f-3, ou 7<io} 4 — 3<7 — 3, ou I <4j

4 7 4 . 3 <^ 7 . 3 , ou la < 21 j ^ < ^.

591. Les règles données pour résoudre les èquaMions , s'applupunî sm valeurs absolues des inégalités. Ainsi , les inégalitëi. ...

ar-^5<7; * — 5<7; 3x<iaj 1^4» donttait.. .

Pour résoudre Tin^alité. ... *

On en multipliera les deux membres par 60 , qui est le plus petit noflibce divisible par les dénominateurs 3 ^ 4 > 5 , 60 j il en résultera. . . .

i!»o 4^0 ^ iSojT 4ao ,a fio

ou... fyix — 84 <C 45j"p — io5 -^ 480 — laoa? -^ 1 ;

ou... ^ox — 84 < 376 — 75jr.

On en déduit. . . .

4ox -4- 75jc < 376 -+- 84 j ii5x < 4^ 9 * < 4-

^inégalité proposée exige donc que la valeur de x soit moindre que 4. Et en effet , si Ton effectue les calculs , on verra que tout nombre moindre que 4 » substitue pour x dans cette inégalité , y satisfait ; tandis que toute valeur de x égale à 4 oti plus grande que ^ y ^e satisûdt pas.

Sga. £n général , une inégalité en x , donne une limite de l'inconnue x; tandis qu'une équation en x , donne la valeur de Pinconnue x.

593. Le système de deux inégalités en x , donne deux limites de x; et le problème qui conduit à ces inégalités ^ peut être indéterminé ^ déterminé ou impouible» Eu Toki dts eztmples«

D'ALGÈBRE. S47

. 5^4^ Z« double d*un nombre , diminué de 5, est plus grand que 35 ; ^t le triple du même nombre , diminué de 7 , est plus petit que son dottble,, augmenté de i3. Quel est ce nombre ? Si x désigne le nombre inGonnu ^ les conditions du problème conduiront aux deux inégalités, • . .

ax — 5>a5; 3* — ^<2jr-*-i3î

ma en d^nit. . . x ^ i5 ^ x < uo.

On peut donc prendre pour x , tout les nombres , entiers et fractiennaires » compris entre i5 et ao. Ce qui donne "une infinité de solutions.

595. Un berger j interrogé sur le nombre de ses moutons , répond* Co nombre est tel , que son double diminué de 5 , est plus grand que a5; et son triple, diminué de 7, est plus grand que son double aug^ mente de i3. Qttel est le nombre des moutons ? Si x désigne ce nombre » on sera conduit aux inégalités ....

3ur — 5>a5; 3x — 7<a4r-M3, qui donnent x>i5; x<ao.

Ces inégalités admettent donc une infinité de solutions ^ mais comme la nature, du problème actuel impose à Tinconnue x , la condition d'être un nombre entier positif; le nombre des moutons ne peut être que 16, 17 , xS', on ig. Ce qui donne quatre solutions.

5g6. Un officier commande une compagnie; chaque rang est composé de six soldats ; le nombre total des soldats est tel , que son double diminué de 5, est plus grand que oS ; et son triple diminué de *] , est plus petit que son double augmenté de i3. On demande le nombre des soldats. Si X désigne ce nombre, on trouvera x^ i5 et x ^ao. Mais le nombre x , des soldats , doit être entier et divisible par 6. On ne peut donc prendre qi)A^ = 18.' Le nombre des soldats était donc 18. La compagnie était formeÊÊ^ trois rangs de six hommes,

597. Une 'femme porte un certain nombre d'œufs au marché; ce nombre est tel , que son triple augmenté de iy est plus grand que son double augmenté de 61 ; et son quintuple diminué de 70 , est plus petit que son quadruple diminué de 9. Quel était le nombre des oeufs ? . Si X désigne ce nombre , la traduction algébrique des conditions du problème ^ conduira ans inégalités

3x-+-a>îx -+-61 ; 5x--7o<4x — g; <m en déduira.... x "^5^; x<^6i.

Mais X doit être un nombre entier. La femme portait donc 60 œufs.

598. Le double d'un nombre , diminué de 5 , est plus petit que a5 , et son triple diminué de 7 , est plus grand que son double augmenté de i3.* Quel est ce nombre ? Si x désigne le nombre cherché , on a^ra. . .

îm:— 5<q5; 3x — 7>ax-hi3j d'oii x< i5, et x>2o.

Ces deux 'dernières inégalités étant coairadîctoires j il n'cxisto^auciui nombre '

qui puisse satisfaire ans inégalités proposées. Le problème n'est donc sus^ ceptihle d'aucune solution.

599. Lorsqu'on ne peut pas déterminer directement la valeur d!uM | quantité , on a quelquefois recours aux inégalités , pour démontrer que cette quantité ne peut être ni plus grande y ni plus petite qu'une gran,'

.deur connue. Il en résulte alors que cette grandeur est la valeur exacte de la quantité cherchée (*). En voici des exemples

600. Le dpuble d'un nombre t augmenté de *] y ne peut surpasser 19; le triple du même nombre , diminué de S , ne peut être moindre que i3» Quel est ce nombre ? Si x désigne le nombre demandé^ on aura. . . .

ax-4-7>i9; 3x — 5<i5; on en déduit a:^6j x^6.

Le nombre inconnu x ne peut donc être ni plus grand ni plus petit que 6; et comme on suppose que le nombre désigné par x existe; on peut en conclure que le nombre inconnu est égal à 6.

601. Une personne interrogée sur Vâge qu'elle a , répond : le nombre de mes années est tel , que son double diminué de 5 , /te peut être plus petit que 55 ; et son quintuple , diminué de *j y ne peut être plus grand que son double, augmenté de 83. Quel est cet âge ? Désignant FÀge cherché par x années; on sera conduit aux inégalités....

2x— 54^55; 5x— 7 ^ aar -h 83 ; on en tire. ... a: <|^ 3o ; x ^ 3o ; d'où x = 3o.

La personne auait donc 3o ans.

602. Pour prévenir les erreurs, nous ^Uons énoncer les propriétés principales des inégalités , en ayant égard aux effets des sigàÊ^-^- et — . Les élèves pourront s'exercer à démontrer généralement ces propriétés.

603. Une inégalité n^èst pas troublée , lorsqu*on ajoute a ses deux membres , ou lorsqu'on en retranche une même quantité. De sorte que pour faire passer un. terme d'un membre dans un autre , il suffit d'en changer le signe. Ainsi , les inégalités. . . .

x-+-3>5; X— 2<4, donnent x>5— 3; x<4-Ha.

(*) Pour indiquer qu'une quantité ne peut pas être plus grande ou plus petite qu'une autre, nous ferons usage des signes....

qui signifieront....

ne peut pas être plus grand; ne peut pas être plus petit. m De sorte que x ^ 5 signifiera que x ne peut pas être plus grand que 5 ; «»t X < 5 signifiera que x ne peut pas être plas pettt que 5. On déduirait de ces deux coaditidiu que xz:i5*

6p4* ^'^ nombre positif étant plus grand que zéro , il en résulte qu'en 9aleur relative , un nombre positif est toujours plus grand qu^ un nombre èêégàtif Par exemple^ -f- a > — 5. Ponr s'en conyaincre^ il suffit d'ajouter 5 4 chaque membre , on aura 5 -f- a > 5—5 , ou 7 > o , ce qui est ërident.

6o5' En valeur relative , un nombre négatif est plus petit que zéro» Par exemple , — 5 ^ o. Pour s'en conyaincre , on ajoutera 7 à chaque Biembre , ce qui donnera .....

7 — 5<7-t-o, ou a<7.

' 606. En valeur relative , un nombre positif est d'autant plus grand, - iju'il renferme plus d'unités ; et au contraire , un nombre négatif est d'autant plus petit, qu'il renferme plus d'unités. Par exemple. ..

-h 5 > -f- 3 ; au contraire — 5 ■< — 3.

L^exactîtude de la x^* in^galit^ est ëyideute; pour y^rifier la 2*, on ajoutera $■ k chaque membre^ ce qui donnera 8 — 5^8 — 3, ou 3^5.

L'inëgalitë — 5 < — 3 , donnant -f- 5 > H- 3 ,

607. On en déduit qu'une inégalité n'est pas troublée , lorsque chanf ^eant les signes de ses deux membres, on renverse le signe d'inégalité. Jïe sorte que les deux membres changeant de signe , leurs valeurs relatives changent aussi.

608. On n'altère pas une inégalité , en multipliant ou en divisant ses deux membres , par une quantité positive. Ainsi ^ les inégalités. . . •

3jf < la ; « < 2 î donnent a: < -5- ; a: < a. 5.

609. Pour qu'une inégalité ne soit pas troublée , quand on multi^ plie ou qiûon divise ses deux membres par une même quantité négative , il faut renverser le signe d'inégalité. Eii effet , les deux membres

' changeant de signe , leurs yaleurs relatiycs changent aussi ( n^ 607 ) j le plus ^pand résultat correspond donc au plus petit membre. Ainsi , l'inégalité. . ,

a < 4 , donne — 3.a> — 3.4, et > — -•

610. Lorsqu'on divise une même quantité positive , par chaque membre ^une inégalité , si les deux membres ont des signes semblables , il faut ^^nv€rser le signe d'inégalité ; et s'ils ont des signes dijférens , il faut conserver le signe tf inégalité. L'inverse aurait lieu , si le dividende ^tait négatif Par exemple , les inégalités ....

-ha<-t-5j et -h3> — 6, donnent. . .

ou i5>65 «ï -:irr> — ^, ou -♦-io>— 5.

ou — i5<— 6j et -:t^< — 77-^, ou — io<-f-5.

S5o ÉLÉMENS

6i I. Ayant plMisieurs inégalités , si Pon ajoute Us plus pet^s memi»^\ 0ntre eux, ainsi que les plus grands 9 la plus petite somme corrpspfminA aux plus petits membres* Cela ««t «Tifleiit* ^insi 1 Icf iiu%iitifiéi...f

a<55 3<7; 4<9> donntni...

a-4-3-+-4<5-*-7-*-9; ou 9^ ai.

6ia. Lorsque les membres de plusieur» inégalités sont positifs ^ si l'on multiplie les plus petits membres entre eux , ainsi que les pbu grands y le i"" produit sera plus petit que le seeond. Aion , ie»iiiëp£|

3<4 9 ^K,^ } ^K^^i donnent 3,2,"] ^^.S.io i on 4^^^oe^'

6i3. Lorsque. les deux membres iTune inégalité sont positifs ^ onpeet les élever à une puissance positive quelconque y sans troubler Pinégtb^.^ iité (n<* 61 3 j . Ainsi ...

a<3, donne a^<34, ou i6<8i; et a^h, donne a*<**;

r^pro^ement. ... a"*^ 6"*^ donne a ^ 5«

Théorie du plus grand commun diviseur.

6i4* Nous ayons vu , en Arithmétique , comment on poorait trouvjsr le plus grand commun diviseur entre plusieurs nombres. Il 8*agit actuellement d'étendre cette théorie aux polynômesalgé briques. Les déBnitioçs relatives aux facteurs des nombres > éta- 1 blies dans l'Arithmétique , s*appliquent aux quantités littérales, m Ainsi, un facteur premier est celui qui n'est divisible que par lid-^W même et t unité. Un polynôme exprime toujours le produit de ses\ facteurs premiers. Le commun diviseur sntre plusieurs quantités, est une quantité qui les divise exactement. Des quantités sont p^ mières entre elles ^ lorsqu'elles n'ont aucun fçicteur commun. Im diviseurs d'une quantité^ sont ses facteurs premiers , et lespror duits â à a, 3 à 3, etc. . . de ces facteurs. Le plus grand de tous les diviseurs communs à plusieurs quantités , est leur plus grand W commun diviseur; il exprime le produit de tous les factei£nl premiers communs à ces quantités. De sorte quen divisçmtdts^ quantités par leur plus grand commun diviseur, les quotiensJP: n'ont plus de facteurs communs; ces quotiens sont donc pn» miers entre eux.

fer

61 5. Le plas grand commtin diviseur entre deux quantités, étant le produit de tous les facteurs premiers communs à ces deux quantités^ on n'altère pas le plus grand commun diviseur^ en introduisant ou en supprimant des facteurs non communs. Par exemple , si C et B n*ont aucuns facteurs communs ^ le plus ffand commun diyîseur entre Cj4 et ^^ 'sera le même que celui des quantités A et B. Le polynôme ...

a;' — (a + i + c)a:*-f" (^ + ûc -|- bc) x — abc.

Exprimant le produit des trois facteurs premiers (^X'-^a) ^ (pç — b),(x — c) , ses diviseurs premiers sont (x — a), (a?— 6), (^— 'c) ; ses diviseurs du second degré , sont

(x — a) (« — 6) , ou x* — (a + i) ^ + ûè , (x — a) (x-'-'C^ , ou X* — (a + c) a: + ac , (x — 6) (x — c) , ou X* — (i + e) x -f- 6c.

Et en effet , si Ton divise le polynôme proposé par chacun de ces diviseurs , on trouvera des quotiens exacts. Soient les troia quantités ...

^Les facteurs communs à ces trois quantités ^ sont 5, €^, b^g (x — 6). Le produit 3a*i* (x — i) , de ces facteurs , est le plu» grand commun diviseur de ces polynômes. En les divisant par ce plus grand commun diviseur^ les quotiens. . .

i2i(x — c), ai*(x*— cQ, 5a^(x — c) (x — e)

n'ayant plus de facteurs communs, sont premiers entre eux. La froduit des facteurs monômes communs à plusieurs quantités^ est leur plus grand commun diviseur monôme ; et. le produit des facteurs polynômes communs à ces quantités ^ compose leur plus grand commun diviseur complexe. Le produit de ces deux communs diviseurs , est le plus grand commun diviseur des quantités proposées. Ainsi , dans l'exemple précédent , les plus grands communs diviseurs , monôme et complexe , étaient 3a*6* et (x — i). Ces conventions établies, passons à la mé^^ thode du plus grand commun diviseur.

616.. // s*e^it , étant donné un nombre quelconque de qtuabi^ tités , de trouver leur plus grand commun diviseur. La solatÛMi de ce problème est fondée sur le principe suivant :

€17. La recherche du plus grand commun diviseur entre zui nombre quelconqi^de quantités ^ se réduit toujours à celle, du plus grand commun diviseur entre deux quantités. Eln effet ^ soient trois quantités quelconques A y B ^ C\ si l'on cherche le plus grand commun diviseur cT , entre A ^X. B ^ eX\e pins grand commun diviseur d^ entre cZ^ et C; je dis q^e d sera le plus grand commun diviseur des trois quantités A^ B, C; car d! étant le plus grand commun diviseur entre ^ et ^0 ^ on a

A = qd' et B=. q'à! , (^ et q' sont premiers entre eux) ;

éî étant le plus grand commun diviseur entre d! et C , on a d! =ipdet C=zp'd, {jp et// n*ont aucuns facteurs communs). Mettant pour d! sa valeur dans celles de ^ et ^ , on trouve . '. •

A = qpd^ B = q'pd ^ C-zzzp'd,

On voit donc que e2 est commun diviseur des trois quantitéi A^B y C D'ailleurs-, les quantités qp, c[p et p\ sont prëmière« entre elles , parce que , comme q et q' sont premiers entre eux, si elles avaient un commun diviseur , il devrait diviser p et p'; ce qui est impossible , puisque p et p' sont premiers entre eux; la quantité d est donc le plus grand commun diviseur des trois quantités A y B ^ C. Pour trouver le plus grand commun diviseur entre quatre quantités A y B^C,D\ on cherchera d'abord le plus grand commun diviseur d, de u4, 5, C; le plus ^tiand commun diviseur d" , entre d et D y sera celui des quantité < proposées. En effet, si Ton divise A, B ^ C, par leur plus grand commun diviseur dy les quo tiens q^ q\ q" y seront premiers entre eux , et Ton aura ...

Ar=.qdy B^q'dy C:=zq"d,

Le plus grand commun diviseur de cl et Z7, étant d'', on a. . . dzizpd"^ Dz=:2p'd!\\p et p' «ont premiers entre eux).

D'ALGÈBRE. 55S

Substitution de cette valeur de d^ dans les valeurs de A,B , donne ...

j4~pq.df', B=pq\d!'', C = pq\dr', D=p'd'\

On voit que rf est commun diviseur de -^ , ^5 , C , D\ il jit de prouver qu'il est le plus grand , c est-à-dire que les ïntités pq , pq\ pq^ et p', sont premières entre elles ; ceU évident , car si elles avaient un commun diviseur ^ comme ff , 9" sont premiero entre eux , il devrait diviser p et p\ C6 est impossible, puisque p et p' n'ont aucuns facteurs comns; d" est donc le plus grand commun diviseur entre A, B, D \ et comme on raiisonnerait de la même manière , s'il y it un plus grand nombre de quantités , le principe est déntré.

)i8. On en déduit , que pour trouver le plus grand commun 'iseur entre un nombre quelconque de quantités , lorsqu'on t le trouver entre deux, il faut d'abord le chercher entre les ux premières quantités ; on dherche ensuite celui qui existe ire le plus grand commun diviseur obtenu et la troisième vmtité; et ainsi de suite, jusqu'à la dernière quantité; le der-^ tf commun diviseur est le plus grand commun diviseur cherchée

Si g. La question est ainsi réduite à trouver le plus grand Hmun diviseur entre deux quantités quelconques. Représen^i^les par A et, B \ iiommons d leur plus grand con;mun aenr , et supposons A^ B, Ce plus grand commun divir^ devant diviser ^ et ^^ ne peut pas être plus grand quo et si J? divisait A , alors B serait le plus grand commun ikear demandé. Divisons donc A par B \ nommons q le quo-; tt^ et r le reste ; on aura. . .

^ = ^(7 + r ; d*ou r^^A^-^Bq.

le reste r est zéro y le plus grand commun diviseur cherché 91 j8 ; si r n'est pas zéro , le plus grand commun diviseur Érché ne sera pas égal à B , mais il sera le même que celui c'JB et r. En effet; si d' désigne le plus grand commun divi- W «Btrc B et r^ «lors d\ divisera (Bq + r) , ou -^ ; d' diviser^

donc AetB\d ne peut donc pas être plus grand que le p grand commun dis/iseurà, de A et B. Mais d^ divisant ji et divise (-^ — Bq) , ou r ; donc d divise B et r', donc à nep pas être plus grand que le plus grand commun diviseur i' B et r. Les quantités d et d', ne pouvant pas être plus gran l'une que P autre , sont donc égales,

620. Donc en général, le plus grand commun diviseur deux quantités , est le même que le plus grand commun \fiseur entre la plus petite de ces deux quantités , et le reste la division de la plus grande par la plus petite,

621. La question étant réduite à trouver le plus grand coi mun diviseur entre iff et r , on divisera B par r; soit q' le qi tient , et / le reste ; si / est zéro , r sera le plus grand coi mun diviseur entre j5 et r , et par conséquent entre A eil si / n'est pas zéro , le plus grand commun diviseur entre A%i ne sera paà r , mais il sera le même que celui de r et / (n® Gac On divisera donc r par / ; et suivant que cette division s'eff© tuera exactement ou non , le plus grand commun diviseur che ché sera ou ne sera pas /. Continuant à diviser les restes su cèssifsles uns par les autres, le reste qui divisera excu^temt le reste précédent , sera le plus grand commun diviseur ent tous les restes , et par conséquent , il sera aussi celui des qim tiiés proposées. Examinons dans quels cas on parvient â un rejl qui divise exactement le reste précédent.

622. Lorsque les quantités A et B seront des nombres tiers , en divisant A par B , le reste sera tout au plus ^ à (^1 — 1); divisant ensuite B par ce reste, le reste sera au plus égal à (^ — 2) , et ainsi de suite. On voit donc qu'a] B divisions tout au plus , on parviendra à un reste (^B — B) zéro. Les deux restes précédens étant divisibles Tun par Tau le plus petit de ces deux restes sera le plus grand co diviseur entre A et B. On en déduit cette règle générale :

623. Pour trouver le plus grand commun diviseur entre nombres , divisez le plus grand nombre par le plus petit; divii ensuite le plus petit nombre par le reste de cette division^

irisez le i^^ reste par le 2', et continuez à diviser les restes suc^ cessifs les uns par les autres , jusqu'à ce que vous parveniez à un reste égal à zéro; ce qui arrivera toujours après un nombre de divisions tout au plus égal au plus petit des deux nombres proposés. Le reste qui aura exactement divisé le reste précédent , sera le plus grand commun diviseur demandé. Cette règle , combinée avec celle du n° G18 , donne le moyen de trouver la plus grand commun diviseur entre plusieurs nombres.

6a4- Lorsque les quantités AetB sont littérales , la recherche du plus grand commun diviseur repose sur ce principe :

6a5. Quand un polynôme a un diviseur indépendant de la lettre par rapport à laquelle on a ordonné, ce diviseur doit di-* ' iriser les coeffîciens des différentes puissances de cette lettre. En effet, soit le polynôme. . . . •

A + Bx 4- Cx* + etc. ; (^, B, C, etc. sont indépendans de x)

ordonné par rapport à a; ; si ce polynôme a un diviseur d indépendant de a; , on aura. . .

(1)... A + Bx+Coif+^tc.dpqd', et q sera de la forme . . .

a + ix -f- ex* + etc.

Cette identité étant vraie , quel que soit Xy on peut y supposer a: = 0 ; alors A^ B , C, etc. , qui sont indépendans de a:, lie changeront pas , et (7 se réduira à a. On aura donc u^=f=ac{; ce qui prouve que A est divisible par d. Ainsi, lorsqu'un poly^ nome ordonné par rapport àx^aun diviseur indépendant de x, ce diviseur divise le terme indépendant de x. On en déduit que B y Cy etc. , sont divisibles par d ; car en mettant da pour A ; l'identité (1) donne. . .

07(5+ Cj7 + etc.)=|aci((/ — a).

Le second membre étant ' divisible par rf, le premier l'est aussi; mais d et x n'ont aucuns facteurs communs, rf doit donc diviser le 2*= facteur B+Cx + etc. (n** 4^3) ; donc d divise B, et ainsi de suite.

€a6. On en déduit que tout polynôme dans lequel Fun dês

3SS lÊLlfMENl

coefficiens de x est l'unité , n'a pas de diviseur indépendant de X. Voici ^eux polynômes de cette espèce :

x*+ (a*— i*) X + a , et {a— h) x^+x^^ (a»— i*)x + (a?— i^j,

6127. Il résulte du principe du n** 626, que pour diviser vn polynôme par une quantité. indépendante de la lettre par rap^ port à laquelle on a ordonné , il suffit d'effectuer la division sut les coefficiens des diverses puissances de cette lettre. Ainsi , pour diviser le polynôme . . .

par (a — 1) , on divisera les coeiBciens de x , par (a — 1) ; les quoti jns seront . . .

(rf + a+O, (a— 1), (a+i), — (a* + a5 + i) , 1 ;

le quotient de la division du polynôme proposé par (a— 1)^ est donc . . .

(a*+a+ 1)0:^-1- (a— i)x'+(«4. 1)0;* — (a*+ai + i)x+i.

6a8. Pour diviser un polynôme par un monôme , il suffit de diviser chaque terme du polynôme par le diviseur ; la somme des quotiens partiels , compose le quotient total. Ainsi, pour diviser, . .

6a'i» (a^— 1) x» — Soû^^i' (a + 1 )x It

.par 6a^b^ , on divisera chaque terme du dividende par 6a*i*; les quotiens seront . . .

6^1^; 4=a(a«-.i)x-5 ^^ ^ 4i-5^(fl4-i)x.

la somme de ces quotiens partiels donnea(a*-i)x'*-5i(a+i)x [ pour le quotient total.

629. Revenons maintenant à notre objet , et supposons d'abord que les quantités A et B ne contiennent qu'une seuU lettre a , combinée avec des nombres ; elles sont alors de U forme ...

Les cxposans m et n sont des nombres entiers positifs , et lu

d'algèbre. 557

5- eoelliciens p, (/,»• >s, t\ p\ q\ . .s' yif ^ désignent de» nombres entiers , positifs ou négatifs. Tant que les exposons m et n no sont pas donnés en nombres, on ne peut écrire que les pre-

" iniers et derniers termes de chaque polynôme ; et Ton met jes points pour tenir la place des termes intermédiaires qui sont sous-«ntendus. Si m était égal à 3, le polynôme A deviendrait...

A •=ipc^ -f- ça* -{-^a + t.

• Cela posé, on cherchera d*abord le plus grand commun diviseur d! y des coefficîens p y q, . . . , s,t des diverses puissances de a , dans le polynôme A ; on cherchera ensuite le plus grand commun diviseur d", entre p', ç'. . . /, t' (n* 618) ', et diviiïîant Jes coefiiciens de a dans chaque polynôme , par leur plus grand commun diviseur , on obtiendra des quotieas P, Ç. . . , «S, 7^;

* JP'^ Q' •• ' 9 S^ , T\ On aura donc. , .

p =Pdf y q=:Qd\...s = S^ , t = Tdf ; p'=P'dr, q'=Q'd'',...s' = S'd\ f::=Td'.

Itf^ttant d' et d" en facteur commun , les pol3m6mes A et B : prendront cette forme ...

r" A = df QPar + Qa"^' 4. . . . . . 4. ^a + T) ,

£ = d"QP'a^+ QV-'+ + S'a+ T).

Soît Pa^ + Qa»»^» + 5a + T = ^' ,

P'a« + Q'a— ' +S'a+ Tz=: B\

" îl en résultera. . .

A=,d!A' , et B = d'B\

* Les quantités P, Q S,T',P\Q' S", T\ n'ayant

,^ plus de facteurs communs. A' et B' n*ont aucun commun diviseur indépendant de a ; car , pour qu'un tel diviseur jjjût diviser A', par exemple , il faudrait qu'il divisât les coelficiens

* ^ , Ç . . . . iS, T (n^ 6a5) ; ce qui est impossible, puisque ^^©8 coelficiens n'ont aucuns facteurs communs. Le plus grand *.î5ommun diviseur entre A et ff , sera donc le produit du plus '

^and commun diviseur indépendant de a, entre d' et d^,

;l>ar le plus grand commun diviseur dépendant de a, entre A^

)^t J3^» Cherchons donc ces communs diviseuKS. D'abord d* et

d" étant des nombres , on sait trouter lenr plus grand comnmi diviseur (n** Ga5) ; en l'appelant d^ on aura....

à! i=^(i!d et cT = *V; d'où. . .

A = fildA' etB=: àtl'dB', (a' et a" sont premiers entre eux).

Pour trouver le plus grand commun diviseur entre jf et ff, on suivra la règle du n® 6a3, ce qui conduira à diviser AJ par B^ ; on divisera ensuite B' par le reste de cçtte divisiou, ce qui donnera un a* reste ; on divisera le i*"^ reste par le a*, et ainsi de suite. Dans ces divisions^ les restes étant plus petits que les diviseurs , chaque fois qu'on change de diviseur, l'expo* sant de a diminue au moins d'une unité ; donc , après n divisions tout au plus y on parviendra à un reste R , où l'exposant de a sera zéro. Ce reste sera donc indépendant de a. Celi posé ; 1° lorsque R est zéro , le reste précédent est le plus graid commun dwiseur de A' et B' ; en l'appelant ZX, le plus grand commun diviseur D , entre A et B , est D=z dlf .

a°. Lorsque le reste R, indépendant de a^ ri est pas zéro, ij et B' n'ont pas de commun diviseur ; car si ces quantités ponvaient en avoir un , il contiendrait a et diviserait /î, qui est indépendant de a ^ ce qui est absurde. Dans ce cas , le plus giaalkZp, commun diviseur entre A et B y se réduit à'd, et IK = i. \'ks

63o. Ainsi , pour trouver le plus grand commun diviseur entn deux quantités A etB , qui ne contiennent quune seule lettre à,wf^-dc on cherche successivement deux plus grands communs diviseufifi^"^-^^ l'un indépendant de a, F autre dépendant de a. Le produit ir <^e ces diviseurs est le plus grand commun diviseur de A et B.

1°. Pour trouver le plus grand commun diviseur indép de a entre A et B , on le cherche d'abord entre les coe, de a dans A; soit d' ce commun diviseur; on cherche le plus grand commun diviseur d" entre les coefficiens à dans B ; on divise A par d\ et B par d" ; nommant A' et les quotiens , ona A=z d'A' ef B = d"B' ; A' et B' n'ont de diviseurs indépendans de a. On cherche le plus grand mun diviseur à y entre à! et à" ; alors d est le plus grand mun diviseur indépendant de a , entre A et B.

B' A L G E B a E. SSg

a®. Le plus grand commun diviseï^ dépendant de a, entre A et B, ^te/jt le même que celui des quantités M et B', on divise A' par B' , puw B' par le reste de cette division , et ainsi de suite , jusqu'à ce qu'on parvienne à un reste R indépendant de Si ; ce qui arrive toujours après un nombre de divisions tout au plus égal au plus grand exposant de a dans B'. Lorsque le reste R est zéro , le reste précédent est le plus grand commun diviseur D', entre A! et B'; de sorte que D' est le plus grand commun diviseur dépendant de a , entre A et B. Le plus grand commun diviseur de A et B est alors D'd. Quand R n est pat zéro , A' et B' n'ont pas de commun diviseur ^ et par conséquent A et B n'ont pas de commun diviseur dépendant de a / leur plus grand commun diviseur est alors d. Cette règle , combinée avec celle du n® 618, donne le moyen de trouver le plus grand commun diviseur entre un nombre quelconque de quantités qui ne contiendraient qu'une seule lettre.

63 1. Si les quantités A et B contenaient deux lettres a, et h; en les ordonnant par rapport à a ^ 07t aurait, . .

A = pa"* + qa"*""* + . . . -f- sa + t ; B = pV+ qV-»-f- . . . + s'a+ t';

et les coefficiens p , q , . . . s , t ; p', q', . . . s', t', contiendraient la seule lettre b. On opérerait comme dans le n° G29 :

1**. Pour trouver le plus grand commun diviseur d, indé^ pendant de a, entre A et B , o/i cherche d abord les plus grands communs diviseurs d\ d" , entre les coefficiens de a , dans A et B; ce qui ne peut plus offrir aucune difficulté , puis que ces coefficiens ne contiennent quune seule lettre b. On cherche ensuite le plus grand commun diviseur d , entre df et d" ; alors d est le plus grand commun diviseur indépendant de sl, entre A et B. Lia division de A et B, par d' et d" , donne des quotiens A\ B',' qui nont plus de diviseurs indépendans de a,; et l'on a. . •

le plus grand commun diviseur entre W et d", étant »rf , il en résulte . . .

cf = flt'd, d' = (t"d , Çjxf et a" sont premiers entre eux>

3Go É L Ê M E N $

La substitution de ces <hleurs de d' et rf", dans celles de À tt B y donne ...

A:=iAcl'd\ B = ÏÏ^'d,

Les quantités did et «t^'d étant indépendantes de a, on voit que le plus grand commun diviseur dépendant de a entre A et^, est le même que celui des quantités A' et B' ,

a". Pour trouver le plus grand commun diviseur dépendant de a., on divise A' par B', puis B' par le reste de cette division ^ et ainsi de suite , jusqu'à ce quon parvienne à un reste R indépendant de a ; ce qui arrive toujours après n divisions tout au plus. Lorsque R est zéro , le reste précédent est le plus grand commun diviseur D' entre A! et B' ; de sorte que le plus grand commun diviseur D, entre A ef B , 65f D = D'd (*). Lorsque R n'est pas zéro , il n existe pas de commun diviseur dépendait de a ; et le plus grand commun diviseur entre Aet'R , est d.

632. On sait donc trouver le plus grand commun diviseur entre des quantités contenant deux lettres. On en déduira facilement le plus grand commun diviseur entre des quantités

(*) En effet , D' étant le plus grand commun diviseur entre A' et K» il en résulte. . .

jH = q'iy j B' zn q"iy {g'etq" sont premiers entre eux).

Substituant ces valeurs de ^' et B^, dans celles de ^ et i? ^ il vient. . .

On voit que D^d est commun diviseur de ^ et 5 j il reste à prouver qii*il nVxiste aucuns facteurs communs entre <tq' et A'g". Or, si ces qnantitcs avaient un diviseur commun p y ce diviseur serait dépendant de a ou in- 4e'pendant de a ; dans le ler cas, p divisei'ait q' et 9", car «t' et ** ne contiennent pas a -, A^ et B' seraient donc divisibles par une quantité' pD' plus grande que leur plus ^r^nd commun diviseur ZX, ce qui est absurde, dans le second cas y A cl B ^tant divisibles par une quantité pd indépendante de a \ celte quantité devrait diviser les coefBciens de a , dans A et B\ ces cocfficiens auraient donc nn diviseur pd plus grand que leur plus grand commun diviseur d, ce q^i est absurde^ «'</' et a/'q" ne peavem donc «voir aucun facteur coQuaUD j D'd est dgnc h plus grand commun dir rÙ9ur entre A et B.

D'ALGÈBRE. Sfl

eontenant trois lettres ; et ainsi de suite. On pourra donc trouver le plus grand commun diviseur entre des quantités quelconques.

633. En appliquant les règles précédentes, les coefliciens de a, dans les quofiens et les restes successifs , sont souvent des fractions. Le principe du n° 61 5, donne le moyen de préparer lea dividendes de manière à trouver deâ coefficiens entiers. En effet, dans la recherche du plus grand commun diviseur Z/ entre ji' et B\ on peut remarquer que B' n'ayant aucun diviseur indépendant de a , ozi n'altère pas le plus grand commun diviseur entre A' et B' , en multipliant ou en divisant les dividendes partiels par des quantités indépendantes de a ; ce qui donne le moyen de rendre les premiers termes de ces dividendes exactement divisibles par le i*"^ terme P'a" du diviseur B\ On continuera ainsi la division par B\ de manière à obtenir des entiers au quotient, jusqu'à ce qu'on parvienne à un reste R' moindre que B' \ le plus haut exposant de a dans R\ sera tout au plus égal à (/i— 1). On cherchera le plus grand commun diviseur «T indépendant de a , entre les coefiiciens de a , dans jR' ; et divisant R' par ^ , on trouvera un quotient / qui ne contiendra plus de diviseur indépendant de a. On aura /î' = cT/; et le plus grand commun diviseur de \A^ et B\ sera le même que celui de B' et/ ', car B' n'ayant aucun diviseur indépendant de a ^ et (T ne contenant pas a y B' et i" sont premiers entre eux ; le plus grand commun diviseur entre B^ et R = ^/, est donc le même que celpii de B' et /. On divisera donc Bf par / ; et comme / n'a aucun diviseur indépendant de a , ots pourra multiplier ou diviser les dividendes partiels par des quan' tités indépendantes de SLy àe manière à rendre leurs premiers termes divisibles par le i**" terme du diviseur i^ \ ce qui donnera des termes entiers au quotient. Par exemple , si le i*"^ terme d'un dividende partiel quelconque étant de la forme pça*^*, le 1*' terme d'un diviseur était psa^\ pour rendre la division possible, on multiplierait le dividende partiel par j ; le 1*' terme du nouveau dividende serait spqa^'^^y et la division de ce 1 ^"^ terme par le i*' terme du diviseur, donnerait le quotient entier qa^.

Continuant à opérer de la même manière , on ii*altèrera pas le plus grand commun diviseur entre A' et i^ ; les coefEciens des diverses puissances de a , dans les restes successifs , seront entiers positifs ; et après avoir changé de diviseur n fois fcat au plus , on parviendra à un reste R y indépendant de a ; quand ce reste sera zéro^ le reste précédent sera le plus grand commun diviseur entre A' et B' ; quand ce reste ne sera pas nul , il n'existera pas de commun diviseur entre A' eX. ff ^ car s'il en existait un ^ comme il devrait diviser le reste qui est indépendant de a, il serait indépendant de a; u/ et B' auraient donc un commun diviseur indépendant de a ; ce qui est contraire à l'hypothèse actuelle.

634. En général , lorsque dans la recherche du plus grand commun diviseur entre deux quantités , on parvient à un restée indépendant de la lettre a par rapport à laquelle on a ordonné ; si ces quantités ne peuvent pas avoir de commun diviseur indépendant de a. y et si R nest pas zéro , on peut en conclure que les quantités proposées n'ont pas de commun diviseur, car si elles en avaient un , il serait dépendant de a ^ et diviserait le reste R indépendant de a ^ ce qui est absurde.

635. La méthode précédente a l'avantage de donner directement le plus grand commun diviseur indépendant de a, entr« A' et B'y le seul qui puisse exister. Mais on peut abréger lei calculs, en ne cherchant pas les plus grands communs diviseurs entre les coefficiens de a dans les restes. Alors, en mijtipliant le i**" terme de chaque dividende partiel par le coefficient de a dans le i*"^ terme du diviseur, on peut introduire des facteun communs entrç A^ et B^ ; mais ces facteurs étant indépendans ^e a, on peut les supprimer à la En de l'opération. Par exemple, si R désigne le reste qui divise exactement le reste précédent, on cherchera le plus grand commun diviseur <P indépendant de a, entre les coefficiens de a dans R-, alors f sera le produit des facteurs indépendans de a introduits dans le cours des divisions -, divisant R par cP , le quotient D' sera le plus grand commun diviseur entre A^ et B"^. Cette méthode est la plus simple dans la pratique. ,

©•algèbrk. 3S3

536. La recherche du plus grand commun diyiseur entre des nombres n'offrant aucune difficulté , et les facteurs monômes communs à deux polynômes étant en évidence , on peut simplifier les calculs de la manière suivante. Pour trouver le plus grand commun diviseur entre deux polynômes A et B y on les ordonnera par rapport à une même lettre , la lettre a par exemple. On cherchera le plus grand commun diviseur N , entre les coefficiens numériques et le plus grand commun divi^ seur monôme littéral M. Divisant ^ €i B par MN , on obtiendra des quotiens A', B', qui ne pourront plus avoir aucuns communs diviseurs monômes ; et l^on aura , . .

A = NM.A'; B=z=NM.B'

Pour trouver le plus grand commun diviseur complexe D > entre A' et B', on cherchera d* abord le plus grand commun diviseur d indépendant de a, entre les coefficiens de a dans A' et B'. Divisant A' et B'^ par à , on obtiendra des quotiens A" , B" , qui ne pourront plus avoir de commun diviseur indépendant de a. 'On* aura. . .

A' = dA'', et B'=dB'' ; d'où A = NMdA", etB = NMd.B",i

Pour trouver le plus grand commun diviseur dépendant de a entre A" et B", on divisera A" par V (on suppose A" > B") , et l'on continuera cette division jusquau reste R', moindre que 'B ; le plus haut exposant de a dans B! sera moindre que dans B". Changeant alors de diviseur y on divisera W par R''; et continuant à diviser les restes successifs les uns par les autres , on parviendra à un reste R , indépendant de a , après un nombre de divisions tout au plus égal au plus grand exposant

de a dans B". Lorsque R sera zéro, le reste précédent sera le plus grand commun diviseur D', entre A" et B"; on aura, . . .

A" = A"'D\ et B" = B^D';

doù A = NMdD' . A* , ei B = NMdiy . B'''

A* et B* n'ayant aucuns facteurs communs , le plus grand commun diviseur D ^ entre AetB, sera NMdD^ Lorsque R

ne sera pas zéro , il n'existera pas de commun diviseur entre A" et B" ; D' sera V unité y et le plus grand commun diviseur^ entre A et B, sera NMd. En général, DsNMdD', et les quantités N, M, d, D' peuvent être égales à Vunité, Par exemple ^si A et B n'avaient pas de commun diviseur d indépendant de a y alors d serait l'unité , et l'on aurait Z>= AWZ?'. Pour simplifier les calculs , on cherchera les communs diviseurt complexes d, D\ par la méthode du n® 635.