RÈGLES D'^I N T É R É T

5g. L*argent rapportant un certain bénéfice i celui qui !• fait valoir , Thomme qui emprunte une somme d'argent doit, en la rendant « y joindre ime rétribution qui dédommage le prêteur des avantages qu'elle lui eût procurés , s'il Tavait employée par lui-même. Cette rétribution se nonune intérêt j^oui là déterminer , on convient de ce qu'une somme rapporte pendant un certain temps ; l'intérêt d'une sonune quelconque s'en déduit avec facilité. Nous supposerons que le taux de tinr' térêt de t argent est connu ; nous verrons par la suite comment, dans chaque genre de spéculations , on peut le déduire du calci^l des probabilités. On distingue deux sortes d* intérêts , l'intérêt simple et l'intérêt composé. L'intérêt simple est celui qui m porte plus intérêt ; de sorte que t intérêt d'un capital pendant plusieurs années ^ s^ obtient en multipliant T intérêt d'une année par le nombre des années ; lorsqu'au contraire t intérêt de chaque année se joint au capital pour porter lui-même intérêt pendant tannée suivante , comme on tire réellement les intérêts des intérêts , on dit que tintérêt est composé. Toutes les questions relatives à l'intérêt de l'argent , se réduisent à quatre essentiellement différentes ; car il s'agit toujours de trouver , on , ce que de l'argent comptant vaudra au bout d'un certain temps , ou réciproquement ce qu'une somme payable après un certain temps , vaut argent comptant ; et comme, dans ces dmz questions, l'intérêt peut être simple ou composé, il ea résulte quatre problèmes.

Mais lavaleurSune somme quelconque ^ composée de livres 9

'ia ÎWTKODUCTION

' peut s'obtenir en répétant la valeur cCune livre , autant de fois 4juil y a de livres. On est donc conduit à résoudre les quatre problèjnes suivans (n"' 60 , 6a , 63, G 5).

60. Or^ demande combinn le capital 1^ vaudra après un certain nombre d^ années; le taux de t argent est connu ^ et ton na égard quaux intérêts simples. Pour fixer les idées , proposons-nous de trouver la valeur de 1* après 3 ans ^ Fintérêt étant à j Jpour 100 par ah.

' Ij^intërét de yoo'"' en Qn an e'tant n*

7 ** L- intérêt de t^ en nn an est le loo» de 7'''" ou —

•t /. . 7 ^ ai "^ ^

L^inte'rét de x*" en 3 ans est 3 fois -r^ on —

loô 100

L'intérêt de 1^ ponr trois années étant — ; le capital i^ Taodra a|Hrèt 3 ans.-xv^ tins son intérêt — 9 on — •

61. Eh général y r intérêt annuel de 100*, divisé par 100, donne pour <fuotient t intérêt annuel de i^ ; ce dernier intérêt ' multiplié par le nombre des années , donne t intérêt de i*pendant ce nombre d*années, ajoutant Pintérêt au capital i*, la somme exprtihè la valeur du capital i^ au bout du temps donné. Pour obtenir la valeur dun capital quelconque après

'un certain temps , il suffit de multiplier la valeur de 1* après ■ce temps , ptir le nombre de livres du capital. Appliquons cette règle à des exemples , dans lesquels noxis supposerons que '^argent est à 20 pour 100 par an.

V^ Exemple. On demande combien iSoo"''' argent comp^ tant vaudront après trois ans. L'intérêt de 1* est de ^* ou : 1^ par an, et de |* pour trois ans; 1^ argent comptant^ ^ Vaudra donc , après trois ans, 1* plus son intérêt |^ ou |*. - Lés i 5oô* argent comptant vaudront donc après 3 àris , 1 5co fois ^oui^oo^. L*iiitérêt de iSco^ pendant 3 ans, est donc • a4oo^ moins i5oo* ou 900*. Et en effet, comme pour trois «ns, Imtérêt de \^ est!*; rmtéîit'aés i5od* doit être de i5oo

fois f ou 900*^. La méthode précédente est générale ^ oA peut k simplifier dans notre exemple » car Tintérêt de 100^ étant dé ao^ par an^ ou de 60^ pour trois ans; l'intérêt de iSoo^ tn trois ans est i5 fois 60^^ ou goo^.

n*. Exemple. Un particulier achète pour i5oo^ de marthandises ; il ne pourra les payer que dans trois ans. On cbmande la valeur du billet pcyable à cette époque. Le marchand qui livre ses marchandises , doit retirer^ outre les i5oo^ qu'ellô vaut comptant > le bénéfice que cettb somme lui eût procuré s*il l'eût fait valoir pendant trois ans ; or on suppose que ce bénéfice est de âo pour 100 par an , et Ton a vu dans le premier exemple que l'intérêt de i5oo^ pour trois ans était alors de 900*. Le billet doit donc être de i5oo^ plus 900^1 ou dé

IIP Exemple. On demande combien 1 Soc''^ argent comp^ tant vaudront après 3 ans 5 mois ou 4i mois. L'intérêt simple de 1* est , de |^ pour 1 2 mois , de ^* par mois , et de ^^ pour 41 mois. Le capital. 1''^ vaut donc après /^i mois , 1^ plus son intérêt f^^, ou -î^*; le capital i5oo^ vaut donc, après cb fempSy i5oo fois ^*, ou 25a5^. Une personne qui devrait iSocf'' comptant y et qui ne pourrait payer que dans 3 ans 5 mois, s'acquitterait donc avec un billet de âSaS^ payable à Cette époque.

fia. On demande combien une somme payable dans un cer-^ tain nombre d'années , vaut argent Comptant. On n'a égard qu'aux intérêts simples , et le taux de l'argent est connu, La solution de ce problème n'offre aucune difficulté ; car une iomme payable au bout d'un certain temps , étant le produit de la valeur de 1* après ce temps , par le nombre de livres du capital primitif (jaP Si ). Si Von divise une somme payable au bout d'un certain temps , par la valeur de 1* après ce temps^ 1b quotient exprimera le nombre de livres du capital primitif. ïsa valeur de 1^ après le temps donné , s'obtient au moyen de la règle du nlGi. Appliquons cette règle aux preuves des

exemples du n® Gi , et supposons toujours que Viniérêt simple de t argent est à oopour loo par an,

V^ Exemple. On demande combien a4<^o* payables dans^ 3 ans, valent argent comptant. Si Ton divise les a/^od^ i^jable^ dans 3 ans , par la valeur de i* après 3 ans , qui est |* , le quotient 2400 X -g ou i5oo, exprimera que les o^^oo* payables dans 3 ans y valent 1 5oo* argent comptant. On parvient directement •u même résultat ^ de la .manière suivante. ...

r payables dans 3 ans , raient comptant i^

x**" vant comptant s . -

3400''^ payables dans 3 ans, valent comptant, a4<^ ^«^^ S ' ^° iSod^*

IP Exemple. Un particulier a fait à un marchand un billet de 2a4oo* payables dans 3 ans ; il offre de payer sur-le^ champ, A combien doit-on réduire le billet? Lol somme Oéjpd^ est composée d'un certain capital ^ plus des intérêts de ce capital pendant les 3 ans. Comme on acquitte sur-le-champ le billet , on doit déduire ces intérêts ; ce qui se réduit à trouver combien 12400'''' payables dans trois ans, valent copiip^ tant; la réponse est i5oo* (^i*** Exemple). Z^ particulier

s* acquittera donc, en donnant i5oo^ au marchand,

IIP Exemple. On demande combien a525* payables dans 5 ans 5 mois, ou ^i mois ^ valent en argent comptant. D'après la règle du n® . 62 , si Ton divise les a525* payables dans 4^ mois^ par la valeur de 1^ après ce temps ^ qui est ^*; le quotient i5oo , exprimera le nombre de livres du capital de-^ mandé. De sorte que lesaSaS^ payables dans 4i mois^ valent 1 5oo''^ argent comptant, lin , raisonnement analogue à celui du 1^' Exemple y conduirait au même résultat. Une per^ soTjjie qui devrait a5a5^, payables dçtns 4^ mois, s'acquitterait fhnç en payant sut-le-cbamp i5oo*.

A L* A L G £ B R E. aS

Nons allons résoudre les mêmes questions^ en ayant égard tuL intérêts des intérêts.

63. On demande combien le capital i^ vaudra après un certain nombre d'années^ Le taux de l'argent est connu , et ton a égard aux intérêts des intérêts. Cherchons la valeur de 1^ après 3 ans, Fargent étant à 20 pour 100 par an. L'intérêt annuel de'i* est le centième de ao* ou -^^ ou 3*; de sorte que 1* comptant vaut après un an ^ 1^ plus son intérêt J*, ou I* on les f de 1^. Ainsi , 1^ placée au commeneement de la première année , vaut à lajin de cette année , les | de 1*, c'est* à'dire les \ de ce qu'elle valait au commencement de l'année» On voit donc que pour obtenir ce qu'une somme placée au commencement d'une année vaut à la fin de cette année , il stffit de la multiplier parf (*). Les |^ placés au commencement de la seconde année , valent donc à la Gn de cette année , les |iîo I*, ou If* ; et les |^^ placés au commencement de la • 3« année , valent à la fin de la 3« année , les | de |f^ ou ^t oui^XfXfXf

On parvient aux mêmes résultats en calculant les intérêts d'année en année. En effet , le capital 1* placé au commencement de la 1'* année , vaut à la fin de cette année , 1''^ plus ion intérêt ^*^/ou |^; l'intérêt annuel de 1* étant ^*, l'intérêt des f de 1^, sera les | de 5* ou ■^*; les |* placés au commencement de la 2* année , valent donc à la fin de cette année , P pins leur intérêt ^ ou |^^. Par la même raison , les |f* placés au commencement de la 3* année valent à la fin de cette, année Jf*^, plus leur intérêt ^* ou 7^^.

On voit donc que le capital 1* placé à 20 pour 100 par an

(*) On pent.le démontrer directement ; car l'argent «^lant à ao pour loo ptr Vk ^ l'int^r^ annuel est le cinquième du capital ; un ciipital placé au coanncncement d'one année , Tant donc à la fin de Pannce , U capital pri*

fi.

nilif plus sou cia^èue ^ on les ^ du capital ptimitif.

aJS > INTRObVCTIOlV

Taut^ en tirant les intérêts des intérêts ;,.... xt" X V à la fin de la premi^ aonét.

fi fi

i^ X r X S à la fin de la deositoe mméê*

fi f* fl

i"^ X V X s Xr^IaiSndela troisième annie.

64* La loi des accroîssemens du eapital i*^ est évidente , l'on peut en conclure cette règle générale : Pour obtenir vctleuT du capital i^ après un certain nombte d'années ; et culez la fraction qui exprimé combien i* argent compte vaut à lajin de Vannée ^ et multipliet le capital x* par ce fraction abstraite , autant de fois facteur qu'il y a â^m dans le nombre des années ; le produit sera la valeur de après le temps donné. Pour obtenir la valeur d!un cqpi quelconque après un certain temps , il si^ffit de multiplier valeur de i* après ce temps ^ par le nombre de livres du c pitaL Appliquons cette règle à des exemples^ et suppose Sintérêt à ao pour loo par an.

1*^ Exemple. On demande combien i5oo* argent comjOù vaudront après 3 ans. Comme i*^ argent comptant vaut api 3 ans, 7j|^ (n** 63) ; les iSôo* argent comptant , vaudron après 3 ans , i5oo fois j^, ou aSga*. En voici la preuil L'argent est à 20 pour 100 par an ; l'intérêt est dqnc lie QJI qnième du capital ; les i5oq^, placées au commencement tlf 1^^ année , valent donc à la fin de cette années i5oo* plus M intérêt 3oo*, ou 1800''^; les 1800*, placées au Gommencéitti|l fde la a^ année , valent, à la fin de cette année , i8optyjiI| leur intérêt SSo""", ou aiGo*^; enfin les aiGô""" placées au co|| fiiencement de la 3® année , valent , à la fin de cette annéf aiBd^ plus leur intérêt 4^a*, ou aSg^*.

Puisque i5oo^ argent coniptant v^ent après 3 ans» a! l'augmentation du capital i5oc^ est fit lo^a^ pour 3 ayant égard aux intérêts des intérêts. Mais l'augmentatipiiaux intérêts simples ne serait que de 900^» On voit

combien il est avantageux à celui qui place des fonds , d'avoir égard aux intérêts des intérêts, c'est-à-dire , de retirer, chaque année l'intérêt pour le joindre au capital.

Le calcul serait é?idemment le même » si Ton demandait combien 1 5od^ argent I comptant yaudront après trois mois ; Imtérêt composé de l'argent étant à âo pour ico par mois^ La réponse serait aSga^. Ainsi , la règle du n® 64 > s'applique également à des années ^ des mois , des jours , etc. Cette ob-^ lenration est générée.

II* Exemple. Un particulier achète pour i5oo^ d^ mar-^ chandises ; il ne peut les payer que dans 3 ans. On demande la valeur du billet payable à cette époque. Il s'agit de trouver combien i5oo^ argent comptant^ valent après trois ans^ en tirant les intérêts des intérêts à raison de ao pour 100 par an ; 2a réponse est donc aSga* ( i*' Exemple ).

m* Exemple. On demande combien i5oo^ argent comp^ tant ^vaudront , après 3 ans 5 mois , en tirant les intérêts des intérêts , à raison de 20 pour 1 00 par an. L'intérêt de 1* est , do ^* pour ifl mois, de -^ pour un mois , de ^^ ou •—* en 5 mois.' Conséquemment^ 1^ payable à une époque quelconque ^ vaut 5 mois plus tard^ 1^ plus son intérêt -^ ou ^\ donc 1^ payable dan» 3 ans ^ vaudra dans 3 ans 5 mois» ^\ mais 1'"' argent comptant Yaut , après 3 ans , \^* ( n* 63 ) ; ces fif * payables dans

* S ans 3 yandront donc dans 3 ans 5 mois , les f^f de ^ ou f|j^. Puisque 1^ argent comptant vaut , après 3 ans 5 mois > 7II* ; Us i5oo^ argent comptant vaudront , dans 3 ans 5 mois , i5oo fois fj^* ou 2808*. En voici la preuve ; i5oo* argent comptant Talent^ après 3 ans aSi^s^ (1*' Exemple du n^ 64) ; il suffit donc d'ajouter à cette dernière somme , son intérêt pendant 5 iDois; mais l'intérêt de 1^ en 5 mois est 75^; l'intérêt des i* en 5 mois est donc de 2692 fois •—*, ou 216* ; les i5co*

^^A^'V^ comptant vaudront donc , après 3 tuxf 5 mois^ 2592^

aWBi 226^ ou 28p8^«

a8 INTRODUCTION

Enfin on pouvait exécuter le calcul de la manière suiv

100*^ rapportent en nn an ao''^ 2"^ rapporte en nn an le loo* de 90'#'

1* Tant après i an | i"^ plus lit yaut après a ans, les ? de] t^ Tant après 3 ans , les -z de i^ rapporte par mois le ia« de

lit

lit rapporte en 5 mois , 5 fois ^

1* Tant après 5 mois , i** pins —

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