RÈGLES D'ALLIAGE

5o. Un marchand de vin a formé un mélange composé de ^

7 bouteilles à i sols, de 6 à 14-^, et den à 5^.. Qn demandé ^

le prix de la bouteille du mélange. Le prix de la totalité dft.#

tuilange, divisé par le nombre total des bouteilles , donnera pour quotient le prix de la bouteille du mélange. Mais

Les 7 boateilles à 8 soas Takiit 5&^

Les 6 boaieiUes à 14 tous yalenc 84*^

Les a bonteilks à 5 sous ndent io<r

liet i5 bouteilles de me'kn^ ndent donc t5o^

La bouteille du mélange coûte donc le i5*de iSo-^ ou lo*^»* Ce dernier prix se nomme Prix moyen, La règle prescrits poiir résoudre les questions de cette espèce , était connue sous le nom de Règk d'alliage. Elle sert aussi à prendre un milieu entre divers résultats qui ne s'accordent pas. En voici un exemple.

5i. La distance entre deux objets ayant été mesurée à six reprises; on a trouvé pour résultats , 1 a5 toises , 12S t., 122 1,, laS ti y idi- 1. , 1^7 t. On demande quelle est la valeur ap-^ prochée de la distance entre ces deux objets? Ces nombres ^tant diiférens et devant mesurer la même distance . sont né- (cessairement inexacts ; et il est probable que la distança fexacte est comprise entre la plus grande et la plus petite des six distances obtenues. Pour découvrir une valeur plus approchée , il suffit de remarquer , que si Ton avait obtenu cbaquo fois la mesure exacte , la sonune 744 toises des six résultats serait égale à six fois cette mesure ; et que la même chose arriverait si la somme des erreurs en plus , était égale à celle des erreurs en moins. On aurait donc dans ces deux cas la vraie distance, en divisant la somme des résultats par leur nombre. Il est très-rare que les erreurs se détruisent ainsi ; mais il arrive presque toujours que les erreurs dans un' sens détruisent une partie de celles qui sont dans l'autre ; alors celle qui reste étant répartie également sur chacun des résultats , est d^autant moindre que le nombre des résultats est plus grand ; et conséquemment , c*eU le degré d'exactitudo que -l'on veut obtenir qui détermine le nombre des expériences à faire. Si une grande partie des résultats différant tljèji-peu , . on en trouvait quelques--uns qui s'éloignassent çon-*^

iS INTRODUCTION

ndérablement » il serait presque certain que cet derniers s'^ loignent beaucoup de la yérité , et Ton devrait conséquemment les rejeter. Ce n'est au surplus que dans le Calcul des pro^ babilités que Ton peut traiter cet objet important , dans tônta 8on étendue y et juger du degré d'exactitude p]us ou âioint grand que Ton doit espérer d'obtenir ; notre but n'est ici que de faire connaître une des méthodes que l'on peut employer aveé succès \ dans presque toutes les circonstances ; c'est à^ celui qui opère à saisir les dilFérens changemens qu'on doit faifi dans certains cas particuliers. Appliquant ces raisonnemens à notre exemple ^ on divisera par 6, la somme 744 toises des sst distances; le quotient ia4 toises^ exprimera la valeur approckée de la distance qui existe entre les deux objets. Cette distança se nomme distance moyenne , parce qu'elle tient à peu près lo milieu entre les résultats.

Sa. Cent livres d'eau de mer contiennent 8 livres de sel. Combien doit-tin ajouter d'eau douce , pour que cent lii^res du nouveau mélange contiennent 5 livres de sel ? Comme lodfkân second mélange ne doivent contenir que 5tb de sel , le poidi du sel est le !k>* de celui du 2^ mélange; les 816 de sel con-^ tenues dans le a* mélange , expriment donc le ao^ du poids du a* mélange; ce dernier poids est donc iGott. Mais le 1* imélange pesait 100& ; on doit donc ajouter Golb d'eau douce aux loolb d'eau de mer. Et en effet , si aux ipclb d'eau d« mer^ qui renfermaient 8lb de sel^ on ajoute 6otb d'eau douce, on formera un second mélange de j 6olb , contenant encore 8tt de sel; ihy aura donc ilb de sel dans aofc du second mélange ; les loctb de ce mélange contiendront donc .5tkde sel, comme l'exige l'énoncé.

. 53. On voudrait ^ avec de la poudre à 34*^ lo^ livre et dé la poudre à 14*^^, composer un mélan. e de 10 livres , gui revint à ac^ la livre. Le mélange. de lofe à ao-^ coûte aoo^; or lol^ à 34*^ coûteraient a4o*^ ; il faut donc diminuer ce deraief J^rix de 4<^> en remplaçant de la poudre à a4*^ par dé la poudro à 14*^. Mais pour chaque livre de poudre à 24*^, remplacée {MET

mè litre à 14^9 le prix 040*^ des dix livres, diminue de 10^; il dîminnera donc de J^o^y en remplaçant à^ à 514*^1 pAi" A^ à 14*^. £€ mélange doit donc être composé de 4^^ à i4*^> et cb 61b à 224*^. En Yoici la preuve : les /^ à 14^ valent 56-^; les- 61b à 224*^ valent i44''^ • I^ ^^1^ ^°'^ mélangées valentdooc moo*^ ; la^ livre du mélange revient donc à ao*^, comma Tezige l'énoncé.

54* Vn mélange est composé de 90 pintes de vin et de 10 pintes d'eau. Combien faut-il ajouter de vin , pour que jbpintes du nouveau mélange contiennent 3 pintes d'eau ? Puisque S pintes d'eau sont contenues dans 76 pintes du second mé« lange; une pinte d'eau sera contenve dans sS pintes de ce mélange : les 10 pintes d*eau seront donc contenues dans 10 fois a5 pintes ou aSo pintes du deuxième ipélang^. Mais le pre— mier mélange était de 100 pintes; il faut donc ajouter i5a pintes de vin, pour que 75 pintes de ce nouveau mélange renferment 3 pintes d'eau. Ce résultat est facile à vérifier ; ■ car les 100 pintes du premier mélange renfermaient 90 pintes de vin et 10 pintes d'eau : on ajoute i5o pintes de vin ; il en résulte donc un second mélange de a5o pintes , qui renferme encore dix pintes d'eau ; une pinte du second mélange contiendra donc la a5o* partie de 10 pintes d'eau, c'est-àdire -jjj de pinte d'eau ; les 76 pintes du second mélange con*' tiendront donc y 5 fois -^ de pinte cCeau , ou 3 pintes deau , coBime Texige l'énoncé.

55. Un marchand a du vin qui lui coûte 11^ la bouteille. Combien doit-il ajouter d^eau , pour que la bouteille du mélange ne lui revienne quà j-^ ? Afin de déterminer les proportions du mélange , nous chercherons d'abord combien on doit mettre d'eau dans 7 bouteilles de vin, pour faire du vin à 7^ la bouteille. Le prix de l'eau étant supposé nul ; le mélange composé d*eau et de 7 pintes de vin à ii-^, vaut 77*^; or 7^ doit être le prix d une bouteille de ce mélange : les 77-^ expriment donc le prix de 1 1 bouteilles de ce mélange ; le mflange composé d'eau et de 7 bouteilles de vin , doit donc toe de IX bouteilles j il faut donc ajouter 4 bouteilles d^eàu '

à 7 bouteilles de vin. Ce résultat nous apprend que pour faire du vin à 7*^ la bouteille , en mêlant de F eau avec du vin àw^ la bouteille , il faut ajouter 4 parties d*eau à 7 parties de vin. Hais 4 e^t les f de 7 ; on formera donc le mélange demandé, en prenant une quantité quelconque de vin à 1 1 •'' la bouteille , et lui ajoutant une quantité d'eau qui en soit les y. Par exemple, «i Ton prehd 70 bouteilles de vin à 1 1^, il faudra leur ajouter im nombre de bouteilles d'eau ^ marqué par les f de 70, ou par 40; les 110 bouteilles du mélange vaudront 770-^-, et le prix de la bouteille sera 7*^. .

5G. jivec des pièces de S*^ et de i5r^, faire 180''' en iS pièce*. Si les 18 pièces étaient de i5*^; elles formeraient 270*^, au lieu de 180*^; il faut donc diminuer de 90*^ la valeur des 18 pièces , et cela sans changer leur nombre ; ce qu'on, obtiendra en mettant des pièces de moindre valeur. Mais chaque pièce de ' 6''', substituée à une pièce de 1 5*^, diminue de g»^ la valeur des 18 pièces. Pour la diminuer de 90*^, il faut donc substituer 10 pièces de 6*^ à 10 pièces de 15*^. On formera dbne iSo^. en 1% pièces avec 10 pièces de 6'^ et 8 pièces de i5*^-

67. Les problèmes de cette espèce sont quelquefois impoi^ • fiibles. Pour en donner un exemple , proposons-nous de former 100*'' en iS' pièces , les unes de 6*^, les autres de iV . Comme f8 pièces de G-^ valent 108-'", c'est-à-dire 8-^ de trop , il faudrait diminuer le paiement y en remplaçant des pièces de 6*^ par des pièces de moindre valeur ; ce qui est impossible. La question serait également impossible , si Ton trouvait une fraction pour le nombre des pièces de chaque espèce.

58. On a rempli, en 12 minutes, un vase contenant ^q pintes , en faisant couler successivement deux fontaines ^ dont t une fournissait 4 pintes par minute, et t autre 3. Pendant combien de minutes chaque fontaine a-t-elle coulé ?LsLme^ mière fontaine coulant seule, fournirait 48 pintes en 12 minutes au lieu de 89 pintes, ce qui fait 9 pintes de trop ; mais la deuxième fontaine donne une pinte de moins par minute que la première ; en diminuera donc de 9 pintes les 48 pintes que la première

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fontaine foornit en i a minutes , en supposant que la deuxième fontaine coule à sa place pendant g des la minutes. Ainsi , la première fontaine a coulé 3 minutes , et la seconde g. En effet , pendant 3 minutes , la première fontaine fournira 3 fois 4 pintes on 19 pintes ; la deuxième fontaine , en g minutes , fournira g fois 3 pintes ou 2j pintes ; ce qui 'fait 3g pintes su tout.