NOMBRES

■ 646. Pour déterminer combien la racine quarrée d'un "Ombre contient de chiffres , il suffit de partager ce nombre » tranches de deux chiffres ^ à partir de la droite ^ sauf à 5 laisser qu'un seul chiffre dans la dernière tranche ) le :^Tnbre des chiffres de la racine est égal au nombre des trantes (A .5*. n® 355 ). D'après cette règle, les nombres .oiadres que 100, n'ont qu'un seul chiffre à leur racine; les Lcines des nombres de 3 ou de 4 chiffres , ont deux chiffres ; t ainsi de suite.

647* L'extraction de la racine quarrée des nombres re-« me sur lé principe suivant : lorsque la racine quçirrée d'un ombre est composée de plusieurs chiffres, le plus grand quarré pntenu dans les centaines de ce nombre, exprime le quarré €« dlxaines de la racine. Par exemple , le quarré de 64

64 dixaines de la racine 649. Pour démontrer que priété est générale^ désignez le nombre proposé dizaines de la racine de P par a, et le chiffre de cette racine) par b ; la valeur de la racine quarrée a dixaines -|* b unités ^ ou ( 10a -f 6 )• Vous aurez <

(1). . . . JP = (loa H- by = loofl» + noab -h b* ; on (a). . . . P = a* centaines -haa x b dizaines -f- b* an

Les centaines dit quatre P renferment donc , h des dixaines de la racine , plus les centaines cont fioab + b'; il suiEt donc de prouver , que les cen ne peuvent jamais contenir le quarré e2e (a -f- 1 ). 1 aucune difficulté ; en effet ^ si les centaines de P rc le quarré de a -|- 1 ; le nombre P, contiendrait centaines 4 ou 100 (a +1)* unités; de sorte qu'ci par p une quantité nulle ou positive , on aurait

P = 100 (tf -4- î)" +p = looa* -h aoa X 10 "4- lo* -♦ £galant les deux valeurs de P, il viendrait

Cette dernière équation ne peut subsister, car des unités étant moindre qiie*io, chaque terme ( membre est moindre que le^ terme correspondant membre. Les centaines de P ne peuvent donc pas le auarré de ( a -f- 1 V> mais ces centaines cont

tenu dans les centaines tVun nombre, donnera donc ton-* rs les dixaines de la racine quarrée de ce nombre. Ce démontre le principe énoncé.

48* Lorsquon divise un nombre quelconque en tranches deux chiffrée à partir dé la droite; le plus grand quatre tenu dans la première tranche à gauche^ est le quarrédu nier chiffre à gauche de la racine; le plus grand quarré ^nu dans les deux premières tranches à gauche, est juarré du nombre exprimé par' les deux premiers chiffres la racine, et ainsi de suite. En eifet , le quarré de 649 Qt 4^12)01 , le plus grand quarré contenu dans 4^12 cen-« les est le quarré des 64 dixaines de la racine (n® ^^l)- Le s^and quarré contenu dans les 4^ certaines de 4^1 a , a donc le quarré, 36 centaines^ des 6 dixaines de la ine 64 (p^ 647)* On peut d'ailleurs démontrer directement i propriétés.

u4Sr II résulte du principe précédent , que pour obtenir \premier chiffre à gauche de la racine , il suffit de fnaître les quafrés des nombres d'un seul chiffre. Voici le les neuf premiers nombres, ayeô leurs quarrés, mis au** Sons . • • •

Kacines ....i, a, 3, 4> ^9 ^9 7' ^' 9* Qaarrés.... i , 4 > 9 > ^'^» ^^i ^^> 49> ^' ^' •

^es racines quarrées des nombres qui n'ont pas plus de deux BFres , n'ont qu'un seul chiffre ( n° 646 ). On trouve ces ines dans la table ci-dessus. Les nombres de plus de deux ffres, ont plusieurs chifires à la racine. Cherchons les ines de ces nombres.

Ko. Pour appercevoîr comment on peut revenir du quarré -n nombre de deux chiffres à sa racine , il est nécessaire Fttidier la composition de ce qparré. Or les formules (1) '^a),dun*G47, démontrent que /c^uarr^ dun nombre corn-- M de dixaines et d'unités contient trois parties, savoir ,• ^ifmrré des dixaines, le double des dixaines multiplié par ^ unités, et le quarré des unités^ Ces trois produits exprimait

respeçtwemêjU des centaines , des dixaines et desnmté.\ exemple; si la racine^ était 64i> on aurait

(60 4- 4)' = (^4)* = ^ centaines -f- 4B dizaines + !6 onitÀ =4^

Et en elTqt , le produit de 64 par 64 est 4o9&«

«Si /e^ c/euo; premières parties du quarré d'un nonihi deux chiffres étaient connues, il serait facile de revem\ quarré à la racine; car la racine a, de a*, n'ajaât qa*i seul cfaiffre , ou trouverait cette racine dans la table du n^6^ et la division de aaXb par aa , donnerait le chiffre h unités. Dans notre exemple, si Ton connaissait les 36 centaines et 4^ dixaines, du quarré 4^36, on endédi facilement la racine , car la racine quarrée de 36, âonnerâtj pour le chifi^re des dixaines de la racine cherchée, et lai vision de 4S> parle double la des dixaines^ dçnnenut, cbiiFre 4 ^^s unités. Toute la difficulté est donc réduite] trouver les deux premières parties du quarré d*nn nottbni deux chiffres. On peut toujours découvrir ces deux en s*aidant du principe du n® 647. Par exemple, pour rei du quarré 4^^^, à sa racine 64, on observera, que le grand quarré contenu dans les 40 centaines de 4^9^ > ^^ 36, la racine 6 de 36, sera le chiffre a des dixaines de' racine (n'*647). Or 4096 contient le quarré 36 centaines 6 dixaines de la racine, le double des 6 dixaines multiplié le chiff're inconnu b des unités , et le quarré b* des unit Otànt donc 36 centaines de 4096 , le reste 496 , ne reuit mera plus que le double' des dixaines multiplié parlesuml et le quarré des unités. Or le double produit des dix^esi les unités , étant des dixaines , ne peut faire partie que 49 dixaines du reste 496 , et ces 49 dixaines sont compoti du double des dixaines de la racine multiplié par les unitij plus des dixaines contenues dans le quarré des unités. Il conséquent, si Ton divise 49 dixaines, par le double deJ dixaines de la racine ;, les 4 unités du quotient exprime»

Ou le nombre des. unités de la racine , ou un nombre plus jgrand. Pour reconnaître si le quotient 4> est le chiffre des %3nités ^ on formera le «piarré de 64 ; ce quarré étant égal au , Viombre proposé 4^96 , la racine 64 est exacte. Le reste 496 , peut servir à reconnaître si la racine 64 est exacte; car ce Teste étant composé du double des dixaines multiplié parles unités et du quarré des unités , en multipliant le double des dixaines, qui est lao, parles 4 unités, et ajoutant au produit 4^0, le quarré 16, des 4 unités, la somme 49^) ^^^^ être égale au reste 496- On peut obtenir par une seule multiplication les deux parties du reste; il suffit de mettre sur - la droite des 1 2 dixaines , le chiffre 4 des unités ; le nombre \ 134> qui en résulte, multiplié par le chiffre 4 des unités, doit donner un produit égal au reste 496 ; car ce produit est composé du quarré 16 des 4 unités, et du produit du double des 6 dixaines de la racine, par les 4 unités. Et en effet; lorsqu'on retranche, 4 fois ia4> ^^ 49^ > 1^ ^^^^^ ^^^ zéro. Afin de mettre de l'ordre dans les calculs précédens , on les dispose, comme on le yoit ici.

Quarré 4^^

i*»" reste 496

M, Dernier reste. . o

64 Racine, loubl ou aoa^ b.

. ^ ( double des dizaines , augmenté des unite's ,

, f double des dixaines, mnliiplié par les unités, ^^ ' '- augmenté du quarré des unités,ou aoafc+ft* .

La racine du plus grand quarré contenu dans les 40 centaines de 4^q6, donne les 6 dixaines de la racine; on retranche de 4096 , le quarré 36 centaines des 6 dixaines, et la diyision des 49 dixaines du reste 4969 P^i^ le double des £ dixaines, donne les 4 unités de la racine.

Pour vérifier si le chiffre 4 est celui des unités de la racine , on écrit ce chiffre sur la droite du double 12 des dixaines de la racine; multipliant le résultat ia4> P^'^ 4» ^^ forme le quarré des 4 unités et le double des 6 dixaines multiplié par les 4 unités; mais si le chiffre 4 «^^ celui des unités, le

reste ^96 doit être la somme de ces deux produits; retrait chant donc 4 ^^^ ^^4» ^® 49^ > ^^ reste zéro» prouTeqae 64 est la racine exacte de 4^96 {*).

Lor5qu*après avoir retranché du nombre proposé , le qnané des dixaines de la racine , on obtient un reste, les dixainei de ce reste contiennent le ^double des dixaines de la racine, multiplié par les unités y plus les dixaines qui peuTènt se trouver; dans le quarré des unités ; la diyision des dixaines du reste par le double des dixaines de la racine , peut donc donner pour quotient le chiffre des unités de la racine , on un chiffre .plus grand. Dans ce dernier cas, le produit formé d'après la règle précédente, est plus grand que le reste, et Ton diminne le chiffre des unités d'assez de fois un , pour que le produit du doublas des dixaines plus les unités, par les unités, ne surpasse pas le reste. Afin de traiter un exemple de cette espèce, on cherchera la racine quarrée de 289. Après ayoir disposé le calcul comme on le voit ici

Quarré

Racine

(*) Pour revenir du quarré k la racine ^ il est indispensable de cant' mencer par la recherche des plus hautes unités de la racine. En effet j le double des dixaines de la racine multiplie' par les unîtes, contenant les deux chiffres inconnus de la racine , on ne doit pas espe'rer de déduire de ce produit l'un des chiffres de la racine j mais si Ton connaissait le qnaxré des dixaines, ou celui des unîtes ^ il serait facile d'en déduire les dixaines ouïes unite's de la racine. On doit donc chercher à découvrir Tnn de ces quarrës dans le nombre proposé. Le quarré du chiffre des unîtes de la racine pouyant contenir ou des unités simples , où des unités et des dixaines ; et ces dixaines étant confondues avec les dîxaines qui résultent de la multiplication du double des dixaines de'la racine par les unités j il est impossible de recoiinaitrc quel est le quarré du chiffre des unîtes de la racine. Il n'en est pas de même du quarré du chiffre des dixaines de la racine , car ce quarré est le plus grand quarré contenu dans les centaines du nombre proposé (n^ ^47)* On doii donc commencer par la recherche des dixaines de la racine.

On dira; la racine i du plus grand quarré contenu dans les a centaines de 289 , est le chiffre des dixaines de la iracine demandée (n^647). Retranchant i centaine de 389, le reste 189 contiendra a fois les dixaines multipliées par les unités « plw» le quarré de& unités*, le premier de ces' deux produits exprimant des dixaines, ne peut faire partie que des 18 dixaines du reste; divisant donc 18, par le double a des dixaines^ le quotient 9 sera le chiffre des unités de la racine ou un chiffre plus grand. Or la suite de Topération avertit que 9 est trop grand , car en posant 9 sur la droite du double a des dixaines^ et multipliant 39 par 9, le produit a6i est plus grand que le reste 189. On verrait de même que 8 est trop grand , et que le chiffre des unités est 7. Desorte que la racine de 289 est 17.

65 1. La composition assignée (^ n^ 65o ^ au quarré d'un nombre de deux chiffres , convient au quarré iun nombre de trois chiffres. En effet; pour former le quarré de 649 , d*après la règle du n® 65o, il suffit de décomposer ce nombre eu 64 dixaines plus 9 unités ; ce qui donne

=14*9^ centaines -4- ii5a dizaines ■+• 81 unités = 4^1 aoi.

Il est actuellement facile de revenir du qi;arré 42iaoi , i la racine 649. En effet ; le quarré des 64 dixaines de la racine, étant dés centaines, ce quarré ne peut faire partie que des 4^1 a centaines du nombre proposé. Mais la racine du plus grand quarré contenu dans 4^1 q, sera les dixaines de la racine (n**G47) ; on obtiendra donc ces dixaines, en opérant comme si Ton voulait extraire la racine de 421a ; ce qui donnera 64 dixaines, avec un reste 116 centaines. Ce reste exprime les centaines contenues dans la somme des deux autres parties du quarré. Retranchant donc de 4a laoi, le quarré 4096 centaines ^des 64 dixaines de la racine, le reste 11601 sera ^ égal au double des 64 dixaines de la racine multiplié par le chiffre des unités, plus le quarré des unités. ( On ubtient ce reste eu ajoutant aux 116 centaines, les dixaines et les unités .

de 4^1301 y» Raisonnant donc comme dans le n<*65o, on di-^ visera les 1160 dixaines du reste ^ par le double 128 de 64; le quotient 9 , sera le chiffre des unités , ou un chiffre plus grand. Mettant sur la droite de 128, le chiffre g que l'on veut essayer, et retranchant 9 fois 1289, ^^ 11601 ; le reste zéro exprime que 9 est le chiffre des unités. De sorte que

649 est la racine exacte de 4^1201. Pour effectuer ces caU culs , on disposera Topération comme dans le n** 65o.

652; En général : pour extraire la racine quarrée d'un

nombre quelconque , il suffît d* employer des raisonnemens ana^

logues aux précédens. Par exemple , si Ton veut extraire la

racine du nombre 4^ ^i ^^ ^9 > ^^ concevra cette racine

* décomposée en dixaines et en unités , comme dans les n^

650 et 65i . Le quarré des dixaines, ne pourra faire partie que des 4^21 10 centaines du nombre proposé , et la racine du plus grand quarré contenu dans ces centaines , sera les dixaines de la racine cherchée (n® 647). Opérant comme dans le n® 65i , on trouvera que la racine demandée contient 649 dixaines ; le reste sera 909 centaines; retranchant de 4^21 1009 , le quarré des 649 dixaines , le reste 90909 , exprimera le double des 649 dixaines, multiplié par les unités de la racine, plus le quarrt des unités. Divisant les 9090 dixaines, du reste 90909 C*^), par le double 1298 des dixaines de la racine , le quotient 7 sera le chiffre des unités, ou un chiffre plus fort; mettant sur la droite de 1298, le chiffre 7 que Ton veut essayer , et retranchant 7 fois 1 2987, de 90909 ; Jie reste zéro exprime que 7 est le chiffre des unités. De sorte que 6497 est la racine exacte de 4^211009. On voit que ces raisonnemens conduisent à partager le nombre proposé en tranches de deux chiffres à partir dé la drMte 5 le nombre des tranches indique le nombre des chiffres de la racine. Ce qui s'accorde avec la

{*) Pour former ce reste, il suffit de placer sup la droite de 909, les d«ax derniers chiffres 09 , du nombre proposé.

règle du n* G/fS, Pour mettre plus d'ordre , on dispose les calculs des n^65i et 65a ^ comme on le voit ici

4a ai 10 09

I 35 io . .