PREMIÈRE PARTIE

Ordre le plus naturel à assigner aux découvertes^

PREMIERE EPOQVE.

Origine et progrès de V Arithmétique.

Dans les temps les plus reculés, les hommes, stî-* mules par le besoin , durent se livrer au commerce : les 'calculs relatifs aux échanges , firent successivement éclore , les notions élémentaires de VArith^ métique y la numération^ V addition et la soustrac^ iion. Les progrès du commerce conduisirent à des questions de plus en plus composées ; et pour simplifier les calculs , on inventa la multiplication et la division. Ces quatre règles réunies , composèrent V Arithmétique proprement dite ; car l'objet de cette science est d'effectuer toutes les opérations possibles sur les nombres.

JSP époque. Origine et progve§ de V Introduction^

Le moyen le plus naturel de résoudre les problèmes , fut de combiner les quatre règles de FA-^^ rithmétique. Ces combinaisons variées durent conduire à des problèmes de plus en plus compliqués; leur, ensemble compose V Introduction à V Algèbre.

in* ÉPOQUE. Origine de la i^' partie de P Algèbre.

Ces solutions, simples et variées, suffirent pendjgyit long-temps j mais ensuite, les progrès successiÊk

PRÉLIMINAIRE; îîj

de la civilisation^ conduisant à des questions déplus en plus compliquées, on sentit la nécessité d'inventer des signes particuliers , pour simplifier l'écriture des calculs. Telle est l'origine la plus probable de FAlgèbre. Cette science n^est qu* une écriture abrégée, qui rapprochant les pensées , donne plus de facilité pour en saisir l'ensemble. Les solutions des problèmes les plus compliqués , n'exigeant que l'emploi des quatre règles, on dut, pour les indiquer, inventer quatre signes ; et comme l'expression des conditions d'un problème , conduit en général à des combinaisons de quantités connues et inconnues^ qui doivent être égales ; on adopta le signe d'égalité. Enfin le besoin d'écrire continuellement les quantités inconnues , conduisit à les représenter par des caractères particuliers. Tels furent les signes algé^ briques employés, pendant plusieurs siècles, pour résoudre les problèmes. Ces signes changèrent souvent de forme , mais leur nombre dut rester invariable. Ces nouveaux instrumens, dirigés /par des mains habiles , fournirent les solutions d'un grand nombre de problèmes. La réunion de ces problèmes compose la premièi^ Partie de mes Elémensd'jilgèbre.

IV* ÉPOQUE. Origine de la 2* partie de FAlgèbre.

En comparant entre elles les solutions des problèmes , qui se déduisent d'un même énoncé en ne changeant que les valeurs numériques des quantités connues , on dut s'appercçvoir qu'il fallait continuellement répéter les mêmes raisonnemens et les mêmes opérations. On chercha donc à comprendre toutes

PRELIMINAIRE. v

cbîrent pendant près de trois n^ille ans y nous ea dérobe l'origine. La trace de leurs premiers pas^ eflTacëe par le temps ^ semble se perdre dans la nuit produite par Faccumulation des siècles ; et nous en . sommes réduits o^ux conjectures. Dès rorigine du Monde , les hommes ^ stiipules par le besoin y. dù^ rent s'occuper du calcul ; les révolutions successiycft gui produisent ^ perfectionnent et détruisent alte:-^ Hâtivement les sciences , ont dû, changer plusieurs fois la &ce des Mathématiques ; nous ne sommes peut-être pas encore parvenus à ramener VAnaljrse à son ancien degré de splendeur ; après avoir Êiit des progrès , eHe a peut-être été plusieurs fois détruite. Mais sans nous, perdre dans des réflexions affli*^ géantes y consultons les traditions les plus reculées-^ et jetons d'abord un coup-d'œil rapide sur lé passé ; nous verrons le Génie des Mathématiques , parcourant la surface de la terre , successivement protégé et persécuté par les mêmes peuples , marchant avec rapidité , sWrêtant et rétrogradant même quelquefois. Nous le verrons parcourir YÉgypte , la Chaldécy ; la Grèce y \ Arabie , la Perse- j V^Espagne y \ Italie j V Allemagne , la France- , et V Angleterre. Nous verrons les Géomètres , d'abord proscrits , protégés ensuite , et enfin condilés d'honneurs. On a reproché aux Mathématiques d^arréter la nurche dix* génie ; mais celui çpiï réfléchit repoussé cette opinion ; car cette science , étant celle de la vérité^ nepent arrêter que les écarts dfe l'esprit. Si ïétudè des Elcmens refroidu d'abord l'imagination^ les combinaisons variées de ces Elémens exercent ensuite l'esprit^ Je

PREMIERE SECTION

vii'j DISCOURS

virent, n'offrent aucuns noms célèbres. Le philosophe Platon (i) cultiva les sciences exactes avee succès ; on lui doit la théorie des sections coniques. Ses disciples, Aristée , Eudoxe , Menechme , Di NO STRATE , ctc. , perfectionnèrent cette théorie, €t lui donnèrent le nom de Géométrie transcendante^ Platon , persuadé de Futilité des Mathématiques , avait mis sur la porte de son école : Que nul n entré ici s^il ri est Géomètre. Menechme parvint à résoudre le problème de la duplication du cube , en combinant lés propriétés des sections coniques , avec celles des progressions géométriques. Cette solution fut la source de Fimportante théorie des Lieux géo^ métriques et de Y^inalyse géométrique.

Le^ profond Euclide (2) marqua une époque bien supérieure aux précédentes. Ses ouvrages sublimes sont les foyers de cette lumière vive , qui s'est propagée jus<pi'à nous dans toute sa pureté. Il eut la gloire dcleter la Géométrie à son degré de rigueur actuelle , et fit un grand usage de la dé-monstration par t absurde. Ce genre de démons- , tration , qui a l'avantage de convaincre de la vérité > •a rincouvénient de ne pas faire voir comment on a été conduit au résultat ; souvent , les démonstra* lions deviennent longues et indirectes; les élève» les suivent avec peine. On raconte à ce sujet , que Ptolcmée Philadelphe , arrêté par ces difficultés , demanda à Euclibe s'il ne pourrait pas aplanir la

(i) 390 ar.s avant J.-C. . '

^a) 5^0 ar.s ayant J.-C*

1 PRÉLIMINAIRE. îx

ff nmte en sa&venr ; le Géomètre philosophe répondit f avec franchise : Non , prince , il ri y a pas de che-^ min particulier pour les rois. Vers cette époque , ÉaATOSTHENK (i) acquit de la célébrité y en donnant une méthode pour découvrir les nombres premiers ; cette méthode est connue sous le nom de Crible

/ËRATOSTHENE.

Leméme siècle vit paraître le grand Archimede(:2); cet homme extraordinaire enrichit les sciences et les arts ^ de nombreuses découvertes. On lui doit le premier rapport approché du diamètre à la circonfé^ rence. La méthode qu'il emploie est extrêmement ingénieuse ; on peut la regarder conmie la source et le modèle des procédés employés par les mo-« demes. La Mécanique et l'Optique lui doivent une partie de leurs richesses ; il résolut le fameux problème de la couronne du roi Hiéron y et parvint à déterminer les proportions d'or et d'argent contenues dans cette couronne. Archimede rendit de grands services pendant le siège de Syracuse. Il incendiait les vaisseaux des Romains ,avec desi^^m^^ ardens. Ses machines contribuèrent à prolonger la défense de la place ; on dit qu'interr(^é sur leur force, il répondit : Donnez-moi un point Jixe et J0 mettrai le Monde en moui^ement. Son ingrate patrie oublia bientôt ce grand homme. Ce ne fut que deux siècles après sa mort, que Cicéron rendit une se^

(i) 280 ans avÂit J.-C.

(a) s5o ans ayant J.-C

X DISCOURS

€ondefois Archimède à la lumière y endéconvra son tombeau sous un amas de ronces^ dans ui campagne voisine de Syracuse. Les deux plus gran< Géomètres de l'antiquitë se succédèrent avec rap dite; cinquante ans après Archimède , on vit p raître Apollonius (i). Ce célèbre Mathématicû commenta Euclide , et composa un grand noncib d'ouvrages sur la Géométrie transcendante. 11 gén ralisa la théorie des sections coniques; et résolut i grand nombre de problèmes sur les maxima et 1 minima. Ses solutions sont admirables par leur él gante simplicité.

Les Mathématiques languirent ensuite penda cinq siècles. Ce fut cette longue nuit qui précét l'aurore de FAlgèbre ; vers l'an 35o de l'ère chr< tienne , le célèbre Diophante (2) publia ces oi vrages précieux qui renferment le germe des pr xnières notions de l'Algèbre. Son imagination vi^ créa des problèmes d'une nouvelle espèce , et 1 fournit le moyen de les résoudre par des artifices i «calcul très-ingénieux , qui ont beaucoup de resseï blance avec les procédés algébriques découvei parles Arabes ^ ses successeurs. Ces problèmes coi duisent à des équations déterminées et indéterminé du premier et du second degré; il écrivit trei livres sur cet objet. Le temps n'a respecté que I six premiers, La perte des sept derniers est d'aï

(1) îioo ans avant J.-C.

(3) Né Tan Sao de Tère chrétienne;

PRÉLIMINAIRE. ^J

hmt |ihis afiligeante y qu'elle nous a probablement fnYeÊt de la partie la plus importante de Fou* rage.

Cette heureuse impulsion fit £ûre un grand pas «a sciences. Pendant près de mille ans y Tëcole ^Alexandrie leur servit de sanctuaire. Un grand nombre de commentateurs^ complétèrent et perfec-* donnèrent les méthodes de Diopuante. La célèbre et malheureuse Hipathia (i) fut de ce nombre; i^vès avoir. médité les ouvrages de Diopuante y elle enseigna les Mathématiques dans la fameuse écolo d'Alexandrie y et obtint des succès mérités ; mais victime de Tenvie ^ elle fut massacrée par le pen|de.

Ce trait de cruauté fut comme l'éclair précurseur deVorage afireux qui se formait contre lesMathémati* ques. La foudre, lancée par les Arabes y embrasalemo- Buinent des sciences; les richesses immenses accumulées pendant dix siècles dans la fameuse bibliothèque de l'école d'^/exa/i^r/e, devinrent la proie des flammes (2Î).làes Géomètres, rassemblés dans cette école, furent persécutés et dispersés. L'arbre des sciences, desséché par cet affreux incendie , languit pendant plusieurs siècles. Mais enfin les Arahes , fatiguéspar des guerres continuelles , abandonnèrent les armes, pour s'occuper de nouveau des Mathématiques , qu'ils avaient' anciennement cultivées avec succès* Leurs Califes et les Rois de Perse encouragèrent les

(i) Vers Tan ^\o.

(2) L*an €41 vit cet affreux désastce;

xîj DISCOURS

savans; et pendant trois siècles , ce peuple , jadis dSf barbare 9 fit ses efforts pour rendre aux scienceif-^ ce qu'il leur avait ravi ; il perfectionna les no^ lions d'Algèbre , répandues dans les ouvrages dri^* DiopHANTE , et donna a cette science le nom qu'ell«[J^"' porte. On croît même que les ^mie^ parvinrent ir^-' résoudre des problèmes du 5* et du 4* degré. La so-*^ lution complète de ces problèmes , ne parut qua '^ dans le cours du i6* siècle. *'^^

Les progrès des Mathématiques chez les Arabes^^^ attirèrent les savans des différentes contrées. Le cé-»-^ lèbre Gerbert (i), qui fut ensuite Pape sous le'^ nom de Sylvestre H, et Léonard de Pise (a) , y 'puisèrent la connaissance de l'Algèbre , et répan-r ^ dirent leurs lumières sur l'Italie. Ce dernier com- IP posa des ouvrages qui ne sont pas parvenus jusqu'à ^ nous. Les Maures y maîtres de l'Espagne, cultivaient ^' les Mathématiques avec succès et instruisaient l'Eu- '"^ rope , lorsque la prise de Grenade par les Espa^ gnols j en 149^ > vint porter un coup Ëttal aux • sciences.

Les Persans , ayant secoué le joug des califes (5)^ se séparèrent des Arabes. Ils continuèrent à cultî-»ver les Mathématiques et perfectionnèrent Y Algèbre y la Géométrie , et surtout V Astronomie. Le docteur persan Nessir , composa des ouvrages trèsr-estimés; tes Commentaires sur Euclide y iiqprimés en 1 5ga j^

tm T

(i) Vers Fan 9S0.

(fi) Vers l'an laoo.

(3) Vers l'an loSow

Ï>IIÉLIMINAIRE. riij

fenfermeht des recherches curieuses ; ils sont écrits en Arabe, Les Géomètres persans les plus connus , sont Nassir-Eddîn et Maimon-Reschzld. Us s'adonnèrent particulièrement à perfectionner les Elé^ mens ^/'Eucude. On croit que les Persans possèdent des ouvrages grecs que nous ne connaissons pas.

Les Arabes rendirent un service signalé aux scien** CCS, en réduisant la Trigonométrie rectiligne à un petit nombre de principes , et remplaçant les cordes des arcs par les ^//zi^. On attribue ces théories à deux Géomètres célèbres^ Mohammed-Ben-Musa et G^ber^ Bin-Aphla. Ce dernier vivait dans le ii* siècle. L'Histoire ne nous a pas transmis l'origine de la TV^gonométrie rectiligne ; les Egyptiens et les Grecs en» firent probablement usage pour mesurer les distances entre des objets inaccessibles. La Trigonométrie tphérique prit naissance Fan 55 de l'ère Chrétienne; vers cette époque , MÉNÉLAiis publia un très-beau Traité des Triangles sphériques. Cet ouvrage prouve que l'auteur était très-profond dans la Géométrie.

Dans le même temps , les Indiens et les Chinois

observèrent les astres avec une patience admirable ,

mais sans aucun résultat important. Lesatltres parties

des Mathématiques languirent chez ces peuples. Les

Chinois , prétendus créateurs des élémeus des

fciences , n'ont pas su les perfectionner. L'empe-*

KoBiLAi (i), cinquième successeur du fameux

isghis-Kan , fit tous ses efforts pour hâter les

i II I

0) Vers l'an 1370.

3SÎT DISCOURS

• • • ip

progrès des sciences exactes ; il établit y coitiniq

chef du tribunal de Mathématiques , le laboriemi.

CocHEON-RiNG , qui perfectionna l'Astronomie ^ rtT

£t des observations d'une exactitude jusqu'alorif

inconnue, \ '

Le feu, qui embraça la bibliothèque à'jélexandHe^"

éclaira la Grèce pendant quelques instans.. Les sa-î

•vans , dispersés dans cette belle contrée , y entretin-*

rent d'abord le goût des Mathématiques ; mais leva»

successeurs, effrayés par le bruit des armes ^,i)e

furent que de médiocres compilateurs. Enfin ^ vert

l'an 1420, le moine grec, EnunanuelMoscovvut^ e^t

l'ingénieuse idée des quarrés magiques. Les mo-*

dernes en ont tiré un grand parti ; Moscopide, fiitle

dernier Mathématicien de la Grèce. La prise de

Constantinople , par Mahomet II^ chassa les science^

îde ce pays. .

Les Mathématiques , persécutées dans la Grèce f

vinrent se réfugier en Italie ; et se répandirent ensoiter

dans la France ^ Y^ingleteire et Y Allemagne. La fia

du i4* siècle vit paraître le premier traité d'Algèbre

imprimé en Europe ; cet ouvrage , dû à Lucas de

Burgos , comprend la résolution complète, des

équations du second degré ; mais on n'y trouve

aucunes traces des découver tes des Arabes , sur les

équations du 3* et du 4* degré. Les Mathématiques

firent alors .des progrès rapides en Italie; l^s savans

de cette heureuse contrée parvinrent à résoudre

généralement les équations du 3* çt du 4* degré. Ces

théories importantes parurent pendant le 1 6* siècle.

^A croit que Ffinufii trouva le premier les formules

PRELIMINAIRE, qui donnent les racines des équations da

àegré , en Jonction des coefficiens. Trente ans après, Tabtagua (i) prétendit qu'il ayait trouvé da ion côté la demonsbration de ces formules. Enfin ^ CiRDAK (2) y aidé de son élève Ferrari y publia cette découverte en i545. Ces singulières discussions nous 'cachent le véritable inventeur. Peu de temps après ^ FxRRAia, plus heureux que son maître ^ eut la gloire^ toute entière ^ de résoudre généralement les équations du 4* degré. Il posa ainsi la dernière borne de la résolution générale des équations ; car ses successeurs n'ont pas pu passer outre. Cardan n'avait pas assigné la nature des racines dans le cas irréductible^ Le Bolonais Bombelli fut le premier qui démontra que ces racines étaient réelles ; mais il ne put les obtenir sous une forme réelle et finie ; sa dé-* monstration parut en iSqS y dans son Algèbre. JUUiTROLic (3), profond Mathématicien , publia vers cette époque , des méthodes ingénieuses pour som^ mer les séries.

La France , jalouse de la gloire de V Italie , produisit le célèbre Viete (4). 11 changea la face de l'Algèbre , en introduisant l'usage des lettres de l'alphabet , pour représenter les quantités connues et inconnues; il en déduisit des formules générales.

(1) Né en 1479 ? ™^^ ^^ 1657.

(a) Né en i5oi , mort en 1676,

(3) Né en i494 1 ^^^ ^" 1S7S.

(4) Né en i54o, mort en iGo3.

XV) - DISCOURS

qui ont le grand avantage de présenter le ialblem? des opérations à faire sur les données , pour en dé* >^ duire directement les inconnues. Avant lui , les ' données étaient des nombres ; les valeurs des incon-^ nues ne conservaient aucunes traces des opérations ' faites pour les obtenir ; de sorte que pour résoudre ■ tous les problèmes de même espèce , il fallait continuellement répéter les mêmes calculs. Viète augmenta ses titres à la reconnaissance de la postérité* 69vante , en posant les fondemens de la théorie gé^ nérale des équations. Par un effort de génie, vraiment^ admirable y il parvint à résoudre les équations xlu^ mériques de tous les degrés ; il donna des théorèmes ^ remarquables sur les racines des équations , et terxnina sa glorieuse carrière y en donnant une méthode nouvelle pour résoudre les équations des quatre premiers degrés.

Les Anglais y electrisés par l'exemple de hiFrance et de V Italie , se mirent sur les rangs. Ils enrichirent l'Algèbre de nombreuses découvertes. Néper (i)^ profitant dès idées de Ramus (2) et de Tartauea , inventa les logarithmes ; il en composa des Tables* Briggs(5), et ses contemporains Gelibrand., GuNTHER , Wlacq , ctc. , perfectionnèrent le travail de NÉPER. La découverte des logarthimes rendit le plus grand service aux calculateurs, et surtout à

(i) Né en i55o , mort en i6i8.

(a) Né en i5o2 , mort en 157a.

Ç3) Né en i55G', mort en i63o.

Î^RÉLIMINAIRE. xvîj

noinie. Hariot (i) simplifia la notation de

ike; il imagina de &ire passer tous les termes ime éifuation dans un seul membre y et décomposa ks éijoations en Êicteurs ; il réunit dans son ouvrage tait ce qui était connu^ et augmenta cette précieuse edlectîoïi ^ de théories nouvelles. Il apperçut les relations qui existent entre leà cœfficiens et les Mcines des équations ; ce qui conduisit à la résolutbn de plusiieurs équations d'une espèce particulière. Bachet de Meziriag (2) généralisa les médiodes deMoscopuLBf pour la formation des quarrés WÊOgiéfues. Il commenta Euclide ^ et résolut des pro« Uèmes intéressans. Fermât (3) perfectionna l'analyse indéterminée de Diophante y il découvrit les propiétés les plus importantes des nombres premiers y et surmonta de grandes difficultés.

Les sciences exactes y cultivées avec enthousiasme dans toutes lels parties de l'Europe civilisée y s'enrichissaient de récoltes abondantes y lorsque le célèbre Descartes (4) se couvrit d'une gloire immortelle , en finayant la route à suivre dans la recherche de la vmté. Appliquant sa méthode aux Mathématiques ^ il leiu* fit faire des progrès rapides. Sa notation des exposans jeta un nouveau jour sur l'Algèbre , en fusant disparaître un grand nombre de signes inutiles^ qui compliquaient les calculs et fsitiguaient la

(1) Né en i56o , mort en iGai.

(2) Né en 1677 , moft en if>!^8.

(3) Né en 1690 , mort en i6j3.

(4) Né en 1696 , mort en x65o.

ivîîj DISCOURS

mémoire. Avant lui , les diverses puissances dNim même quantité , étaient représentées par des lett différentes ; ce qui jetait beaucoup d'obscurité si l'écriture algébrique. Il créa la méthode ingénieui dejs inâéterminées y si utile dans toutes les parties diè^;l'aiialyse y et l'appliqua à la résolution de ^équatïoli^^ générale du quatrième degré ; il décomposa cett^ , équation en deux facteurs du second degré y affee^' té& de cçefficiens indéterminés ; l'identité du produit^^ ; de ces facteurs avec l'équation proposée , fournit les^ xaleur^ de&coeffîciens indéterminés. Les remarques^;. . de I>E&GAÂTfis ,' sur la nature des équations , prépa-^^^ sèrent lés Recouvertes modernes. Il interpréta le. . premier y te véritable sens des racines négatives y eCr donna une vègle pour déterminer le nqmbre des; racines positives et négatives d'une équation quelconque y dont toutes les rax^ines sont réelles. Cette règle &t long^temps combattue ; mais la- démonstra* tion générale que l'abbé de Gua en a donnée^ a levé tpus. lies doutes: L'imagâ^aliion vive 4e Bescartss lentiraina dans des erreurs sûp la FMlosophie i maiS' c^ erreurs furent utiles aux hommes ^ en renversiti^ les idiées superstitieuses d'Ai^srpoTE.

« L'ingénieux ' CAVALEiiî (•*) simplifia Fétude de la Géométrie par sa méthode des indivisibles y publiêeen 1.655. U considère les surfaces comme formée^ d^ime infini!^ de lignes droites., et les solides comme la somme de surfaces; qequi. ft'est pas: ti:ès-crx^tf

(i) Né en iSgS , mort eiti647.

PRELIMINAIRE

RoB^KYAL (i) présenta cette méthode d une manière pins rigonreuse^^ en considérant des élémèns înfiment petits de surfaces et de solides. Les ' démonstrations Pbt les infiniment petits^ conduisent avec i^iditë au résultat y et éclairent la marche' des* in^* Tenteurs^ mais elles laissent des- doutes dans l'esprit des commençans^ qui ne sont pas encore: asse& exercés pour en saisir la véritable métaphysique. Les infiniment petits de^ difierens ordres y qui disparaissent les uns devant les autres y jettent de Vahscorité sur les raisonnemens. Il semble que les rér saltats que Ton en déduit ne sont qu'approchés. Ces con|idératiôns ont engagé les modernes^ à revenir à la Géométrie d'EucLiDE. To'rricelli (ù) résolut des problèmes intéressans sur la Cjrcloide y mais accusé injustement de plagiat ^ par Roberval ^ il en mourut de chagrin.

Albert GiKÀRD et Hudde (3) perfectionnèrent la théorie des équations. Ce dernier publia en 1 658, une méthode pour trouver les racines égales. Wallis (4) simplifia le calcul des mdicaux , en les remplaçant par des exposans fractionnaires ; il introduisit les exposans négatifs ; son Arithmétique des infinis , publiée en i655, éÉf.reihplie de vues profondes. Le lord Brouncker Ji5) , donna les élémens de la théorie des finctions continues.

(i) Né en iGoa ; mort en 1675.

(2) Né en 1608 , mort en 1G47.

(3) Né en i6i5 , mort en 1704. ^i

(4) Né en 161G , mort en 1703.

(5) Né en 1620, mort en i684-

« • DISCOURS

Le vertueux Pascal (i) , si célèbre par ses Lett Proi^inciak^ et ses Pensées j donna la première idé du calcul des probabilités ; il résolut des problè intéressans sur la Roulette et les jeux de hasardjk son fameux Triangle arithmétique fraya une routfj nouvelle à l'analyse. Accablé d'infirmités^ il parvinf cependant au premier rang parmi les hommes àMB^ lettres et les Mathématiciens.

Le célèbre et modeste HuGUENS {pt) perfectionna le Calcul des probabilités de Pascal ^ daos un Trâitd qui parut en lôSy ; il e^irîchit la nouvelle Géométrie de la belle théorie des déi^eloppées . Barrow (3) •* prépara la découverte de Vanaljrse infinitésimale.^. en formant son triangle différentiel , pour mener leit tangentes aux courbes. Sa méthode est celle dç^ Fermât , abrégée et simplifiée. '.

Les Mathématiques y accablées sous le poids des richesses immenses accumulées depuis plus de vingt siècles , s'arrêtent un instamtt Mais Newtow (4) parait; son vaste génie embrasse toutes les connaissances humaines , les rassemble , et s'appuyant sur cettç énorme masse , il s'élance^ans l'avenir , en s'eniparant du germe précieux des découvertes futures^ Son Livre des Principes et son arithmétique uni^ uersellcy chefs-d'œuvres de l'espnt humain , furent des foyers de lumière qui éclairèrent la marche ra-*

(i) Né en iSaS, mort en 16G2.

(s) Né en i6^5 , mort en 169 S.

(3) Né en iGSo , mort en 1677.

(4) Né en 1642 , mort en 1727.

PRÉLIMINAIRE

e des scfîences. L'imagination active de cet homme •nnant^ s'exerça sur la résolution générale des dons de tous les degprés, et parvint, à en dé- ,~»*Tir \es facteurs commensurables ; il exprima les . des puissances des racines en fonction des iens ; nous lui devons la théorie générale de ^élimination et la célèbre Formule du Binôme. U uva les séries à l'aide desquelles on peut approy autant queFon veut^ des racines des équations es et numériques de tous les degrés, etc. Btînuellement occupé de nouvelles recherches , EWTo-Ef ne put pas donner à ses méthodes les dé- Veloppemens et la perfection dont elles étaient sus* eeptibles ; il énonça plusieurs théorèmes sans les démontrer. Ses ouvrages sur les sciences furent les sources intarissables d'une foule de théories. La Pkfsique et la Chimie lui ont aussi de grandes obligations.

L'heureux Leibnitz (i), livré à ses propres forces y s'élança du fond de l'Allemagne y et parut avec éclat sur la scène. Attiré par la gloire de la France et de l'Angleterre, il visita Paris et Londres; et j acquit de vastes connaissances. U perfectionna là théorie des Suites , et toutes les branches de l'Analyse. Entraîné par la vivacité de son génie, il saisît les difficultés les plus saillantes ; ses ouvrages sont remplis d'idées neuves et subtiles ; mais la multitude de ses occupations ne lui permît pas d'approfondir one foule de sujets créés par lui.

(i) Né en 1646 , mort ea 1716,

xxij DISCOURS ^ ]

Le 17* siècle., si fertile en grands hommes , h jamais mémorable par la naissance du Calcul difl^^ férentiel(i). Cet événemeut marqua une des époque! les plus biillantes de l'Analyse. Deux génies exlrsat^ dinaires. parvinrent en même temps au même but ^' en suivant des routes absolument différentes : voi<^ le fait. Les anciens étaient parvenus à mener deé tangentes a qaelqnes courbes particulières; maïs toast leurs efforts échouèrent contre la recherche d'unes méthode générale. Les modernes attaquèrent UL même question; Descàrtes , Fermât , RoBERVAi*e1? Barrow , firent un grand pas en donnant une mé— ! thode uniforme pour mener les tangentes aux courbes..^ géométriques. Mais la gloire de la solution générale.! du problème étaitréservée à Leibnitz et à Newtow.' : Le premier la trouva en 1684; il donna des règle» générales pour differentier , et commença le Calcut intégral. L'an 1686 , Newton , qui pouvait ignorer ces nouvelles théories , inventa sa méthode des ^fluxions yCpLi a beaucoup d'analogie avec \ Analyse infinitésimal^ de Leibnitz ; mais le voile épais dont il couvrit cette méthode ^ en cacha long-temps le vrai mérite. Les frères Bernoxjlu (2) et Huguens

* l"' Il I I -M il- I .11

(1) Là découverte du Calcul différentiel excita un procès célèbre entre LEIBNITZ et Newton. On en peut voir les détails dans Vexcellente Histoire des Mathématiques , do Sqssvt (auteur vivant).

(2) Jacques BernoullÎ , né en i654 > "^^rt en 1705, Jean Bernoulli , né en 1667^ mort en 1748. Daniel B&RN0VLU , ué en 1700 , mort en X78i^,

PRÉLIMNAIRE xxiij

ndèrent Lxibic itz ; la noble rivalité qui les excitait, hâta les progrès rapides de F Analyse. La puisâsnce du Calcul différentiel surmonta une foule iVxbstacles qui avaient arrêté les Anciens ; les pro- JUèmes les plus difficiles furent résolus , et la 'jScience changea entièrement de £ace«

Ces nouveaux calculs n étaient connus que d*un ipetit nombre de Savans, lorsque le Marquis de XKopiTiCL j(i) publia son Analyse des infiniment ^iits, en i6g6. Cet Ouvrage sublime fut accueilli avec transport dans toute l'Europe ; et les Géomè- Jies, aidés de ce nouvel instrument, perfection-^ lièrent toutes les branches des Mathématiques. 'KoxvRS ( il ) compléta la Théorie dès Jeux de hasard^ et donna les Elemens des Suites récurrentes. £q 171 1 9 MoNTHORT (5)' publia \ Analyse des Jeux de hasard ; cet Ouvrage est rempli de vues ; fines et profondes. Tavlor (4) y ami de New^ton , lendit un service signalé aux Sciences exactes ^ en donnant les premiers principes du Calcul intéfftd aux différences finies ; il en déduisit le moyen de sommer des suites très-curieuses y et publia le £aneux: théorème qui porte son nom. L'obscurité qui règne dans. ses ouvrages^ en caeha d'abord le vrai mérite ; mais Nicole (5) , Géomètre français très-

Ci) Né en i66i , mort en 1704.

(2) Né en 1G68 , mort en 1754.

(5) Né en 1678^ mort en 1718.

(4) Né en 1 685 , mort en 1731.

(5) Né en i683 , mort en 1758.

xsbr DISCOURS

distingué , développant la méthode de Tayloh avec clarté y en fit sentir tout le prix ; il ajouta plusieurs séries de son invention.

L'exactitude des nouveaux calculs était vérifiée par Vexpérience ; mais les principes sur lesquels ils reposaient , n'étaient pas rigoureusement démon* très. Le célèbre Lagrange(i) vient de dissiper tous les doutes y en présentant la véritable métaphysit|ue du Calcul différentiel , dans ses Fonctions analjr^ <iywe^. ijGette gloire était «ïréservée à l'homme étonnant qui débuta dans la carrière par la découverte du Calcul des y aviations; sa Résolution des^Êqiia* fions numériques fixera les regards de la postérité.

La noble lutte qui s'éleva entre Lkibnitz et : Newtoiv , au sujet du Calcul infinitésimal; les 7 nombreux défis proposés par leurs partisans , enrî- A chirent la Science de théories sublimes ; et le choc ^ des opinions fit jaillir ces étinceUes qui end)rasèreitt ^ l'Europe savante. La rapidité des progrès de toutes î les conniâssances humaines^ pendant les deux siècles « que nous allonsi parcourir , fiit le résultat de cette f discussion. Les Sociétés savantes y fondées dans les > difi*érens pays (s) , concentrant les hunîères des plus grands Géomètres y furent autant de foyers qui répandirent leurs rayons sur toute l'Europe.

(1) Auteur vivant,

(2) On fonda la Société Royale de Londres en 1660, Y Académie Française en iS6'6\V Académie de Berlin en 1710; V Institut de Bologne en lyiS , V Académie de St:-Pétersbour^ en ijaS , et Y Institut de France en Tan lY.

PIUÊLIMINAIRE.

"^Entraiiié par Tintérét da sujet y je me suis écarté nu instant de la route que je m'étais tracée y en franchissant les deux derniers siècles avec trop de Tsqpidité ; je me hâte de revenir sur mes pas.

La mort de Newton arrêta les progrès des Elé-* mens ; ceux qui s'en occupèrent après lui y ne pip*ent atteindre à la hauteur de V Arithmétique uni^ verseUe. Varignon (i) composa un traité d'Algèbre assez estimé. Haiojby (21) rendit des services signalés a la Géométrie et à l'Astronomie. Cette dernière science fut cultivée avec succès par les Anglais ; HooK (3) donna la première idée du beau Sjrstème de la Gravitation tiniverselle ; ce fut Newton qui assigna la ^ loi de l'attraction. Roemer (4) renversa le système des tourbillons de Descartes y en prouvant que le mouvement de la lumière n'est pas instantané ; il mesura la vitesse des atomes lumineux. Le père Reynavd publia en 1708 , son Analyse démontrée ; cet Ouvrage lui mérita le titre glorieux de FEucLiDE "de la Géométrie transcendante. Il rendit le Calcul différentiel plus élémentaire y et s'attacha particulièrement à développer les Elémens du Calcul intégral y qui ne faisaient que de naître ; il fut long-temps le seul guide des commençans dans l'étude des nouveaux calculs ; il perfectionna les méthodes du Marquis de L'Hôpital.

(1) Né en 1654 , mort en 17 «.

(a) Né en i656 , mort eu 1742.

(3) Né en i655 , mort en 170a.

(iQ Né en 1644 > °^^^ ^^ 1710.

xxvj BISCOUR5

. Ce temps fut fertile ea grands Géomètres ; : on distingue parmi eux. Cotes (i) ^ Ric<iÀTi (3)-, Maclauriw (3), Maupertuis (4), Cramer (5), Fontaine (6) , etc. Ces Sayans enrichirent les diverses parties de FAçalyse. L'Académicien Camus (7) classa les travaux de ses prédécesseurs y dans des Ouvrages qui sont recommandables par la clzjffé et la riguexir des démonstrations.

Tous les esprits , occupés des nouveaux calculs ^ délaissèrent l'Algèbre élémentaire. Cette Science , fatiguée de la rapidité avec laquelle elle s'était élevée dans Vj4rithmé tique ^herselledeTSEYf TOJX , s'arrêta quelque temps ; elle semblait même rétrogradeis^^ lorsque l'immortel Clairaut (8) vintrépandre une lumière nouvelle sur les principes de l!Algèbre ; il les présenta sou& un point de vue vraiment 'philosophique; et guidé par la méthode d'invention, il souleva le voile épais qui couvrait les premiers élémens de la Science. La manie de la plupart des Anciens , était de cacher la méthode tpi'ils avaient suivie ; Clairaut , au contraire y simplifia Tétude , en traçant la véritable route qui conduit aux décoi^-*

(1) Né en iG8a , mort en 171S.

(a) Né en 1690 , mort en lySS.

(5) Né en 1698 , mort en 1746.

(4) Né en 1698 , mort en 1769.

(5) Né en 1704 , mort en 1763.

(G) Né en 1705, mort en 1771.

(7) Né en 1699 > ^^^^ «n 1768.

<8) Né en 1713 , mort 6n 1765.

PRÉLIMINAIRE. xxyîj

yerte$. Sou Ouvrage renferme plusieurs démonstrations nouvelles relatives au Binôme y aux Z>iV/sevrs ^commensurables des Équations j etc. Clair aut perfectionna la resolution générale des équations du troisiènLe et du quatrième degré. Il rendit des ser^ vice» importans à la Mécanique y à l'Astronomie et à la Physique. Ses recherches sur la forme du globe terrestre , et sur les variations théoriques et pratiques de la pesanteur y depuis l'Equateur jusqu'aux Pôles ; ses remarques sur le mouvement des corps célestes ^ etc. , sont des monumens de la puissance de 'Son génie. Cet homme étonnant s'élança de bonne heure dans la carrière ; la rapidité de sa course en compensa la courte durée ; et le peu d^années qu'il vécut ^ lui suffit pour mériter un rang distingué parmi les Savans. Dès sa plus tendre enfigince y sou esprit présenta le phénomène y encore inconnu y de la réunion du feu de la jeunesse à la maturité de l'âge. ^

La Suisse parut enfin avec éclat y en produisant le célèbre Euler (i) ; cet Elève de Jean Bernoullî , annonça de bonne heure ses grandes dispositions ; il n'avait pas encore vingt ans y lorsqu'il donna sa belle solution du Problème des Trajectoires réci^ prùques ; en peu de temps il devint le rival des Géomètres les plus profonds y et rendit un service inappréciable y en introduisant l'usage des lignes trigonométriques dans l'ailalyse. Il en déduisit le

(i) Né en 1707, mort en 1783.

xxviij DISCOURS

moyen d'intégrer un grand nombre de différentielles , d'une forme nouvelle. Il résolut une' foule de problèmes , et perfectionna les méthodes d'approximation. La force jde son génie renversa la plus grande partie des obstacles qui arrêtaient la marche rapide des Sciences. Sa Mécanique y publiée en 17369 est une des productions qui fût le plhs d'honiieur à l'esprit humain. Les Mémoires des Académies de Berlin et de Saint-Pétershom^ , sont des monumens de sa gloire y qui passeront à la ^ postérité. Les recherches d'EuLER dans les Mathématiques transcendantes , ne l'empêchèrent pas de perfectionner toutes les parties des Elémens. Ses ouvrages sont des modèles d'élégance ^ d'ordre et de clarté. On y voit brîîIêîTà^ubtilité de son esprit , dans une foule d'artifices de calcul qui lui sont propres. Ayant perdu la vue ^ il coiifia la rédaction de ses Ouvrages à un de ses Elèves. Son fils , Jean^ Albert Euler (i), acquit de la célébrité; il perfectionna la théorie des Axes principaux de Segner y dans un Ouvrage sur \ Arrimage des N aspires , qui partagea le prix de l'Académie des Sciences de Paris^ en 1761.

L'infatigable Laçai lle (3) rendit des services si-» ^alés à l'Astronomie 9 par des observations exactes €t nombreuses. En lySi , il entreprît le voyage du Cap de Sonne-Espéranae ; il calcula les positions

(1) Né en 1754 > mort en 1800.

(a) Né en 1713, mort en 1762.

PRÉLIMINAIRE

âe plitft de 9800 étoiles , situées entre le Pôk austral et le Tropique du Capricorne. Il fit des remarques importantes sur la hauteur du Pôle y hi forme de la Terre j la longueur du Pendule à secondes ^ les Ré^ fractions y etc. Occupé des hautes Sciences y il n'en dédaigna pas lés élémens ; il rédigea un Cours dé Mathématiques tres^concis y que F^^^e MARisaea^ richi de notés étendues.

Le milieu du iSi* siècle fut illustré par la naissance^ du Calcul inti^fal aux différences partielles. On la. doit en grande partie à l'illustre D'Alkmbert (i) ^* Tun des plus grands Géomètres français y et Auteur 4e la savante Pré&ce de V Encyclopédie. U généralisa ta solt^tion de Tâylor y sur le problème des Cordes vibrantes. Son traité de Dynamique y publié en I ^4^ 9 mérite les. plus grands éloges ; il renferme ce Êuneux principe à Taide duquel toutes les questions sur le mouvement y sont ramenées aux lois de l'équilibre. En x 746/ D'Alembert remporta le prix de l'Académie de Berlin y au sujet dé la cause géné^ raie des vents. U en trouva la principale cause dans les attractions de là Lune et du Soleil.

Bezout (:i) à xorrtposé des Cours- de Mathéma^ tiques justement estimés. Ce sayant contribua puis-' samment aux progrès des Elémens , et de la Théorie des Equations^ Gousin { 5 ) publia plusieurs ouvrages. On leur reproche un peu d'obscurité , pro-^ duite par le défj^iut d'ordre. •^

(1) Né en 1717, mort en 1785.

(u) Né en 1730, mort en 1783.

(3) Né en 1739^ mort en 1801.

XXX DISCOURS

Nous touchons à l'époque fatale de cette revoîu-^ tipn^qui enleva tant d'hommes célèbres à la France; le .malheureux CoNDORCET (i), doué d'un grand ^ent pour l' Anj^lyse . enrichît le Calcul intégral de théories xnouYellesj mais entrainé par la tourmente rçYplutionnaire'j il. se livra aux ai]scussions politiques , et ne put éviter Téchiafaud qu'en se donnant la mort. r „,-.... . - .

tie$ nombreuses découvertes d Euler , de X^ a?- , CHANGE (3) y. de Laplaçe (2)., de.Lï^oïNDRE (2) , de , MoNGE (2) , çtç, , restaient la plupart ensevelies danJi ,, les Mémoires académiques , lorsque l'élite des ,; Savapç de nos joi;irs fut appelée pour faire des Cour^ ^ - aux hommes instruits ^ réunis à FJEco/e I^mialè (3). t Xjagrange et LiAPtACB. parvinrent a rendre élémen- 3 taires les théories les plus sublimes. • La fondation j de YEcole Polytechnique (4^ /{[es Ecoles Cen^^^ traies (5) et des Ljrçée^ (6) , donna une impulsion^ générale aux Sciences exactes , à la Chimie ^ à la Physique et k .la j^héorie de Jf Art , militaire. Les. Sciences doivent beaucoup a Ges etanlissepierisl

Plusieurs Auteurs ^ guidés p^ la reconnaissance , avaient chesché à payer un juste tribut aux hommes célèbres qui contribuèrenià perfectionner les Sciences

(1) Né en 1743, ïtiort en 1794- '

(2) Ces illustres Géomètila- swMf ^4H»i

(3) Fondée en l'an 1795..

(4) Fondée en Tan 1796.

(5) Fondées en l'an 1795.

(6) Fondé* en Tan 1804. .

PRÉLIMINAIRE. xa\

eiâctes ; maïs aucun d'eux n'était parvenu à traiter ce grand SU) et dans toute son étendue^ lorsque Y Histoire générale des Mathématiques ^ de Montuçla y parut en 1758. Elle expose les progrès de la Science depuis ton origine jusqu'au commencement du 1 8* siècle^ Son illustre Auteur s'occupait de la conduire jusqu'àt nos jours ^ lorsque la niort l'enleva atkx Sciencrés y Tan X 799. Réunissant les matériaux qu'il avait pré-^ parés y on publia une nouveUe édition de son Ou^ nage ^ en 1 799. La lecture de ce travail exigeant d» connaissances éteiMlues ^ M. Bossut a rendu un' grand service aux amis des Sciences y tu publiant les Êdts principaux dans son Essai sur r Histoire générale des Mathématiques. Ce titre modeste cache le mérite de cet Ouvrage ; on admire l'étéganee et la précision du style. L'Auteur a su embellir le9 passages les plus arides; il s'arrête à Tannée 1785. On attend avec impatience- la suite de cette Histoîre-y dont le ^tre sera Considérations sur Pétai actuel de^ Màihénmtii/ues.

Tels sont les hon^^mes célèbres qui parvinrent à porter les Mathématiques à leur degré de splendeur actuelle ; les découvertes se succèdent avec une telle, rapidité^ que l'esprit le plus actif les suit diOicîlemeat (i).

(1) Cette analyse offre une légère esquisse de rorigïn» :tt des progrès des Sciences exactes. Les personnes qui vou- [ iront acquérir des connaissances plus étendues, devront lire^ \nkioire des Mathématiques de MONTPCLA et celle da jBossTJT. Ces Ouvrages réunissent TexactitudeL à l'élégance. Je, ai souvent consultés. . *

ixxij DISCOURS

• Je terminerai cet apperçu, sur l'Histoire ded Mathëmâtiques,^ en parlant des Auteurs vivans les plus distingues. La crainte de blesser leur modestie^ m'imposera, silence sur le mérite particulier de leurs Ouvrage^ (i). MM. Bossut , Delambre ^ Lagrànce^ Laplace^ XjEgendre^ Monoe^ pROSNY , etc. , ont perfectionné et pnrichi les diverses bratiches des hautes Mathématiques; les personnes qui veulent acquérir des connaissances étendues , doivent les puiser dans les Ouvrages de ces Savans. Les Journaux de l'École Polytechnique; la Correspondance sur cette École ^ rédigée par ' MM. Hachette et Poisson ; les Cahiers de V École ] Normale; Y Arithmétique de Maudûit; la Géométrie et la Thforie dès Nombres de Legendre j le Cours complet de Mathématiques de Lacroix"^ et son Essai sur renseignement ;■ les Traités d'application d'Algèbre à la GéométrieAe MM. Biot, Bouch arlat^ Garnier, Hachette, Lefrançois et Monge j la Mécanique de Francoeur; la Statique dePoiNSOT; les Élémens de Garnier, de Ozanne, de Thé-, VENEAU, etc. ; les Traités de Géodésie deFoMJiiis^:^)

,(i) Ne pouvant me permettre de prononcer sur le mérite ' dea Auteurs vivans, je suis forcé de suivre l'ordre arphabé^' tique. Je classerai les Ouvrages d'après l'ordre indiqué par les ' objets dont ils traitent.

(Si) Le Traité de Géodésie de M. PoMMiÉS est rédigé avec cette élégante simplicité qui convient aux Sciences exactes. Les Ingénieurs civils et militaires y trouveront tout ce qui est relatif au levé des plans , pour des terrains de toutes dimen-' ,

PRÉLlMINAmE. xxxîij

et 4e Puissant ; les Traductions des Ouvrages ufp* ' ciensj par Peirard ^ etc. , sont autant de sources où Ton peut puiser les ëlémens des Sciences exactes. Instruit par la lecture de ces Ouvrages^ j'ai cherché^ dans le Traité d^ Algèbre que je publie , à réunir les * âiéories les plus importantes y en combinant leurs démens le plus simplement possible. Cet Ouvrage est particulièrement destine à préparer à Tétude des hautes Mathématiques, eh exerçant sur les principales .difficultés de V Analyse déternïitiée et indéter^ minée du premier degré. Le second volume de ces Èlémens et Algèbre contiendra la fin de V Analyse. Ces diverses considérations m'ont déterminé à présenter les Élémens dans l'ordre que je vais indiquer.