PROBLÈMES SUR LES ANNUITÉS
* '75. Un particulier qui doit une rente de 2200* au capital âe rrooo*, voudrait acquitter en 2 ans la rente et le capitcd^ aU moyen de deux payements égaux effectués à la An de chaque année. Il demande la valeur de chaque payement» on à égard aux intérêts des intérêts. Les deux payemens de- = t<int être égaux, il suffit de trouvei* Tun d'eux , le premier par exemple. Mais comme la réunion des deux payemens rapportés à une même époque , doit donner une. somme égale à celle que Ton devrait payer , si l'on voulait acquitter tout à cette même é]poqfae et en un seul payement , cherchons d'abord à établir unç relation entre le premier payement et la valeur des deux payepiens réunis , rapportés à cette même époque. Or 11 000* donnaht 2200* de rente , Vintérêt est le cinquième du capital, et P argent est à 20 pour 100 par an. Donc si le i**" payement» au lieu d'être effectué à la En de la 1'® année, était retardé jusqu'à la fin de la 2* , sa valeur devrait augmenter d'un cin* quième , et serait conséquemment les | de ce qu'elle était d'abord. Le 2* payement, égal aux* | du i**", devant ctre fait à la fin de la 2® année , n*a toujours , à cette époque que la même valeur. Les deux payemens réunis et rapportés à la fin de la 2* année , valent donc les | plus les f ou les -^ du 1 *"" ; les •—• du 1*' payement sont donc égaux à la somme que l'on devrait donner , A l'on voulait acquitter tout à la fin de la 2® année et
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èttwi $eùl payement. Mais l'argent étant à ao pour loo pat an^ le capitfû iicx)o^ vaut i584o^ à la fin de la â* année (n* 64.')- ^es ^ du 1*5 payement fiont donc i584o* ; le 5* du ï*' payement est donc lAliH^ ou i44o*> le i" payement est donc 5 fois i44o^, ou ysoo^. On acquittera donc la rente et l§ capital €01 moyen de deux payemens de 71200^ chacun, ef-* fectûés tun à la fin de la première année, et l'autre à la fin de h seconde, tl est facile de vétifier l'exactitude de ce résultat ; en etfet, le i^"^ payement effectué â la fin de la 1*^* année est ^aoo* ; on doit flaoo^ pour la rente de 1 1000^ , on n*acquittei donc réellement que 5ooo^ sur le capital 1 1 000^^ qui par li te trouve iiéduit à 6000^ ; ainsi on ne doit tenir compte pendant la a* année que de l'intérêt des 6000^ qui restent dues ; tet intérêt , joint aux 6000^^ donne 7300^^ pour ce qui resté dû à la fin- de là a' azmée; le a* payement de 7200^^ effectué 4 cette époque^ acquitte :donc le reste de la dette.
76. On propose d'act/uitter 33 10^^ en trois payemens égatua t^ffeçiStt4s.i^ lafin de chaque année; l'argent est à lo pour ioo\. jet fan, a égard aux intérêts des intérêts. En raisonnant tomme dans l'exemple précédent > on trouvera que choqué payement doit être de i33i^. Yoiçile calcul , fondé sur la ràglo du n"" 64.
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La 33io^ cemptant» valent à U fin de la 3* uânée i . . • ■" -
Le !•' payem. etfiectuë à la fin Ae la 1 '« année, vaut à la fin de la 3*, ses —
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i ^ . lai lîo 100 . ^ 33î 1 j La iomme des fractions . — » — > — étant — ; la -somme des tro^i
33t pajemeiu vant , h la fin de la 3« année , les J-- <la i*"^ payement ; mait
•elte tomme doit acquitter les ^ 9 dues à la m^e époque ^ done
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33 1 fois le i*' payement, vaut... ââoSSi'ff'
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- Chaque payement doit donc être de iSSi^. En effet , l'argnlf étant à 1 o pour loo , l'intérêt annuel est le diadème du capital ;* à la fin de la première année , on doit le capital 33 16"^ ^lus son intérêt 33i^ ou 364i^; on paye i33i* ;ontedoitdohc aSio*. ,,i L'intérêt de cette somme pendant la seconde année , est â3i^;^ en doit donc à la fin de la a^ année 1 aS^i^ *> on donne i33i^ ; <m' xodoit donc au commencement de la 3* année, laio^. La' somme due à la fin de la 3* année, est lâio^ plus son intérêt» ïsii^, ou i33i^; le troisième payement, de i33i^, acquitte donc* cette dette.
