Quand la fraction - est irréductible j la fraction

cl SL

est également irréductible. En effet; si la fraction —, n'était

pas irréductible , les deux termes b"^, a", seraient divisibles par un nombre premier p. Ce nombre premier diviserait donc

£ et a < n^ 661) ; la fraction - ne serait donc pas irréducr'

384 é L é M E if s '

tible ; ce qui est contre Thypothèse. La fraction — est dofle

irréductible.

663. Lorsque la racine d*un nombre entier, tombe entre deux nombres entiers consécutifs, on doit en conclure que cette racine existe ; mais quelle ne peut être exprimée exacte^ ment par aucun nombre. Car cette racine n'est pas un nombre entier, et le quarré d'une fraction irréductible, étant une fraction irréductible ( n® 663 ) ^ la racine ne peut pas être une fraction. Ainsi ; la racine quarrée de 5 , tombant entre 2 et 3; on doit en conclure que cette racine existe ^ mais qu'elle ne peut être exprimée exactement par aucun noxnbre.

On conçoit qu*z7 existe des quantités qui ne sont pas susceptibles d'être exprimées en nombres. En effet ; les accrois- •emens successifs d*un nombre quelconque , peuvent toujours

être exprimés par une fraction - , dans laquelle a et & désignent

des nombres entiers ; or quelque grand que soit a, l'accrois-

sèment - , a une valeur numérique déterminée ; les nombres

ne peuvent donc pas croître d'une manière continue ; tous les états de grandeur d^une quantité ne peuvent donc pas être exprimés exactement par des nombres: La racine quarrée de è, est de cette espèce (*).

Les nombres entiers et les fractions ayant une commune mesure, ou un rapport, ou une raison , avec l'unité , on dit que ces quantités sont commensurables ou rationnelles ; et par opposition ^ les quantités qui n'ont aucune commune mesure » ou aucune raison avec l'unité , sont dites incommensurables ou irrationnelles. Par exemple ; la racine quarrée de 5 est incom-

(♦) Une ligne pouvant croître d'une manière continue, tous les états de grandeur d'une quantité sont susceptibles iTétre exprimés exactement par des lignes. Ainsi, dans le cercle dont le diamètre est 6, le quam^ de l'ordonnée correspondante aux segmens 5 et i, ^tant 5xt, ou 5, la lomr guenr de rordonu^c exprime la racine qoarr^ de 5»*

mensurahh

mensuraUe ou irrationnelle ^ parce que ne pouvant être exprimée exactement par aucun nombre entier ou fractionnaire» il en r&mlte que si Ton divise Tunité en un nombre quelconque de parties égales , ces parties ne seront jamais assez petitee pour être c<j>ntenues un nombre exact de fois dans l'unité et dans la racine quarrée de 5.

684* Lot^squon ptppose <Pexitaire la racine quarrée iun

mpmbre entier f on ignore si cette racine est exacte; on opère

dofèc comme si le nombre était un quarré. Quand le derniet reste

est, %éro , la racine obtenue est exacte. Quand ce reste tiest

peu zéro, la racine demandée est INCOMMENSURABLE^ et la

wracine obtenue exprime la racine du plus g^and quatre contenu

idatu te nombre proposé ( n^ 663iet 648J. Ainsi, par exemple ,

l'extraction de la racine quarrée de 4^99 > donnant 64 ^ ^

racine , et 3 de reste; le plus grand quarré contenu dans 4099

«et celai de 64 , ou épefi. Et en effet ^ 4^99 tombe entre les

qaarrés de 64 et de 65. Le quarré de V^ 4^*99 est 4099.

. 665. La valeur d'une quantité , à moins d'une unité près, est ce qu'on nomye la valeur entière approchée de cette quantité. Ainsi , ^ étant égal à 5 + f^ la valeur entière approchée, de -Ç, est 5. La racine quarrée de 5, tombant entre d et 3, k valeur entière approchée de cette racine est a. Et en gé-ttéral , si une quantité a est plus gro^nde que le nombre entier p , et moindre que p + 1 ; la valeur entière approchée de 4 sera p.

* 666. Poîw obtenir la valeur dune racine à moins dune unité décimale dun ordre déterminé ; on prépara l^ nombre proposé de manière qu*il contienne le double du nombre des décimales qu'on veut obtenir à la racine (n* 656 J.. La racine de ce norqbre, calculée d après la règle du n® 656, exprime le résultat demandé. S'il s'agit d'obtenir la racine de a, 4 iQOins d*an centième d'unité près ; on écrira a,oooo. La racine de âccxx), i moins d'une unité près, sera i4i l là racine de a , à moins d'un centième d'unité près , est donc i^4^', et en^effet , le nombre B tombe entre les quarrés de 1,4^ *t de x,4^* Pour

trouver la racine qoarrée de o,oa à moins d'un milliètiid d*uniti près^ on écrira o,oaôooo ; supprimant la yirgule » la radot de ooAoooo , ou de aoooo , sera i^i > à moins d'une unité près; la racine demandée sera donc 0|i4i- Pour calculer la racîneds la/fraçtiop f > à moins d'un centième d'unité près ^ on obser- Tera que le guarré doit contenir4 décimales ; on réduira donc } en décimales, et Von s'Arrêtera à la quatrième décimale; ce qui donuera 0,6666 ; supprimant la virgule , la racine de 6666 sera 81^ à moins d*u/ie unité près. La racine demandée est donc 0,81 • La racine fde § , i moins d'un millième d'unité près » avait 1 |58i .

667. Lorsqu*on veut approcher le plus possible de la valeur dune racine , avec un nombre déterminé de décimales, on calcule une décimale de plus, et ton supprime ensuite cette décimale, d après la règle dun^ io3de la 5* édition des Notes sur r Arithmétique, Ainsi ^ la racine de f étant i,58 etc., h yaleur la plus approchée de cette racine ^ quand on ne conserve qu'une seule décimale, est 1,6. Cette valeur est trop forte , mais l'erreur est moindre qu'un demi-dizième* '

Remarques relatii^es à P extraction^ la racine

quarrée.

668. Dans le cours des opérations relatives à t extraction de la racine quarrée , pour reconnaître si un chiffre mis â la racine est trop faible , il suffît d'ajouter t unité au double de la partie de la racine déjà obtenue ; lorsque le résuJtat nest pas plus grand que te RESTE ( * ) » la racine obtenue doit être augmentée dun ; dans le cas contraire , le chiffre mis à la racine est exact. En eiTet ; désignez le nombre donné par n , la partie de la racine déjà obtenue par a, et le reste n — <^, par r. Lorsque 52a -f- 1 ne sera pas plus grand que le reste on aura

aa-(-i = /i — a» — èj d'oii n = (a -♦- 1 )• -4- ^,

(*) Le reste est ^gal au nombre proposé , àimiaoé du qnarréde la partie de la racine déjà obtenue.

Le nombre donné n contiendra donc an moins le quarré de (a -f- 1 ) *> le premier chiffre à droite , de la racine a , pourra donc être augmenté d'un. Quand âa -f" ^ ^^^^ plus grand que 1^ teste (n^-o*) , on aura

»a-*- ISS (» — «•) + *; d'où ixs=:(a4-i)« — •&.

Le nombre donné sera donc moindre que le quarré de a-f- 1 ; le dernier chiffre à droite de a ne pourra donc pas être auglOkCiaté d'un. Ce qui démontre le principe énoncé.

66g. Lorsqu après avoir trouvé le chiffre des unités de la racine quarrée dun nombre entier , le dernier reste nest pas zéro , le nombre donné n*êst pas un quarré (n* 663 ) ; et lors^ que ce reste est nrioindre que le double de la racine obtenue,, augmenté d^un^ cettp racine exprime la racine du plus grand quarré contenu dans le nombre proposé ( n* 668^. Aind , l'extraction de la racine quarrée de iSg, donnant la unités à la racine , avec le reste i5 > et ce reste étant moindre que le double de la^ augmenté d*un , le nombre .la exprime la racine du plus grand quarré contenu dans i5g. Et en effets iSg est compris entre les quarrés de la et de i3.

670. Lorsqu'on a trouvé plus de la moitié des chiffres de Iq racine quarrée dun nombre^ on peut obtenir les autres chiffres de la racine , en divisant le RESTE , par le double de la partie de la racine quon a déjà] obtenue. Par exemple, si Toii propose d'extraire la racine quarrée de aoi 5a64i6; au lieu de suivre la méthode du n^ 65a ^ qui donnerait 14196 pour la racine exacte , on calcule , d'après ce procédé , les trois premiers chiffres 1 , 4 > ^ > V^ valent i4ioo. Le r^^te correspondant est a7 16 4^6; la division de ce reste ^ par le double de la première partie de la racine , donne les deux autres chiffres 3 et 6 de la racine. Pour découvrir la taison de ce procédé y on désignera lé quarré donné par n, la valeur de la partie de la rîicine déjà obtenue par a , et la partie de

la racine qui reste à obtenir par b ; ce qui donnera

Or /i — - a* exprime ce qui reste , lorsqu'on a retranclié dt nombre donné , le quarré de la partie de la racine déjà obt»« nue ; aa exprime le double de cette partie. Il suffit donc di

prouver que — est moindre que Tunité , car dans ce cas, k

.division du reste n — a*, par aa , donnera b pour les imités dt

quotient , avec un reste -^ , moindre que Fanité. U est fêch

de démontrer que -^ est moindre que t unité» En effet ; comme

\it on a trouvé plus de la moitié des chiffres de la racine , i I.

le nombre des chiff'res de la racine est ad ; la valenr de a 1

contiendra ad chiffï'es; b ne pourra pa* contenir plus de

d— 1 chiffres; b^ ne pourra pas contenir plus de nJ— i

chiffres ( n^ 64^ ) ; mais oa contient au moins nd chiffres ; sa

est donc plus grand que &*. Si la racine contient iuf -f 1

chiffres , aa contiendra au moins nJ -f~ ^ chiffres ; & ne

pourra pas avoir plus de d chiffres ; i^ ne contiendra

donc pas plus de ad chiffres ; b* sera donc moindre que aa.

La quantité -** est donc toujours moindre que l'unité. Oe qui

(*) D'aprèf le procéda qae l'on «liit pour extraire la racine quarree; lorsqu'on a trauTé une partie quelconque des chiffres de la racine, le rette que Ton obifent est <^al au nombre propose', diminué du quané de la partie de la racine déjà obtenue. Ainsi, dans Tezemple préc<kleiit^ on 1

/lier ^01 5^6 4169 A ac i4i centaines =: 14100. ,

Lorsqu'on a calculé les 141 cemaines de la racine, le reste correspoidant S7i64l6y eit égal 4 ti *— a*. La partie de la racine qui reste à tronm rat 96^ d« sorte que ^=g6. On voit que pour former la valenr de a, I il faut mettre autant de zéros sur la droite des cbifires déjà obtenus, qu'il | reste de chiffres à trouver. De sorte que a contient autant de ch^nt ifue la racine. Ces remarques sont nécessaires à rinielligence de la dimoostration.

démontre le prindpe énoncé. Par exemple , si l'on propose d'extraire la racine quarrée de ioai3ia36 » on séparera ce nombre en tranches de deux chiffres > à partir de la droite ; le nombre des tranches étant 5 , la racine contiendra cinq ' duffres ; calculant donc les trois premiers chiffres , par la méthode «générale , on trouvera qne la première partie de la racine est 101 centaines on 10100 , et qne le reste est iaia36. La dilision de ce r^te , par le double 110200 , de la première partie delanidnè^donneSy pour les unités du quotient; la racine demandée est donc 101 centaines, plus 6 unités» ou 10106. £t en effet ; le quarré de 10106 est ioiii3id36. On, serait indnit en erreur si l'on ne déterminait pas d'avance le nombre des chiffres de la racine ; car la première partie étant 101 » «t la seconde étant 6^ on pourrait croire que la racine serait 1016.

671* £n général , pour ne pas être induit en erreur, on

détermine é[ abord combien la racine doit avoir de chiffres , en

partageant le nombre donné en tranches de deux chiffres ^ à

partir de la droite. On calcule ensuite plus de la nioitié des

chiffres de la racine, par la méthode du n* 65fi. On met sur

la droite de ces chiffres autant de héros quil reste de chiffres^

à^tronueiTé Le résultat exprime la valeur de la prer^ière partie

de la racine. On divise ensuite le reste par le double de la pre^

ndére partie de la racine; les unités du quotient expriment la

seconde partie de 2a racine. La même règle s'applique aux

nombres décimaux , car la dénKHistration que uous avons-

donnée est indépendante de la grandeur des unités de la'

.seconde partie delà racine. Ainsi , par exemple, pour trouver

la racine quarrée de ioai3yid36,^ on i^emerquera qu'il suffit

d'extraire la racine de loai 3i !236 , et de séparer deux décimale»

dians le résultat (n^ 656 ) ; ce qqi donnera 101^6 pour la

sracine demandée.

La méthode précédente,, ne donnant qoe la vateuar appro-» chée de la racine , on ignore ai cette racine est exacte. Le* «loyea le. plus simple de s'en assurer^ est de former k qjaarEi-

3^d' -É LÉ M l£ If S

de la râeîilé obtenue. Cette méthode eét ttès^xpéditîvé, tol^ qu'on veut déterminer la valeur "d'une racine incomm^enstp tablt • avec un grand degré d^exàctitude. P^r exemple ipOttf appfoeher le plus possible dé la racine quarrée dû 3, en iK conservant que Cinq dédmales à"lâ racine» on calculera' siï décimales, afiil de sirpptimer la dernière décimale , d'après k règle donnée en aritbnïétique ( A.S*. n"^ io3). Onmettn donc la zéros sur la droite du nombre 3» ee ^n donnera Soooooôoooooo* Ce nombre contenant i3 chiffres ^\sl racîiis en contiendra 7 ; calculant les quatre premiers chiffres , par la méthode générale , on trouvera 173a mille » pour la pre-* mière partie de la racine ; le reste sera a 999 998 a68 000; la division de ce reste » par le double de la première partie, donnera 5o , pour la seconde partie de la racine. La racine demandée est donc i i73ao5o. On trouvera de la même ma* nière qtie la valeur approchée de la racine quarrée de ^f9999999753a5989oa est 0,999999987 , et que la racine qaarrée de 10, est 3,i6aa7 76601 68379 ^3199 88935 44435 etc.

67a. Z^e moyen le plus naturel d'approcher des valeurs des racines incommensur^les , est de chercher ces racines an moyen des décimales (n*656). Mais comme il est quelquefois ^tile, de calculer la racine as^ec un degré d^approxirriaUon donné , nous allons voir coinment on peut y parvenir. SiToa demande la racine quarrée de 6 » à moins d'un tiers d*iinité près , on observera que la racine devant exprimer des tien, le quarré doit être des neuvièmes ; car le quarré de ^ est|. Il faut donc réduire 6 en neuvièmes ; ce qui donne ^; la racine quarrée de 54 étant 7^ à moins d'une unité près, la racine de ^ est |> à moins d'un tiers d'unité près. La racine quarrée de 6 tombe donc entre § et f ; la valeur de cette racine est donc f , à moins d'un tiers d'utiité près.

073. n n'existe pas de méthode |e'nërale, pour juger à l'inspection- d'an nombre', si ce nombre est tin quarré; mais on peut souvent reconnaitr$ t/u'unnombrc n^est poê un quarr^. JVoits allons donner Ut cutACràizs auxquels on peut juger h ^inspection fPun nombre , que ce nombre n*est pas un quarré exacU

D* À L G È B 1 E; Sgi

674* Çifi<' ^ premier ehifre h droite d*un nomhre est 5^ tes deux première ehifreek droite du <f narré de ce nomhre , valent a5. En effet ; la tMne confeiMint un oert^n nombre de dûuûneit et 5 nnite'si le qoané coa* tiendrai i* le qnarrë de ces dixaines , qoi sermdes centaines, a^ cet dixaines, ■Mldpliëes par deux fois les unités on par 10 , 'ce qni donnera des oentaineV; ^ le qoaraësS des nnités. La somme "de ces trois parties composant^le ^nanrë» on Toit qpe le qnarré contiendra un certain nombre de centaines, ploi ji5 wlifiés ; ce qui démontre le principe énoncé.

67S. Longue le premier ehifre à droite d^un nomhre étant 5 » le ê90ond n'est pas 9, ee iiomftri ne peut pas être un guarré ( n« G74 )•

Sj&, Quand le premier ehifre à droite tPun nomhre est un des nomhreê '^9 ^9^t^\ ee nomhre ne peut pas être un guarré^ car en examinant lea qnarrés des nombres d*un seul chiffre , on Toit que le premier cbiffkjs à droite de chacun de ces qnarrés, est un des nombres i , 4» ^ > ^» 9 , «t le |»emier chlfire à droite du qnarré est nécissairemenr le premier, chiflfre à droite da qnarré des unités de la racine.

677. Idirsqv^en partant de la droite d*un nombre , U premier ehifre ei§n^ieat{f est précédé d^un nomhre impair de eéros, ce nomhre ne peut pas être un quarré, S» effet | si ce nombre était le qoarré exact d'un nombre 6; le premier chiffre à droite de h serait nécessairement un zéro ; ee nombro serait donc de la foime c X 10", ( c désignant un nombre dont

. • le premier chiffra, à 'droite n'est pas zéro ). Le quarte de 5 serait donc c'Xio'*. Mais le premier chiffre k drpite de e* n'est pas zéro' 9 5* serait donc terminé par un nombre pair de zéros; ce qui est contre l'hypothèse; le principe est donc démontré.

678. La racine quarrée d'un nombre entier ne peut pas être une fktctioi» ( ne 663 }; par conséquent » lorsqu*après avoir trouvé le ehifre des unités de la rmeine d'un nomhre entier ( n9 65a ) , le reste n*est pas téro , la

'fmeina est ineommênsurahle. Cette propriété conyient ans racîiies de tous • les degrés.

679. La racine quarrée d^un nomhre entier ne peut pas être expriméep<ar une fraction décimale périodique, cuf cette firaction est éqniralcnte h une firaction ordinaire ( A. 5«.ne» 9a et 95).

680. Un nomhre f qui contient un nomhre impain de décimales y ftr

l^eiit pas être un quarré ( n« 655 )*^ Par exemple,, le nombre a|5 ne peut

■ . être un qnarré. Et -en effet, la racine de a|5 ou^ de — , eu.égile à — =r*

/ 681 • Quoique les deux termes d^une fraction ne soient pas des

quarrés f la racine quarrée de cette fraction peut'néanmoins être exacte.

Ainsi, 8 et 18 ne sont pas des- quanés^, et cependant la racine quarrée de-

-^ têtr exacte,, car -.5 =: 3, efla racme quarrée de - est s* y Jto 10 9 * 90

66a. Pour que la racine- quarrée d^une^ fraction soit exacte ^:U faut:

icfl ' € L 36 M £ W^

tiwb Us deux termes de ia fraction irréductible , qui est ég<ale k U fraction proposée^ soient des quarrés. £a effet \ ti d représente, le plus ^aaà

comiiraii dÎTiieor entre les deux termes d^ane fraction "^v <mi awa

Loriqae les nombres 1^ ettf se seront pas des quarrës, il 7 en aara an moins nn des deoz dans lequel nh nombre premier p sen oontenn 1» nombre impair de fois \ mais b et a sont premiers entre eoz ; ha contiendra donc nn nombre impair de facteors égaux à p; 6a ne ponrra donc '^|>as être nn qnarrë , car tons les facteurs de la racine entrant deux foii

dans le çpiarré; -^ — sera donc incommensurable; la racine de la fisc

tion irréductible -, sera donc in^iommenWable. Ce cpii démontre le

principe énoncé.

. 683. n r^uJte de la démonstration précédente , que le produit de deux nombres premiers entre eux, ne peut jamais être un guarré,

684* En général, lorsque dans une fraction , le produit du numéraiear 'par le dénominateur est un quarré^ la fraction est un quarré, et quatid ce produit n*est pas un quarré, la fraction n'est pas un quarré. Ea effet; on a

tf^«»' ^ a ^^ a

'Et Ton ^t que suivant qne ah sera ou ne sera pas un quarré, ^— — scia

commensurable ou incommensuràUe.

Remarque, Lorsque ab n^Àt pas un qaarré , en calculant la racine qoarrée ' de ab, à moins d'une unité près , et désignant cette racine par « ; la fraction—> exprime la racine quarrée de-» à moins de * d'unité pris-

685. Les proprifétésque nous Tenons dVtablir, (no« 674* • • • > 684* ) conduis cent à cette règle générale : tout nombre terminé vers I0 droite par l'un des chiffres a, 3, 7, 8, ou par un 5 qui n*est pas précédé du chiffre 2, ou par un nombre impair de kéros ou de décimales, n'est pas un quarré; sa racine est donc incommensurable. H en est de même ePune fraction dont le produit des deux termes n'est pas un quarré.

Extraction de la racine quarrée des çuantités

littérales.

686. Les règles précédentes suffisent pour mettre en étatdt calculer les racines exactes on approchées de tous les nombres.

Occupons-noiis de la aolation du même problème sur les quan* tirés littérales.

Les trois parties qui composent le quarré d*un nombre entier , étant confondues dans le quarré , on a éprouvé quelque difficulté pour revenir du quarré à la racine , et cette opération a exigé des tâtonnemens asses nombreux. Il n'en est pas de même lorsque les quantités sont littérales » parce que les parties qui composent le quarré étant toujours en évi-' dence » on peut revenir du quarré à la racine , sans aucun tilftonnement. La division a offert les mêmes propriétés ; car la division numérique exige des tâtonnemens auxquels la division littérale n*est pas sujette.

L'extraction de la racine des polynômes , dépendant de celle des monômes , nous commencerons par cette dernière^