Lorsquune fraction -^ , est égale à une fraction irré

ductible - ; Us deuaf termes de la première sont 'respectiver

ment égaux aux deux termes de la seconde , multipliés par un même nomtre. De sorte que l'on a. • • B =mb et A = ma. £n effet; réquation

~5 = - , donnant -?- =: — • A a b a

Si B n'était pas divisible par h , la division de B par b fournirait un quotient entier q avec .un reste r , et la fraction

— étant égale à -7- , la division de A par a , donnerait le

même quotient entier q , avec un reste /. On aurait donc

-T- = <7 -f- 7- et — =^-4- — • Or -7-=: — i aoncT = — . b ^ b a ^ a ' b a b a

Cette dernière équation donne - = -^,

Mais les restes r , /, sont respectivement moindres que les

diviseurs b et a, La fraction irréductible-, pourrait donc être

exprimée par une fraction -7 , dont les termes seraient moindres;

ce qui est impossible. B est donc exactement divisible par b. Désignant le quotient par m , on aura

-zr = m = — : d'où B=^mb et A=^ma»

Ce qui démontre le principe énoncé.

669. Une fraction est irréductible ^ quand ses deux termes ri ont aucun facteur commun. En effet * si B et A étant pre-

zniers entre eux , la fraction -r- nétait pas irréductible , il exis-

terait une fraction irréductible - , qui serait égale k ^, tt

les termes b et a seraient respectivement moindres qae B et ji. Mais le principe du n^ 658 , donnerait

B = mb ; ^ = ma ; m ^ i .

A et B , auraient donc un facteur commun m ; ce qui est

contre Thypothèse. La fraction -j est donc irréductible.

660. Le produit ab étant dwisiblepar c ; et c n ayant aucun facteur commun avec h; on peut en conclure que c ^ivise a.

£n élFet ; si le quotient de la division de ab par c , est 9 ; on aura

ab jj X ^ 7

£ et C n'ayant aucuns facteurs communs , la fraction - est

irréductible ( n^ 65<| ). Mais cette fraction est égale à - ; on a

donc ( n* 658) ^ a= mc\ ^=r: mb. Le nombre c divise donc exactement a ; ce qui démontre le principe énoncé.

66 1 . Pour que le nombre premier p , divise b"* ; il faut que p divise b. (Les nombres p > b^ m ^ sont entiers et positifs,) En effet ; 6 et p étant premiers entre eux , et b^ étant le produit de è"*"* par b ; pour que p divise è"*, il faut que p divise è"*"~* (n°66o). On en déduira successivement quep doit diviser , è"*"^ , h"^^, . . . . , i* et 6. Ce qui démontre le principe énoncé.