AL* ALGÈBRE. S

pertance et le faux préjugé qa*une maison bien établie est ég^ement avantageuse â celui qui succède.

Su. Un particulier qui doit 5ooo^ à un marchand ^ offre en pœfmnént looo^ argent comptant plus fiéfil&* dans un an ; ou 9856^ ilans 4 ons^ et 3oi5^ dans 5 ans. L'argent est à ao pour loo pcar an, et l'on a égard aux intérêts des intérêts. Le marchand demande quelle est l'offre qui lui sera la pluç avantageuse. Si tous les payemens s'effectuaient à la même époque^ au commencement de la i'^* année , par exemple , la question n'oiFrirait aucune difficulté ; il suffirait de calculer deux sommes , Tune des payemens relatifs à la première offre , l'astre de ceux qui sont relatifs à la seconde ; la somme la plus forte correspondrait à l'offre la. plus avantageuse au marehand. Il suffit donc d'évaluer cette somme en argent comptant ; mais d'après la règle du n® 65 , les 2458^ payables dans un an , valent 22048^ j argent comptant \ les a85o' payables dans 4 ^uis^ valent 1374^ ^ comptant ; et les 3oi5^ payables dans 5 anSj valent 12211^ |^ comptant. Effectuant l'addition des sommes évaluées en argent comptant ^ on trouvera que la 1'® offre représente 3o48^ 7 comptant ^ tandis que la a* ne vaut que fl586* ^ comptant ; c'est-à-dire 463*^ f^f de moins que la 1'*. On voit donc que ,poiir le marchand , Vavan-^ toge delà V* offre sur km,* y est de 462* fgi » argent comptant.

83. Les calculs étatit d'autant plus longs que Jes époques sont plus éloignées , on abrégera la solution précédente ^ en rapportant chaque somme à une même époque moyenne entre la 1'® et la 5^ année. En effets si l'on'rapporte tout à la fin de la 3* année ; pour revenir à la fin de la 5® et de la 4^ année ^ à la fin de la 3^ année , il suffira de calculer les intérêts des intérêts pour a ans et pour 1 an^ tandis qu'en évaluant tout en argent comp* tant^ on a été obligé^ pour revenir de la fin de la 5* et de la 4* année au commencement de la 1'" , de calculer les intérêts des intérêts pendant 5 ans et 4 ans ^ ce qui est plus long. Si Ton effectue les calculs d'après les règles des n*** 64 ®* ^^ » ^^ trouverapour la première offre, que les 1000* comptant valent 1728* à la fin de la 3* année , et que les 2468* payables à la fim

2(0 I H T R on V C T I Ô N

de la !'• année , valent 35^9^ ^^ à la fin de la 3« année ; de sorti que la i" offre représente 6267* -jf payables à la fin dé^U 8* année. On trouvera de la même manière , pour la a* offre , que les siSSd^ payables à la fin de la 4* année , valent aSjS^ à la fin de la 3® année , et que les Soi 5^ payables à la fin de la 5* année ^ valent aogS^ | à la fin de la 3* année. L'additkm ^ des deux sommes payables à la fin de la 3^ année , doxmera 4468^ f pour la [valeur de^ la a* offre rapportée à la fin de la 3* année ; mais à la même époque , la.i^' offre vaut 626'/^ ^i , retranchant la a* offre de la i^«, le reste 798^ 1^, exprima l'avantage de la 1^* offre sur la seconde. Cette dernière somme est payable à la fin de la 3* année ; si on Té'^lue en argent comptant^ on trouvera 46^^* Wi' L'avantage de la i'* offre sur la a', est donc de 462* |jj argent comptant. Ce dernier résultat s'accorde avec celui du n® 82.

84. Un propriétaire fait arracher des bois et les remplace par des vignes. Cette opération lui sera-t-elle avantageuse? ■On suppose ; 1® que chaque arpent de bois donne 4^0* de revenu par an , et quil en coûte 35o* par arpent pour rem^ placer les bois par des vignes; 2® qu'un arpent de vignes coûte 5o* de façon par an , qu'il ne produit rien les trois premières années f mais donne ^ la 4** année 325*, la 5* 5oo*, et enfin la 6^ année et toutes les suivantes 600*; 3" que l'argent est à 10 pour joc par an, et qu'on a égard aux intérêts des intérets. Les payemens s'effectuent à la fin de chaque année, • Comme à partir de la 6* année , le revenu des vignes surepasse celui des bois, on est porté à croire qu'après un certain nombre d'années , cette augmentation de revenu couvrira . les frais , et qu'ainsi la nouvelle plantation est avantageuse ; \ mais il faut observer , que le propriétaire se prive du revenu ' des bois et des déboursés relatifs à la vigae , que ces différentes sommes lui rapporteraient intérêt, et que par consé-iquent les vignes ne donneront un bénéfice réel , la €* année et toutes les suivantes , que dans le seul cas où , à compter de cette époque, leur revenu surpasserait celui des bois réuni aux intérêts dQS sommes perdues. La difficulté du problèmt

te confijste donc qu'à évaluer les pertes jusqu'au moment où le revenu de la vigne devient constant. Pour cela, nous remarquerons que pendant 5 ans le propriétaire perdra le revenu des bois et les déboursés relatifs à la vigne , dont il faut cependant déduire les revenus de la 4* «t de la 5* année -, et comme on ne peut comparer des sommes payées en difTéreni temps y qu'en les rapportant à la même époque ^ nous rapporterons à la fin de la 5* année , toutes les pertes et les produits de la nouvelle plantation pendant 5 ans. Actuellement que la marcbe est tracée ^ 8uivon»-la et effectuons les calculs. La i*** année , le propriétaire débourse 35o^, pour faire remplacer les bois par des vignes , et 5o^ de façon de la vigne ; il perd m outre les 4oo^ que les bois lui auraient rapportés, ce qui fait une perte totale de 8oo^. La â^ année, il payera 5o^ pour la façon de la vigne , et sera privé du revenu 4^0^ des bois ; il en résultera donc une perte de 45o^. La même perte «ara lieu la 3*, la 4* et la 5* année. De sorte que pendant les cinq premières années les pertes payables à la fin de chaque année sont. . . .

Cet prîtes , rapportées à la fin de la cinquième ann^, deriennent ( n* 64)9 ' ii7i*'ia8 , 598*195 , 544'*'f5 9 495*" f 4^**'

la somme des pertes , rapportée à la fin de la 5* année , est donc 3a59*,73 ; mais la 4* année le produit de la vigne sera SaS*, qui rapportées à la fin de la 5* année , deviennent 357*,5 ; ajoutant à cette somme les 5oo* que la vigne produira la 5* année , on aura 867^,5 pour la totalité des produits de la vigne jusqu'à la fin de la 5^ année. Cette dernière sonmie retrandiée de 3û59^,73, donnera q4^2*^ù5 pour la perte réelle du propriétaire, à la fin de la 5* année, ou au commencement de la 6*. Cette somme placée à 10 pour 100 produirait a4o^,aa3; qui ajoutées avec les 4^0* que rapporteraient les bois , donneraient un revenu annuel de 64o^|aa3 par arpent. Mais la même étendue de terrein plantée en vignes , ne donnera que 600^ de revenu à compter de la même époque *, on

JIt I NT.R o i> V c t I a n

toit donc enfin qne- le reyena dit propriétaire sera diminué^ t Compter de la sisdème année» de 4<3^fda3 par arpent; et pai? conséquent , il tût été plus avantageux de conserver Im bois,

La reinarque du n* 83 conduit à une solution plus abrégéei en choisissant une époque moyenne y entre la i*^* et la 5* année ; parce qu'alors, on n'a à calculer les intérêts que pour un nombre moindre d'années. On trouvera, en rapportant tout à la fin de la 3* année, que les pertes. ...

doo*", 450*", ^So*", 450** f 45o"'^>

deviennent

La somme 52693^117, de ces cinq derniers* nombres, exprimer ; la perte des cinq premières années. Les gains sont les reyenm * 5ia5* et 5oo* de la vigne pendant la 4* et la 5* année , c'est-Â:* ■ dire 325^ payables à la fin de la 4^ année , et 5oo^ pajrablet à la fin de la 5* année. Ces gains rapportés à la fin de la 3* année deviennent 296*^ -^ et 4^3^ -^ ; leur somme est 708*-^. Retranchant le gain total.de la perte totale , le reste 1985^-^ exprimera la perte réelle , en argent payable à la fin de la 3* année. Si on la rapporte à la fin de la 5' année , elle se trou-* ■ vera de q^oz^^qS ; résultat qui s*accorde avec celui qu'a donné la première solution.

85. Une société veut faire reconstruire les bâtimens d'une manufacture. Un entrepreneur offre deux projets, l'un d'un bâtiment en pierre , l'autre d'un bâtiment de bois ; on connaît leur prix , leur durée , le prix et V époque des premières réporrations y et leur rapport avec les suivantes . Le taux de T argent est connu. On demande quel est le projet le plus avantageux à la société. Comme la grandeur des nombres ne peut nulle* t inent influer sur la nature des raisonnemens , nous choisirons ^ ceux qui ne jetteront pas dans de trop longs calculs. Nous " supposerons en conséquence y que le bâtiment de bois durera ^ 3 ans ; que la i**' réparation aura lieu au commencement de j' la a' année et coûtera i458*; que la a' réparation , qui aurm i

A L* A t G É B K E; dfl

S0U tm commenjoementde lu 9 année , sera êCun tiers plus forte; que le bâtiment de pierre durera 6 ans; que la i^' réparatioitiefera au commencement de la éf année et coûtera i5od^ ; (fue les suivantes auront lieu au commencement de chaque (mnée et croîtront d'un dixième ; que chaque réparation sera pcyêe au commencement de Vannée où elle aura lieu ) que les prioc des bâtimens de bois et de pierre sont 3ooo* et 7200^; ' tpiils seront acquittés par payemens égaux au commencement de chaque année ; et que le bénéfice de la manufacture est tel que Pargent se renouvelle chaque année et rapporte so pour \QQ., On doit donc avoir égard aux intérêts des intérêts. Les bâtimens , en bois et en pierre ^ durant 3 ans et 6 ans ; aprèi 6 ans ^ le l'^'aura été construit deux fois , le a* une fois, et tout* deux seront à reconstruire. Il suffit donc de considérer ce qu'ils coûteraient jusqu'à cette époque ; parce que , les dépenses étant les mêmes de 6 en 6 ans , le bâtiment qui serait le plus Uvantageux les 6 premières années , le serait encore les 6 an-< nées suivantes , et ainsi de suite. Cela posé ; si tous les payemens qui s'elTectuent pendant les 6 premières années, se faisaient i la même époque , il suffirait de calculer deux sommes , l'une des payemens relatifs au premier bâtiment, l'autre de ceux relatifs au second \ la plus petite somme correspondrait au projet le plus avantageux. Evaluons donc ces payemens, pour les rapporter ensuite à la même époque.

Les payemens relatifs au bâtiment de bois , sont ; la première année 1000^, pour lë premier tiers du prix du bâtiment de bois ; la deuxième année 1000^ pour le second tiers , du prix du bâtiment, et. 1458*" pour les premières réparations, ce qui fait en tout 2458* ; la 3* année , les réparations , qui augmentent d'uQ tiers, coûtent i458* plus son tiers 486*, ou 4944* î on a payé en outre 1000* pour le 3* tiers du prix du bâtiment , ce qui fait en totalité 2.944*- Mais après ces trois premières années , on reconstruit le bâtiment pour le même prix. Par conséquent, de troi» en trois années, les payemens sont les mêmes , ils se font seulement à des époques plus éloi- '|nées. PouT abréger les calculs, nous rapporterons tout à la

mm

fi^ de la 3* année. Pendaiït 6 ans^ les déboursés payables commencement de chaque année sont . . *

^ iooo*, î^SS*",^ 2944*", Joooif-, a458* , 5944^»'. •'

Ces déboursas , rapportes à la fin de la troisième ann<^c , deviennent

1728 , 3539^ -= , 353a^ I , looo'*', ao48*" 5 , ao44** -•

Leur Somme est iSSgS* ^; de sorte qu'en rapportant^' tout à la Gn de la 3' année , on voit que pendant 6 ans la somme des déboursés relatifs au bâtiment de bois est iSSgS^ ^

Pour le bâtiment de pierre , les déboursés payables aux \ commencemens des 6 premières années sont {

1106^ j laoo*, laoo"*'', 2700''^, 2850"*", 3015"^; ^ *

oes déboursés rapportés à la Gn de la troisième année , deviennent * :

Leur somme est ia4io* ts' De sorte qu'en rapportant tout à la fin de la 3® année , le bâtiment de pierre coûte id4io''^-^ pendant 6 ans. Mais à la même époque et pour le même, temps , le bâtiment de bois coûte iSSgS* ^ ; la différence;. 1482^1^, entre ces deux sommes,, exprime l'avantage dobâtiment de pierre sur le bâtiment de bois. Cette différenceest évaluée à la fin de la 3® année ; elle vaut 858* f^f^ ai^gent. comptant. L'avantage du bâtiment de pierre sur le bâtiment d$ bois , est donc de 858* yf^ argent comptant. ., 86. .Dans la question que nous venons de résoudre , les bâtimens étaient tous deux à reconstruire après 6 ans , parce que l'un durait 3 ans et l'autre le double. Mais souvent la durée d'un bâtiment n'est pas contenue un nombre exact de fois dans la durée d'un autre; il faut néanmoins considérer les payemens jusqu'à l'époque où les bâtimens seront à re- i construire. Comme l'éloignement de cette époque influe sur. ' la longueur des calculs, il est avantageux d'obtenir la plus s approchée ; on y parviendra toujours en prenant le plus petit 4 nombre entier ^ exactement divisible par la durée de chaqut ^

bitiment. Par exemple , si les durées* respectives des deux iâtimens étaient 8 ans et la ans ^ comme le plus petit nombre entier divisible par 8 et. par m, est â4, l'époque la plus i^rochée serait 124 ans; car pendant ce temps le if" bâti*, ment aurait été construit trois fois , et le second deux fois.

87. Iles peii^onnes qui auront bien saisi 1* esprit des solutioiï^ dfls problèmes relatifs aux spéculations , seront en état de ri^ midre toutes les questions particulières qui dérivent' de c«C àioncé général ; déterminer , entre un nombre quelconque de ifécutations , celle qui est. la plus Avantageuse* Cela se réduit toujours à rapporter ie^ f^ins et les pertes à une même époque^ h différence entre la sommé des gains et celle des pertes, de 4^aque spéculation ^ fait connaître quel en est V avantage réel'; ^rs la spéculation qui donne le plus de bénéfice est réellemeff^ la plus apantageuse.':Qm abrège^ tes calculs, en rapportant toufi é une époque moyenufi.

Rapports directs et inverses.

" fis. ' L*eiKameA ^att«ftti£ des problèmes que nous venons de ifaoudre, conduit à dé^ remarques impoi;tantes sur lanatom tfai relation^ qui' existait entre les causes tt le». effets qu*ellei déterminent. On en distingue de deux èspèées ; ^âr exemple; pftis il 7 -a d'ouvriers^ plus il y a d*ouvrage fait ; et au contraire , pbi$ il -y a d'ouvriers^ moins- ils mettent de temps à faire une même quantité d*euvrage. Dans le \^^ cas, on dit que les métrages faits sont dans le rapport direct des nombres t ouvriers', et dans lé second, que les temps employés à faire. h même ouvrage , sont dans le RAPPORT inverse des nombres ^ouvriers.

89. En général , unrapport est direct quand le plus grand effet répond à la plus grande cause; et un rapport est inverse, ^Bumd le plus petit effet répond à la plus grande cause. La ceandération des rapports directs et inverses étant de la plus puda importance , nous allons traiter cette théorie avec tout le soin qu'elle mérite.

4{6 t îï t R o i) ù c t i d îT

90. Pour exprîmejr qu'une quantité est triple d*uiie atitfi| On dit que hi i*"' est à la a* dans le rapport de 3 à 1 , ou Comme S est à 1 ; ce qui signifie que la 1'* quantité contient autant d« Ibis la 2^, que le 1^' nombre 3, contient de fois le 2* nottibri 1 , c'est-à-dire 3 fois ; ou encoire qu^ 3 est le triple de 1 > comme la 1^^ quantité est triple de la a®. De sorte* que lé rapport de 3 à 1 est 3 divisé par 1 , ou 3. Les nombres ? 6t:) «e nomment les deux, ^erme^ du rapport; 3 est l'antécédeni , . 1 est le conséquent. ...... ^ ^

iPar analogie i pour exprimer qu'tine quantité es^iév*|'d^i ~ filtre, on dit que la 1'® quantité est à la a"> dans le rappM 7 des nombres 3 et 4« ou comme 3 est a 4; ce qui signifie qâk : la i**^* quantité contient autant de fois la a* , que le i*' notiÂift c B' contient de fois le â^^ nombre 4 V c'est^à^ré ^'de fois; et i, ^core que lé quotient de la .i^'<{oantité par la â* eat'| '.: comme celui du i®** nombre 3 par le û^ nombre 4 S -^ ^ enfin que le i^"^ nombre 3 est les | du a* nombre 4> comi&e \î la i*"^* quantité est les | de la seconde* ' . ):

91 . £n général , le rappbrt entre. dm:^'tiuatiMHé^.^t le quo» tient de la première par la secondé. Or un^ fraction Ç3qpr^aejlf quotient de la dirision ^ de son numérateur par soa 4éfiPr «miçateur (A. n* io5 ). Un rapport est donc eocptimé^p^ une fraction, qui a ptairmianérateurlè^f^ termë^ nfpp^ "étpour dénominat&ir le su' ternie J /De jsovte que, lo^^itre.vfi^ fz été démontré en arithmétique sur les fhactions pluSigmndfifi ^t plus petites que l'unité , s applique aux rapports. Jim^ w» fraction ne change pas de valeur lorsqu'on multiplie dtt\(âiyfk0 «es deux termes par un même nombre , et elle change de T^ent ' lorsqu'on augmente ou diminue ses deux termes d'un - ïo&ïii0 ' nombre (B. n°âai) ; conséquemment; v *^