Exempl*^^ =376«a»-i8iV-9è

1® £»e plus grand commua diviseur entre les coefficiens nu* mériques est 9 ; donc iV= 9.

a*. Le plus grand commun diviseur mon.ôme littéral est b^a^; donc M=b^^.

Divisant A et B par MN, ou 9 6*a^, les vrieurs des quotiens A' et B' seront. . • .

ji' = 4a^ — 2a*i— 3a + 1 ; i?' = 3û*— ôfl-*- 1.

5°. Les quantités A\ B\ n'ayant pas de commun diviseur indépendant de a, ce commun diviseur est l'unité. Donc d-=z 1 ; d'où J! — J!' et B'=.B\

4°- I^a recherche du plus grand commun diviseur dépendant de a entre A' et B" y conduit au calcul suivant. . .

laa^ — 6a* — 90+ 314^ +ii — iQa^+8a^+ /^a

aa* — 5a+ 3 . 6a* — iSa+'g' — 6a*+ 4^+ 2

3a*— fla — \i a— 1 — 5a*4-3a l5a-{-i.

— iia-f-ii ou— ii(a— 1<)

Pour éviter les quotiens fractionnaires, on a multiplié le dividende A et le reste (aa* — 5a-f"3) , par 3 ; ce qui a donné le quotient {éfl -|- a) , et le reste — 1 1 (a — 1) j supprimant \%

facteur •— 1 1 ^ qui ne peut pas faire partie du plus grand commun diviseur entre >^' et£', on a divisé jî' par (a — i), ce qui a donné le reste zéro. Le divi«eur (a — i) est le plus grand commun diviseur Z>', entre J^ et B" \ de sorte que />'==( a — i). Divisant A" et B'^'^ax leur plus grand commun diviseur (a — i), ledquotiens(4a* + 2a— i) et (3a+i)> seront premiers entre €~ux. On aura ...

ji'=:4a^+!2a—i et jB* = (3a+i) '

A =A^iI[fdD'.^* = 9.&^a3.i.(a--i)(4a*+2a — i)

Le plus grand commun diviseur D, entre '^ et B, est donc /> = iV.ilf.rf.Z>'=9.JV.i.(a— i) = 9ftV(a — i).

1^. Le plus grand commun diviseur N, entre les coefficiem numériques ^estS; donc N = 3.

a*. Le plus grand commun diviseur monôme littéral est ba ; donc M = ia. Divisant -r4 et j5par MN, ouZab , Icsquotiens leront ....

^' = (5Z»— ioc)a — (3*«-. 6ic)j B==3abB\

3°. 5/ /'o/i cherche le plus grand commun diviseur entre les coeffîciens des diverses puissances de a, dans A' et B', o/i trouvera que ce commun diviseur est (b — ac ) (*) ; donc d=(i — 2c). Divisant A' et ^' par cZ, ou (6— ^ac), les

(*) Pour trouver ce plus grand comix^un diviseur , on prend d'abord les plu» petits coefBciens (36 — 6c) et ( 56 — loc ) j supprimant dans le i«r le Cacteur 3 , et dans le a* le facteur 5 , qui ne peuvent pas faire partie da J)lu» grand commun diviseur, ces deux coefiicicns deviennent {b — 3c) et (^ — 2c) 5 leur plus grand coiumun divisear est donc ( b — ic) j or (è — ac) «divise exactement les autres coeificiens j le plus g^and commun diviseur entro |(!s cQeIficîca9 cl«â diyçiCfes puis^vicc* de <i ^ esc donc {b -^ ^ç), -

quotiens seront ...

4*. Les quantités A" et ^ n'ont pas de diviseur indépendant de a. Pour trouver celui qui est dépendant de a, on divisera A" par jÔ" ; et pour éviter les coefficiens fractionn aires , on multipliera A** par le nombre 5 , qui n'est pas facteur de B" , on aura ainsi ( 1 5a* -f" 35ia — 3oi* ) à diviser par (5a — 5b). Le i**^ terme du quotient sera 3a , et le reste , fiera (44^fl — 3oA*); en multipliant ce reste par 5, qui n'est pas facteur de B" ; on sera conduit à diviser (22oia — i5oi*), par (5a — 3i) ; cette division eflFectuée donne 44^ pour second terme du qbotient, avec un reste — i86*; ce reste étant indépendant de a , on peut en conclure qu'il n'existe pas de commun diviseur entre A" et -fi" ; donc £>' = i . Le plus grand commun diviseur D^ entre A et B ^ est donc. . .

D = N.M.d,D'=3.ab,{b—Qc).i=:5ab(b — SLc).

6âo, III* Exemple.., < n /x », ,v /, , , t » «

Ces quantités n'ayant aucun commun diviseur monôme^ numérique ou littéral , on a iV== i , ilf = i ; d'où MN= i. Divisant A et B par MN ou l'unité , les quotiens A' et B' seront AetB-, donc A=lA etB' = B. |

Le plus grand commun diviseur d , entre les coeificiens de a dans A' et B'f ne peut pas surpasser (c — d). Il reste donc à voir si cette quantité divise exactement les autres coefEciens. En effectuant les divisions , les quotiens exacts sont i , ab, fr*, (c -f- i) et (ic — b") ; le plus grand commun diviseur entre j les coefficiens de a , est donc d=z(c — d). Divisant ji' etff par (c — ci) , nous aurons pour quotiens. . .

.^"=o*-f-2ia + i* , et B"ziz(jc + b)a + b{c — b). Pour trouver le plus grand commun diviseur dépendant de fl, entre A" et B*^ , on divisera A!' par B" , et l'on trouvera un reste indépendant de a , qui ne sera pas zéro. Les quantité! A" et B" n'ont donc pas de commun diviseur. Le plus grtmd commun diviseur D, entre A et B, se réduit donc à (c — d).

64 1- Zia règle du n^ 636.^ suppose que les exposans de la

lettre a , par rapport à laquelle on a ordonné , sont entiers et

positifs. Si les polynômes A' et B' contenaient des exposans

entiers négatifs de a, en procédant à la recherche de leur plus

grand commun diviseur , on pourrait ne pas obtenir un reste

indépendant de a ; de sorte que l opération pourrait ne pas se

terminer* Dans ce cas , on fera disparaître les exposans néga-^

tifs de a y en multipliant A et B par a , élevé à une puissance

positive égale au plus grand des exposans négatifs de a. Soit

— p cet exposant ; on multipliera A et B par ^"^^ ; les pro-»

duits AqF y BqF ne contiendront plus que des exposans entiers

positifs de a. Le plus grand commun diviseur entre AaF et Ba',

divisé par a' , donnera pour quotient le plus grand commun

diviseur cherché^ entre A et B. En effet, soit D le plus grand

commun diviseur de A et B', on aura. . .

A=qD , B:=z q'D , (jq et q' sont premiers entre eux) , jiaP = q.oTD , et. . . BaP = q^a^D.

Le plus grand commun diviseur entre Aa^ et Ba^* , est donc Pa^ ; ce commun diviseur divisé par a^ , donnera donc enfin le plus grand commun diviseur D,de AetB, Voici un exemple de cette espèce . . .