 ; ce qui donnera les deux équations plus «impies ...

(1) . . . 4jc — aj^ •+ 5j?i = i3 ; (a) . . . — 3x + Sa + ^y = 10.

L'élimination de 2, entre ces deux dernières équations, donnera

538 £ L £ M fi K s

(t désigne vok fiômbre entier indéterminé)

jf=^ I"^=2r-{--^pi=:2^ + c; t — i=3e, ^=3e+i.

Exprimant a? et jr au moyen de l'indéterminée e, on aura. • .

la substitution de ces valeurs de x et jr dans Tune des équations (i) et (a), donne. . .

/trx ri c j» \ 5 — 22« 22 6

(5) DZ + 22C = 5 ; d où z= — F = 1 — -p-j

z devant être un nombre entier , le produit 22e doit être divisible par 5 ; mais 22 et 5 sont premiers entre eux , e doit donc être divisible par 5 ; nommant e' le quotient, on aura e= 5é'; la substitution de cette valeur de e dans les équations (4) » donne ...

X = 3 (i5o' -f^ 1) ; ^ = 35e' •+- ^ "> on a donc enEn. . . (7)... jc = 3Xi5e'+i); j^ = 35e' + 2; a=i — 22e'.

On peut vérifier directement que e' étant indéterminé , ca formules satisfont aux équations proposées ; car la substitution de ces valeurs de x^y, z, dans les équations (i) et (2), conduit à des identités en e' , dans lesquelles e' reste indéterminé. Pour trouver toutes les solutions entières, positives et négatives, il suffirait de substituer des nombres entiers quelconques pour e\ Mais si Ton ne veut admettre que les valeurs entières et positives de a;, ^, z, les équations (1) et (2) n*admettront que cette solution. . .

e'-r=: o , qui donne 07 = 3,^ = 2, a = i.

Si Ton demandait les solutions entières des équations. .» 3x+ (Jy + 9z= 17, 5x + z — 2y= 18,

on remarquerait que 3, 6, 9, 17, n'ayant aucuns facteurs conmiuns, et 3, 6,9 étant divisibles par 3, le problème est knpoisible (n* 58o) ; et en effet , la première équation donne . . .

9C + ay + 5zz=z^,

d'algèbre. 339

Six,y^z, pouvaient être des nombres entiers , le nombre entier (x + ay + 3z) serait égal à la fraction irréductible -Ç, ce qui est absurde.

58a. Trois mobiles partent en même temps d'un même point de la circonférence, avec des vitesses constantes v', v", v"'. La longueur de la circonférence est c. On demande l'instant de la tencontre de ces trois mobiles. Supposons x/^'^i/' et v^^i/-, si les mobiles se rencontrent après x heures , ils auront parcouru */x f v'x, i/'x, unités d*espace ; et comme ces espaces ne doivent différer que de multiples de la circonférence , on doit avoir....

i/'x = v'x •+- ne et v'x = i/x -f- n'c ,

(^n et j{ désignant des nombres entiers indéterminés). On en déduit...

ne n'c

Pour quf pes deux valeurs de a: soient égales , il faut ^^e. }«8 indéterminées n et n^ satisfassent à l'équation ... .

ne ne . - V —V n

i = -= 7 , QUI donne -= 7 = -7.

— i/ , V — V ^ iT — V n

Si la fraction -j^ j, réduite à sa plus simple expression^

est égale à T> on aura

n'z^pa y n^ ^=zpby (p est indéterminé ).

* Les plus petites valeurs des indéterminées n et n' seront données par la plus petite valeur entière de p ^ qui est l'unité. Alors ...

p=i,n — a,n=zb;doû a: = jjjr^-j7 = jjjT-^ ,

Ainsi , les trois mobiles se rencontreront, pour la première fois,

ac ^pi-^s -= 7 heures. On obtiendrait les autres rencontres, ea

supposant successivement. .. ;j = a, pz=z3, etc.

Si Ton compare cet énoncé avec celui du n^ 555 ^ on trouren v'r:5, V =60, V =3600, c=6o, ^;^— >=ggp=— =j;

Oncn déduira à=ii; * = 7i9; ^jj-^ = i^gg^ = la.'

De sorte que la i^' rencontré des trois aiguilles aura lieu après la heures; ce qui s'accorde avec le n? 555.

583. Lorsqiion n'a qu'une seule équation entre deux inoon* nues X etjy on peut donner des valeurs arbitraires an, et les valeurs correspondantes dey se déduisent de l'équation proposée {b? 334). La valeur de ^, dépendant de la valeur arbitraire donnée à o:^ on dit que^ est fonction de la variable x. Ainsi, dans V équation indéterminée. . .

rinconnuej^ est fonction de la variable x. Si a: croit d'une manière continue^ depuis o jusqu'à + 00 ^ et depuis o jusqu'à — 00 ; alors j' prendra des valeurs successives, positives ou négatives , croissantes ou décroissantes ; il s'agit d'analyser la marche de ces\aleurs. On remarquera d'abord, que pour savoir si X augmentant , les facteurs (x — a) et (x — 8) augmentent ou diminuent, il faut préparer ces facteurs de manière à les rendre positifs , car autrement on risquerait d'être induit en erreur. Par exemple , x augmentant , on pourrait croire que Çx — fl) augmente toujours; et cependant lorsque x est plus petit que 2 , et augmente , le facteur (x — 2) diminue (*) , car {x — 2) étant identiquement égal à — (2 — o:) , on voit que x * étant moindre que 2 et augmentant , la valeur absolue de ce facteur diminue.

584. En général , pour reconnaître si un produit , dont les fadeurs contiennent une variables, augmente ou diminue lorS'

qu'on fait varier x entre des limites données; il faut rendre

(*) Dans tonte cette analyse, nous Bi'ent«ndons parler que des valcun mits9lues des ^antités.

d'algèbre. * 54j

tous les facteurs positifs -, à l'aide des principes établis dans les n^' 4^0^ . . . .443* Appliquons cette règle au produit {a:— a)(a; — 8) =y', et cherchons à déterminer la marche dea valeurs de y correspondantes à celles de x,

i** Si X augmente depuis o jusqu'à a ^ alors entre ces li-« mîtes ^ (x — a) et (a: — 8) , sont négatifs. Changeant les signes de ces deux facteurs , ce qui ne «change pas le signe du produit (n** 434), on aura. . .

j' = + (a — a:) (8 — x) ; dans cette équation a: ^ a.

L'hypothèse x = o , donne y = 1 6 / et x augmentant d*une manière continue jusqu'à x = a , la "Valeur du produit y est positive; elle diminue , et devient zéro , lorsque x = a.

â*. «Si X augmente , depuis a jusquà 8 ; alors x est plus grand que ^ , et est moindre que 8 ; (x — a) est positif , et (x — 8) est négatif; le produit est donc négatif; changeant le signa du facteur (x — 8) , le produit changera de signe (n® 436) , et Ton aura...

J^ = — (a;— a) (8 — x) ; x>a ; a:<8 ; (x— a) et (8 — x) positifs,

X augmentant entre les limites a et 8 , le i*'^ facteur augmente et le a* diminue ; on n'apperçoit donc pas si le produit augmente ou diminue. Cependant^ comme x=:a et 07=8, réduisent le produit^ à zéro^ on peut prévoir que x augmentant depuis a jusqu'à 8 , la valeur de^ , qui part de zéro , augmente , diminue ensuite , et redevient zéro. La plus grande des valeurs iey est ce qu'on nomme un maximum dey. Nous allons voir comment on peut déterminer la valeur de x qui rend le produit (x — a) (8 — x) un MAXIMUM. La somme des facteurs (x— a) et (8 — x) étant -|- 6 , on peut poser. . .

zaï il en résulte ...

On aura donc^ en faisant abstraction du signe de^ ^ i? = (x— a)(8 — x) = (3 + »)(3 — ») = 9— a" ; et »<5;

Sous cette dernière forme, on voit que £ diminuant, y auf*mente ; de sorte que la plus grande valeur dey , correspond à ;& = 0 ; cette hypothèse donne ...

y=Q,x — a=3, 8 — a;=:3;à'où(x — 2) = (8 — x), eta:=5.

Cela posé , a: = 5 , donnant g pour le maximum àe y, il est facile de prouver que H x croît depuis a jusqu'à 5, le produit y augmentera depuis zéro jusqu'à 9 ; et que x continucmt à croître, depuis 5 jusqu'à 8 , le produit y diminuera depuis QJuS" qu'à zéro» En eiFet, les équations (i) donnent. . .

a = (a? — 5) , ou z = — (5 — x).

La seconde valeur de z prouve que x croissant depuis a jus* qu*à 5 , z est négatif et diminue depuis 3 jusqu'à zéro ; la valeur (9 — z^^ dey augmente donc depuis zéro jusqu'à g. Six continue à croître depuis 5 jusqu'à 8, la valeur (x — 5) de z sera positive et augmentera depuis zéro jusqu'à 3; la valeur (9— a^ de y , diminuera donc depuis 9 jusqu'à zéro.

3**. Si X augmente depuis 8 jusqu'à P infini ^ alors lesfac-' teurs (x — 2) , (x -— 8) ,. sont positifs et augmentent indéfiniment; la valeur (x — 2) (x — 8) du produit y, est positive et augmente depuis zéro jusqu'à Vin fini,

4^. Enfin ; si ton donne à x des valeurs négatives y on aura x^z-^x^ , et x' sera positif. La substitution de cette valeur de X , dans Féqtiation (1) y donne. . .

^== (x— 2) (x— 8)= (— X — 2)(— x^-8) =+(x'+2Xx'+8).

De sorte que x' augmentant depuis zéro jusqu'à f infini, le produit y augmente depuis 16 jusqu'à l'infini»

On voit; par cette analyse , que dans l'équation indéterminée

X ::±= G , a donné y = -)- 1 6 ; x augmentant jusqu'à 2 , la valeur de y est positive j diminue et devient zéro ; x continuant à croître dfipuis 2 jusqu'à 8^ la valeur de y est négakve ; de sorte que

d'algèbre. 34s y passe du positif au négatif par zéro. La fractiop,

y (a — a:)(8 — x) jmsserait donc du positif au négatif par Finfini,

585. Cette propriété est générale , une quantité variable , gui croît ou décroit d'une manière 'continue , ne peut passer du positif au négatif que par zéro ou l'infini.

586. Décomposer le nombre donné 22b , en deux parties po^ sitives dont le produit soit le plus grand possible! Si la i^^ partie est (A -+• a?) , la a* sera ai — {b + x) , ou (b — x) ; le produit de ces parties sera donc (b + x) (i — oc) , ou (6* — x*). Pour que ce produit soit positif et le plus grand possible , il £iut que x soit zéro ; chaque partie est alors ég^e i b, et le produit derient égal à 6*. On en déduit cette règle générale.

587. Lorsque la somme de deux facteurs variables est une constante sb; la valeur dex, qui rend le produit le plus grand possible, s* obtient en égalant les facteurs. Chaque facteur de-vient égal à la demi-somme b des facteurs , et lé MAXIMUM du produit est le quarré b* de cette demi-^omme. Cette règle suppose qu'on n'admet que des facteurs positifs. Ainsi ^ étant donnée V équation indéterminée,

y = (aa — oc) (x — ai) , dans laquelle on suppose aa> a6.

Pour trouver le maximum de y , lorsque x est moindre que 5UL et plus grand que ai ^ on remarquerai que la somme des facteurs étant une constante a (a — A) , la valeur de x qui rend le produit maximum y sera fournie par l'équation. . .

X — ai = aa — X ; cette équation donne x = a -f- 6,

Ainsi^' en n'admettant que des facteurs positifs j la valeur de x^ qui rend le produit (aa— -x) (x— ab) le plus grand possible ^ est la moyenne arithmétique entre aa et ab (n® 5a3). On peut démontrer que x augmentant depuis ab jusqu'à (a -4- b) , le produit augmente depuis zéro jusqu'à (a — b)* ; et que x co/itinuant à croitre depuis (a -{- b) jusqu'à aa^ le produit diminué

depuis (a — hy jusqu'à zéro. En effet , la somme des factemv

positifs (2a — x) et (a>— ai) , étant a (a— i) , on peut supposer

(aa — x) = (« — *)— JBJ ' \« = x— (a -i-b) =— (« -t-d — x).

On voit d'abord que le produit j^ sera le plus grand possible, lorsque z sera zéro ; alors x=.a + b', chaque facteur devient égal à (a -^ 6) ^ et la plus grande valeur du produit y , est (a — by. On voit aussi que x augmentant depuis a& jusqn a (<z + i) , alors x < a + ^ > (« + * — ^) est positif et diminue» z est négatif et diminue depuis (a — 6) jusqu'à zéro; le produit jr augmente depuis zéro jusqu'à (a — by. Enfin , x continuant à croître depuis (a + b) jusqu à aa , alors a: > a •+- é ; la valeur X — (û+i) de z est positive , et augmente depuis zéro jusqu'à (a — 6) ; la valeur (a — byr^z^ du produit y, diminue donc depuis (a — by jusqu'à zéro. Cette analyse est celle du n^ 584; généralisée. On pourrait analyser de la même manière le produit d'un nombre quelconque de facteurs. .

588. La somme de deux nombres positifs est aa. Dans quel cas le produit de. ces nombres sera-t-il le plus grand possible? Si X et y désignent ces nombres , on aura. . .

a; -(->' = fia; d'où j^==3a— -a:.

Donnant à x des valeurs arbitraires , moindres que aa, on en déduira des valeurs positives de 3^ , et le produit xy prendra différentes valeurs positives. On a vu (n® 687) que la plus grande de ces valeui» correspondait à x r^y = a , ce qui donne c* pour le maximum du produit «ry. Ainsi , etqnt donnée l'équation x-f- y = aa, entre les indéterminées positives x-et y, le MAXIMUM du produit xy est a^.

589. Décomposer le produit donné b^, en deux facteurs positifs, dont la somme soit la plus petite possible. Cette plus petite valeur est ce qu'on ilomme le minimum de la somme. Si a; et ^ désignent les deux facteurs du produit 6*, on aura

xy = b^', d'où^ = -, !a somme (a?-f-jy) doit être un minimum.

Doxinant à x des valeurs arbitraires , on obtiendrait les valeurs correspondantes de j^; en divisant b^ par x', la somme (x +y^, des facteurs , prendrait diverses valeurs; il s'agit de découvrir la plus petite de ces valeurs , ou le minimum de (x-f-jr). Par exemple, si le produit était 36, on pourrait prendre pour facteurs/. .

3$et I ; ou i8et3; ou laetS; on 9 et 4$ ou 6et6j on eU.

les sommes de ces facteurs étant. . .

(36-4-1) ou 37J (i8-*-a) ou aoj (ia-*-3) ou iSj (9-+-4) o^ *3 ; (6-*-6) ou la j ou eie.

On voit que la somme des facteurs est d* autant moindre y que les facteurs diffèrent moins ; de sorte que la somme des fac-^ teuTs est la plus petite possible, lorsque chaque facteur est é^al à 6, c'est^'dire, à la RACINE QUARRÉE du produit donné 36. On pourrait s'assurer que la même propriété convient à des sombres quelconques ; de sorte que, dans l'équation xyr=b%

Je MINIMUM €fc (x + y) a Heu , lorsque x = y = {/^z=zb. En voici la démonstration générale ; on a . . .

.a:-f-y=ra:H — = — -i- — ; soit a; = 6 + 2i; alors... .

Le facteur 0? devant être positif, & -f*^ est positif; la plus^

petite valeur de (x + j^) aura donc lieu lorsque , sera

zéro, c'est-à-dire lorsque 2=0; d'où x=b ^yznb^x +^= aft. Cela démontre que dans V équation xy = b* , entre les indéter^ minées positives x et y , le MINIMUM ab de (x + y) « Heu lorsque x = y=v/b* = b.

Les problèmes que nous venons de résoudre sont destinés à donner une idée de la théorie des maxima et des minima, Les élèves en trouveront des exemples intéressans dans la Géométrie de M. Legendre , et dans les Traités de Calcul différentiel et intégral dç MM. Lacroix et Garnier.

546 K L É M V H tf

Théorie des inégalités.

590. Quand on n'a égard qu*aux valeurs ahêolues det quantUéi,yk peut traiter Us inégalités, d'après les principes établis pour les équadtmi car en effectuant les mêmes opérations -sur des ^pantitët iuëgalo» , la ploi grand rësuliat doit correspondre à la pins grande quantité. Une inégaiUé tCeU donc pas troublée , lorsqu'on effectue les même» opérations sur ses deux wsembres. Ainsi , de Tinegalite'. . . .

4 <C 7 ) oû peut pa^er aux suivantes. .^ •