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Dans le premier exemple , où il s'agjssait d'extraire la racine de 4^1201 y on a séparé ce nombre en tranches de deux chiffres a partir de la droite ; la racine 6 , du plus grand quarré contenu dans la première tranche à gauche , a donné le chiffre des plus hautes unités de la racine (n^648). De 4^ on a ôté le quarré de 6; sur la* droite du reste 6, on a descendu la seconde tranche 12; ce quia donné 61a; la diyision de 61 , par le double la du premier chiffre de la racine» donne 5 au quotient. Ce chiffre est trop fort , car le reste 61 a ^ est moindre que 5 fois laS; on a donc pris 4> ce qui a donné ia4; de 61a on a retranché 4 f^^i^ ^^4» ^^ "^^ '^ droite du reste 116, on a descendu la dernière tranche 01 ; \ ce qui a donné 11601; la division des 1160 dixaines de ce reste , par le double 128 des 64 dixaines de la racine , a donné 9 unités au quotient j pour essayer le chiffre 9 , on a mis ce chiffre sur la droite de 128, et Ton.^ retranché 9 fois 1389, de 11601 5 le re^te zéro, a exprimé que le chiffre des unités de la racine est 9. De sorte que la racine de 4a 1291 est 649.
Dans le second exemple, où il s'agissait d'extraire la racine de 42211009^ on a observé, que la racine du plus grand quarré contenu dans les centaines du nombre proposé , exprimant les dixaines de la racine demandée ( n** 647), il sufiBsait d'opérer comme si l'on voulait extraire la racine de 4a2iio. Raisonnant comme dans le premier exemple^ on a trouvé les 649 dixaines
f 38o EL é M E N ft
de la racine demandée , avec le reste 909 centaines. Pour obtenir les 7 unités de la racine , on a descendu la dernièi'e tranche 09 , sur la droite de 909 -, ce qui a donné le reste 90909; la division des 9090 dixaines de œ reste , par le double 1398» des dixaines de la racine , a donné le ch^fFre 7 des unités. De 90909^ on a soustrait 7 fois 12987 ; le reste zéro a indiqué que la racine exacte du nombre proposé est 6497*
653. Lorsqu après avoir abaissé une tranche de dieux chijfres^ sur la droite d'un reste quelconque , les dixaines du résultat , sont moindres que le doi^ble de la partie de la racine déjà obtenue ; on doit mettre un zéro sur la droite des chiffres de la racine déjà obtenus , c^ le chiffre correspondant de la racine est zéro On abaisse ensuite la tranche suivante , poujr continuer le calcul comme à l'ordinaire. Voici un exemple de cette espèce.
Qaarré 94349
Reste. ... o
3o7 Racine
. On n'a pas écrit les nombres à soustraire ; on a effectué les soustractions par la pensée.
654. Ce qui précède, donnant le moyen, de revenir du quarré d'un nombre entier à sa racine , voyons comment on peut résoudre le même problème pour les quarréâ des fractions.
Le quarré de la fraction - , étant écal à - X -, ou à -- ; /e
quarré dune fraction est égal au quarré du numérateur , divisé par le quarré du dénominateur. De sorte que pour extraire la racine' quarrée d'une fraction , il sjjffit de diviser la racine quarrée du'numérateur par celle du dénominateur. Ainsi, la racine de |4®^* f > caria racine deaS est 5, et celle de 36 est 6.
655. Pour obtenir la racine d'un nombre décimal y il suffit d^ extraire la racine de la fraction ordinaire qui exprime ce nombre décimal. Ainsi , le nombre 1 ^^^ étant égal à la frac-
D* A t G È B It ë; 38t
tion tII, la racine de i,44 ^^^^ ^g^^^ ^ 1^ racine de f^f ; cette racine est 7I , ou i ,2 .
Si l'on veut éviter la transformation du nombre décimal , en fraction, on observera que le produit de deux nombres déci" maux contenant autant de décimales que ses deux facteurs réunis ( A. 5*. n* 81), le nombre des chiffres décimaux du quarré est toujours double du nombre des chiffres décimaux de la racine. Cela posé \ désignez , le quarré d'un nombre décimal par 6 , et le nombre des chiiFres décimaux du quarré par *2n 5 si la valeur de b ^ abstraction faite de la virgule , est B ; vous aurez
Or pour diviser ^B par lo", il suffit de séparer n décimales
sur la droite du nombre entier qui exprime ^ B ; on peuf donc établir cette règle générale :
656. Pour extraire la racine quarrée êHun nombre décimal; calculez la racine du nombre entier qui résulte de la suppres^ sion de la virgule dans le nombre proposé; séparez autant de décimales sur la droite de cette racine » qu*il y a d^jinités dans la moitié du nombre des décimales du quarré ; le résultat sera la racine demandée. Ainsi, la* racine de 4^iaoi étant 649' (n^ 65i ) , celle de 4^^1201 sera 6^4^,
667. Dans les exemples précédens ^ les nombres proposés étant des quarrés , on a trouvé les valeurs exactes des racines. Mais il existe des nombres ^ dont les racines ne peuvent pas être exprimées exactement en nombres. Par exemple , le nombre 73 tombant entre les quarrés de 8 et de g , la racine qaarrée de 73 existe, car elle est plus grande que 8 et plus petite que 9. Mais cependant aucun nombre ne peut exprimer exactement cette racine. En elFet , elle nest pas un tiombre entier , et Ton conçoit qu'elle n'est pas un nombre fractionnaire , car le quarré d'un nombre fractionnaire ne peut pas être égal açi
>jiombre entier 75. Voici la démonstration des principes qui conduisent le plus directement à cette propriété.
