En général , l'ordre dans lequel on additionne des mo
f AÔmes est indifférent , de sorte quon peut transposer les termes tans en changer la valeur. Sous tel point-de-^ue qu'on envisage les monômes affectés des signes ^ et — ,0/1 obtient le même résultat. On peut donc considérer +^^ -~> ^" comme signes d'opérations , ou comme signes d'unités ; pourvu toutes fois qu'on se rappelle que par unité négative, on entend tunité fositi^É-à soustraire; ce qui revient à dire que dans une somme jduufue unité négative en détruit une positive , car-f- 1 — 1 ^=o , ft^ X -^ 07 4= o. Si Ton examine avec «oin , les résultats expd- [ mes par les identités ...
(-ia) + (+7) + C-4) + (+6)#=-i3+7-4+6#=-5-
On yerra que pour réduire la 1'* quantité à sa plus simple flzpretflion -|~ ^ > il fufEt de former deux sommes ^ Tune + 1 6 , des nombres positif^ + la , +4i l'autre — i3, des nombres Bégati£i — 7 , — 6 ; la différence 3 , entre 16 et i3, affectée dn signe -f"^ qui correspond à la plus forte somme ^ donne la
XM i h iu t n S
tomme rédaite. De même , pour réduire la seconde qi il suffit de calculer deux sommes^ l'une des nombres aiFectés du signe — , Tautre des nombres J , S , préc •igné -f- ; la différence 3 , entre ces deux sommes , affe ligne — ^ qui correspond aux nombres dont la somm plus forte , donne — 3 , pour la valeur de l'expressic posée réduite à sa plus simple expression.
228. En .général, pour réduire une expression coirq plusieurs nombres affectés de signes différens , ilsi^ffit dt deux sommes , l'une des nombres affectés du signe -fdes nombres affectés du signe -*- ; on retranche ensuite petite somme de la plus grande , abstraction faite des et Von donne au reste le signe de la plus forte somme sultat^ qui exprime la quantité proposée réduite à sa plu expression ^ est Aj^OMMe ALGÉBRIQUE des nombres p S*il 8*agit de l'expression . . .
qui indique la somme algébrique AesnoxcAxes + 5 ^ — 6 -^7, + 10 ; on calculera deux sommes, l'une +18 des i l^oaîtifii 5, 3^ 10, l'autre i3 des nombres € y 7> préc eigoe — ; la différence 5 , entre ces deux sommes, affe signe + de la plus forte somme ^ donne + 5 poiu: l'ex] réduite. On trouvera de la même manière , que. . .
2229. La réduction d'une expression composée de tenh ^effectue d'après la règle précédente^ il suffît de consii comme P unité littérale. Ainsi • . .
12jc~7x+4j:— •Sx={=:(i2— 7+4— ^a;t4=(iG— 13),
2230. En général , le coefficient de x , dans la somme rieurs mandmes, e^t la somme algébrique des coefficiet pris avec les signes + et — ^ tfui les précèdent ; et pow une expression composée de termes en x , il siiffît de t la é^mme algébrique des coeffidetis de% ^ pris ^avec le -^ui les précèdent f cette somme est U .coefficient de 1
fàffrestiàfi rédaite. D'après cette règle , la somme des monômes î5x, — 7X, -^^Tf^st (i5— 7 + fl)x, ou lox. Pour réduire le polynôme. . .
Sa: — ' Ci: + 3a? — 72: + lOa:,
: i M pins dmple expresuon ^ on calculera la somme algébrique des coefficieBB 5|— 6, 3,^*7, 10; cette somme se réduit à ^ 5 ; le poljmome réduit est donc 5x. On trouvera de la même nùii&re, que...
(f 9r— «**-4jr-f-^3r)sfa(+ 9 — a — 4-f.7)4r4=(-*" 16— 6)xt4=-f- tor.
aSi. Pour additionner plusieurs quantités ^ on écrira leurs
les uns à la suite des autres et avec leurs signes ; en
nitervant que les termes qui ne sont précédés d'aucuns signes
\»rU censés avoir le signe *|-. Pour réduire la somme qui en
Trsultera, on exprim,era d'abord tous les nombres par un seul^
t après la règle du n* aaS; on exprimera ensuite tous les
iUnnes en x par un seul^ d après la règle du n' a3o ; le monôme
jue, ajouté au monôme algébrique ^ donnera la somme
quantités proposées réduite à sa plus simple expression. Par
ce procédé , toute expression composée de nombres et de termes
enx^ se réduira à deux monômes , dont Pun sera la somme
des nombres ^ et l'autre la somme des termes en x. La somme
des binômes. . .
(iC— ïjr), (TJr — ft), est (16— ajt-f- 70? — a).
Be ie xédtdt ^ {^i'hSx)^ de sorte que. . . .
(16 — ax)-f- (*7jr — a):^(i6 — ax H- 7jr — a) 4= ( 14 -♦•5*). 1
Lm principes e'tablis dans l'Aritbitie'tJqae ( B, no i4i ) > conduisent an
>^ nfsnltat , car b somme des quantités 16, 7jr- étant ( i6-f-7x); si
kipartîes 16, 7g Jimiuueut de ax et de a , dlcs dei^iennent ( 16 — ax) et
Tt—a}^ mais ta soihme (i6h- 7x) doit diminuer de la totalité des
ieitf des pmriieê ajr et a ; cUe devient donc (i6-4'7x — ax— 9),
(14+ Sx). On pem vérifier l'exactitude de ces rt'snltau en donnant h Jt
nknn nnmériques qaclconqnes ; on verra que le nombre exprima pur
'tenue Maîte '('i4-h5x)^ len totijoars e'gal & la somme des nonilMee,
)fl4 ÉLÉMENT
exprUncff par les parties (i6— ax) et (yx— a). Par exemple, ti Toa •appose X = 3 , il en résultera . * . .
i6 — ax = i6 — a. 3 = 16 — 6 = lo 7x — ^ = 7.3 — a = ai "«^ a = 19.
14 H- 5x = i4 -h 6.3 = 14 -f- i5 = ag = 10 + 19.
■ On troavera ée la même manier*. • . * . - '
{ ax — 3 ) -f- ( 7 — 5x ) -4- (9— x>i43 13— 4*
û5a. D'après la définition de la «OUSTRACTION arithmé-' ticfue, on ne peut soustraire que des quantités de même signe; mais comme souvent on ignore le signe des quantités algébriques sur lesquelles- on doit opérer , il faut généraliser le scni attaché à la soustraction , afin qu'elle puisse s^appliquer aux quantités algébriques. Nous dirons donc que, le but de la SOUSTRACTION ALGÉBRIQUE est de détruire dans la quantité dont on soustrait , une quantité égale à celle que l'on sous^ trait; le résultat exprime le reste de la soustraction. De sorte que le reste ajouté à la quantité à soustraire , doit donner une, somme égale à la quantité dont on soustrait. Par exemple , si de ( 5 + g ) on ôte 9 , le reste sera 5 ; ce reste est exact , car ! en lui ajoutant g , on obtient (5 -|- 9 ). Par la même raison , *" soustraire 5 de 9 > c'est détruire dans le nombre 9 , dont on soustrait , le nombre 5 qui est égal à celui que Ton soustrait ; le , reste est 9 — 5 , ou + 4* Si du même nombre 9 , on ôte a unités 1 de moins , il doit rester a unitésde plus ; conséquemment, loiS" t qu'au lieu d'ôter 5 de 9 , on n'en ôte que (5 — 2 ) , le reste aii||| lieu d'être (9— 5), doit être (9 — 5 + a). Voici ces detiSM opérations ....
de + 9 ^ 1*
4iez(-f. 5-73) . ^
de ^ 9 6tez -f- 5
reste + 9 — 5.
reste -♦• 9 — 5 H- a.
Dans la i'^*, le reste est composé du nombre dont on sous-^'j
un
it pris avec son signe , et du nombreà soustraire pris avec l signe contraire; dans laa% le reste-f-g— 5 + a est en-i
p'à L G â B R e; laS
itofe composé du nombre + 9 , dont on soustrait^ pris avec son ligne y et des termes +5, — a , de la quantité à soustraire pris avec, des signes contrées. On parviendrait an même ré-> £ultat , en observant que pour retrancher ( + 5 — a) de + 9, il faut détruire dans le nombre 9 , les termes + 5 ; -— a ^ de-lia quantité à soustraire ; cette destruction deviendra possible, si sans changer la quantité . dont on soustrait ^ on y introduit les termes -rf- 5 , — a de la quantité à. soustraire ; on satisfera à ces deux conditions , en ajoutant au nombre 9 , chacun des termes de la quantité à soustraire pris avec les signes -f- et -^ ; cax alors le nombre 9 ne changera pas de valeur , et deviendra (9+5— 5 + a — a), ou (9 — 5 + a) +(5 — a); pour en ôter (5 — a)^ il suffira d'effacer la quantité à soustraire (5'r!— a)i,ce qui donnera (3-— 5-|-a) pour reste. Ce reste' est exact , car ajouté au nombre ( 5— a ) que l'on a soustrait; il donne tme somme ( 9 -^ 5 -f- a + 5 — a ) ; qui se réduit au nombre 9 dont on soustrait. £t en eifet^ slde g ^ on ôte (5 — a) ^^ ou 5, le reste doit être (9 — 5 + a ) , ou.6.
Les mêmes raisonnémens s^appliquer'à\ent àiix quantités lit*
tërales. Par exemple^ pour soustraire (70?— 3) de (65 — gx),
^■ifa ajoutera à la quantité dont on soustrait , les termes yx, ^ ^
3e la quantité à soustraire , pris en + et en — ; ce qui con-*-
dmra au calcul suivant. • .
de (65— 9x),oîi(65— 9x — 7x-»-3)+ (>^x— 3)., <(tant ']x-^S, ■•
reste 65 — or — 7a: -4- 3 ^
On voit que ce reste est ,fip.core composé de la quantité i65— go;) dont on soustrait^ et des termes + 70:, — 5de Icf \fiantité à soustraire, pris avec des signes contraires,
aSS. En général , pour obtenir le reste d'une soustraction , il
it d'écrire les terrils de, (a quantité dont on soustrait, avec
rs signes^ On met à. leur .suite les termes de la quantité à
ttraire , en changeant fe^ , signes +L0»rrT!i et, les signes t**f
k+. Le résultat exprime ,1^ reste demandé. De sorie que pour
distraire une, quantité , H su^t ien écrire les termes en chan*.
1^^ iK t i V B « 3
gisant Ufi fiign9^ ^€t -r-» en -rr et «f*. Qn rédudhfiêsêê è M plus sip»pl0 ejspr^siçn , d'après la xègW du n* aSi . Ainsi ^ pott floustrmri» (7:p **- ?) 'de (S-rr-gx) » on éaira la quantîK ^-T-giti et roa omettra à 9& suite les termes 4-707, ^-r 8^ di lu quantité 9. soustcaine, en changeant les signes -^ et '— , ea«^ çt4-; 1« résultat <5?-9j;-^7x +3) , cxpniaera le reete demandé. On tcouvera de la jnême manière , qnc . • . .
r3x— a )— (Sx — 5) 43 (3a:— a ^5a?+5)433.
934. P*^rès.pf^ règle ^ jf/ m/^»it gu m4m^ 4» retrmdm VMc quantité y ni^ 4e J' Ajouter en cbqngecmt 2e^ ^Hef 4s iqtf ses termes. Ea yo^cÂ>u{^ exeo^le ;
(5j?— 3) — (7a>*-si3 4=(5a:^-S) 4- ('^^+2) =f« 5jp ■ 5 * 7x4a
a35. Le signe — ^ ^i précède yne parenthèse , exprimant (|iii la quantité qu elle renfenpe doit être petr.anchée ; vq^rôter UM parenthèse pré'cëâééîSu signe -r^, il faut chafiger l^ signes di termes qu'elle renferme j et réciproquement , quand on vfnU renfermer plusieurs tetjnes dans une parenthèse précédé^ Jk signe — , il faut changer les signejs d^ ces termes. Par e:{Le|BpI§a étant donné VexpreSsion ,( 5x-r- 3 — 7;;p 4. 2 ) , si qja. yeyt iew fermer les termes — jx, +2, dans ui^e parenlhè^e grécédél du signe — ^ on changera les signes de ces termes , ce qui doiH liera. ...
(Sx-— ■3-r--7x4"2)43^5j:.'=?3).-^^7x-»a), -
■ ■ ■•■■Il '
2236. Quand on considère M multiplication comme une ad^
tion abrégée, le multiplicateur est essentiellement positif; i"^
l'algèbre pouvant conduire à multiplier par une quantité^ d<
on ignore le signe effectif, il faut prendre lé multiplicateur d
«oe acception plus jgénérale. Pour jr^parve^r, il suSk de èe-np-
peler que les signes 4. et — indiquant l'ilddition et la sd^stasÉM
èion , comme le multiplicateur abstrait , qui est censé afiFectJ
du «igné 4> indique l'addition de quantités égales au midti-
plicande ; le multiplicateur affecté eu signe — , deit inéUqûefti
wustrac$iondiq%iantUéségàesim~ni^kipikand0. Par^^tnfîKl
L G E B ft E.
5par + 3. kanltiplkatMr+S»
an mnhi^i!îoaBci« kpraittit dtt
3 foHS.oa-— > iS>
Ponr iBwpii tocs la dont» , et £ûre roir commtnt oa peut mndiit à mnhîplîer par on nombre négatif -^ 3 , nous qne x étant quelconque , on propose de multiplier '5par (x— 6 ), c'efit-à-<!ire de prendre + ^ > o^^ nombre d^ marqas par (x — 5). Le produit de + 3 par x, étant x pi 5 ou 5x ; si le nmltiplicateur x diminue de 6 unit«^9 et de- ^ C**"^^) » 1^ produit Sx diminuera de 6 fois le multipli- Me*|^5(B.noi5a),etdeTiendra(3x— 5.6) ou(5x*3o);
XiMù ifantifip devant subsister pour des \-aleun quelconques |x, ai Ton met snccessiTement g et 3 au lieu de x, il viendra
[4.5}.(9 6::l3(5.9*3o); oo (4-5j (+5) 4r-t-5,3=fc-i-5->.5-i- 5 l+5).(3—6;:ii- 5.3—30; 5 oa (-f.5} ;— 3)=fc— 5.34=— 5 — 5 — 5.
Ces résultats 4lémontrent que , multiplier + 5 par + 3 , re- ^ei^ à ajopter 3 fois 5 , tandis que la multiplication de + 5 "^ f— 5, Terient à soustraire 3 fois 5. De sorte que le mii//iw positif + Z^ indiqufmt Taddition de 3 nombres au multipiicande + 5 , /e multiplicateur négatif — 3 (' une acception directement opposée et indique la îj^ACTlON de 3 nombres égaux au multiplicande -f- 5. ilFia n'attachait pas ce sens aux signes -)- et -«-du multipli-. l, fidentité
dt que pour des valeurs de x plus grandes que 6/ ffî nniralt à la généralité de Talgèbre.
laS é L £ M E N S
aSy. Ainsi ^ pour que les formules relatives à là inultipUcA tion soient générales , il faut que les signes -f- et^^.qui pemwà affecter le multiplicateur, indiquent ses manières 'd'être oppaa sées , c'est-à-dire qu'en général. ... i
a38. Le multiplicateur positif indique combien de fois oÉ doit ajouter le multiplicande , et le multiplicateur négatif marqua combien de fois on doit soustraire le multiplicande. Cette dé« finition détermine le signe du produit. £n effet , dans la mut tiplication de + S par -f- 3, le multiplicateur -f- 3 indiqaanl Taddition de 3 nombres égaux au multiplicande 5 , lé prodnî! ' aéra + i5. Dans la multiplication de — 5 par -f" 3 , le mnlth plicateur + 3 indigue l'addition de 3 nombres égaux an mnLi tiplicande — • 5 *, lé produit sera donc —5 — 5 — 5,ou — 15 Dans la multiplicatioii de -4- 5 par— ^3, Te multiplicateur— îS indique la soustraction de 3 nombres çgaux au multiplicand -}- 5 ; le produit sera donc — 5 — 5 — 5, pu — i5. Enfin, le produit de — 5 par — 3,1e multiplicateur — 3/ indique soustraction de 3 nombres égaux au multiplicande — '- 5 ; pour soustraire on change le signe (n^â33), le produite mandé est donc -f- 5 -|- 5 +5, ou 4^ i 5. Ces résultats démônl que....
le produit de + 5 par -f- 3 , cft 4- i5
le produit de — 5 par — ■ 3 , est + i5
le produit de -|- 5 par — 3 , est — i5 .
le produit de — Ô par -f- 3 , est *•— i5. ••••''
239. On en déduit cette règle générale : Dans Ja mult^ cation de deux monômes , le produit a le signe -f- , quand WÊ facteurs ont d^s signes semblables , cest-à-diref ou tous d^jA le signe + ou. tous deux le signe — ; et le produit a le signç-^ quand ses facteurs ont des signçs j^ifférens. C'est ,ce 4*^^ énonce d'une manière plus abrégée , en disant que & jMf^j duit de deux signes semblables étant '^ , celui de deux sigf^ différens est-^. Ce dernier énoncé est vicieux, car les signi ji' étant pas des quantités , on ne pèùJt pas multiplier un sig} par un autre. On conçoit que le produit de deux facteursw gatifs peut être positif, mais l'expression moins par- mç^
d' À L C è B R E. ISC)
àofute plus y prise à la lettre , est absurde. Cependant, pour nous conformer à l'usage , nous conserverons cette manière abrégea d'énoncer la règle ^ en nous rappelant son véritable sens.
fl4o. La règle des signes (n* aSg ) , n'est qu'une conséquence immédiate du sens que nous avons attaché au signe du multi^ plicateur^ En effets i^ le signe -f- du multiplicateur , indiquant fae^ multiplicande doit être ajouté plusieurs fois, le produit , qni exprime 1^ somme de plusieurs quantités égales au multiplicande , a nécessairement le signe du multiplicande. Ainsi , •f- par -f- donne + ; et •*- par -f donne — ; a*, le signe — du Bnltiplicateur , exprime que le multiplicande doit être soustrait plusieurs fois ; mais pour soustraire une quantité, on doit danger son signe ( n^ a33 ) ; le produit est donc la somme de • plosieun quantités de signes contraires à celui du multipH- 'cinde ; ce produit doit donc avoir un signe contraire à celui du arahiplicanâe. Il en résulte que le produit de -|- par — , est — , et qne celui de — par — est + .
La régie du n® sSq , suffisant pour déterminer le signe du
' produit de deux monômes , cherchons la valeur de ce produit»
41)8tractîon faite des signes. Quand les deux facteurs sont des
nombres , on effectue la multiplication d'êtres les principes de
f Arithmétique,
24^, Lorsqu'on veut multiplier un monôme en x par un nombre y il suffit de multiplier le coefficient de x par ce nombre , ttr le monôme indiquant le produit de x par son coefficient ^ multiplier un monôme , il suffit de multiplier le coefficient P(B, n" i58). Ainsi, pour multiplier par 3 , le produit 7X, de jc [liir7, il suffit démultiplier le facteur 7 par 3 ( B. n® i58 ) ; [M qui donne ai a?. On parvient au même résultat en reœarit que le produit de jx par 3 est égal à 3 fois jx, ou. [7*+7^ + 7^)> ou flij;. Enfin, on peut dire que....
3 fois 707=3 . 7x=3 . 7.0; = 3107.
mi produit ne change pas, quand on change Tordre des fac- . ( B. n** i56 ) -, le produit de 3 par jx est donc 21X.
Si Ton combine le9 règles des n** îsZ^ ; a4i , on trouvera qr
l3o . ÉLÉMENT
le produit de + 7X par +4, est + aSir ; que jDçlui de — 70? par + 4 « est — flSx ; que celui de — 'jx par — 4 > est + aSo: ; et que celui de + *jx par — 4> est — aSo;. Ces résultats sont exprimés par les identités. • .
Nous *Toxi» vu (n° 187) que a X a:, ou 2 . a?, ou ax, exprimeiy^ paiement le produit de a par a;. Le produit de plusieurs lettres s'indique de la même manière. Ainsi les expressions x X ^ > x,x ^ XX /indiquent également le produit de x par x. Le pj:o-« dijût de 3 facteurs égaux à x ^ sera indiqué par x X ^ X ^ ou ar.x.x^ ou xxx. Si x yalait 4^ alors
XX =4. 4^= ^^5, ^•^•^=4- 4 -4= iG.4-=64.
a43* E^ génçral ^ pour indiquer h produit de plusieurs lettres , on écrit ces lettres les unes 4 la suite des autres sans tes séparer par aucuns signes,
tyy
a43. La multiplication des monômes ne peut plus offrir de A^fficuîté. Par exemple, le produit de 7r parx, étant 7'xxj; J celui de 7X par Sx sera 3 fois 7xx, ou aixx. Les seuls prin- j cipes de Taritlimétique conduisent au même résultat , car un produit ne changeant pas lorsqu'on change f ordre des facteurs^ '. et la mukiplication par un produit pouvant s'effectuer en mul- ■ tipliant par les facteurs du produit (B. n*** i5S et i54), 1©. ^ produit de 7X par 3x, devient. ... -i,
<7^) X(?^)=i=7^><5X^=#7-^-3-^4=3.7.;r.x==f=?î>ix:jB."-'
a44- En .général, pour former le produit^e plusieurs lyio- . nômes , il si^t d*€crire les lettres les unes à la suite des œk^ 4res , et de lesaffetter d'un coefficient égralau produit des cqtf^^ ficiens des facteurs. On détermine U signe du produis daptiB ^ ia règle du n** i^Sg. Ainsi. . . .
<+7^) • (—4^) #= — ^8x^ \ (—7^) (—4a?) =# + tAxsp^ ■ ^ S45. Le produit de deux polj^uômied se diéduit dès r^Ifipri
cnmées.poiif 1> maltiplication des monômes. En effet; i*. pcmr inltiplier'<i i — * 7 ) pv 3 , il suffit de prendre 3 fois (i i ^7) ;
•^O»— ?) + ("— 7) + (ii — 7)> ouS.. 11—5.7
sxprime donc le produit demandé. On trouvera de la mêm^ nuudère. . . .
(11— 7)( + fl) = 3i.u— a.7.
a*. Le produit de (11 — 7) par 3, étant (3.11—3.7); •* k multiplicateur 3 diminue dé a unités , et devient (3— a), le podnit diminuera de a fois le multiplicande^B. n^ i5a) , ou de sfois^ii— 7), oude(a.ii-*a.7). Le produit de (11 — 7) pir (3— a) est donc
(3.11—5.7) — (a. 11 -^3.7)4=3. Il — 3.7 — a. 11 +3.7; On a donc l'identité ....
(11— 7).(5 — a)=#+5. 11 — 3.7 — a.ii + a.7(*).
En comparant les termes des facteurs avec ceux du produit^'
•û voit que les deux premiers termes +3.11,-3.7, **^"* '®*
ftDdnits ^respectifs des termes + 11, — 7 du multiplicande »
pir-|-5^ i*** terme du multiplicateur; et que les deux autres
larmes — a . 1 1 , + 3 .7, sont les produits des terme-^ + ri, — 7
. Al multiplicande par — a , second terme du multiplicateur.
On peut donc former le produit d'après les règles données pour
ka moBÔmes , «n multipliant les termes -f- 1 1 , -* 7 du multi-^
plicande^ par les termes -f- 3, — a, du multiplicateur. £t
.comme les mêmes remarques pourraient se faire dans un pro-*
[4dl quelconque , nous établirons cette règle générale :
a46. Pour obtenir le produit de deux polynômes , il suffit dà successivement tous les termes du multiplicande , paf
(*) L^cxacûtnde de ce rënilut est mise en évidence , loitqp' «I le pmdnit; car le prodait. . . .
S.ii — 3.7— «.it-«-a.7=:33— •!— aa-4- f4=47" ii« AdÎTfMMk pc»d«it di ( il — 7) tii 4y P« (t
i3fl Ê L É M E K S
chaque terme du muîdpâcateur ^ daprès '«5 rè^es donn pour la mulLiplîctxUoa des momomes, La somme àn^ produk ptirtiels ainsi formes ^ compose le produit total. Par erptnpl pour multiplier (9 — ajc) par (7 — 3), on effecrue.a V»» pro.î J ces termes + g j — sx du maltiplicande « par Ie« t**\ine8 -f* — 3 dn multiplicateur ; la somme (63 — i4x— -17 +&r)y produits partiels , exprimera le produit demandé. On fliiiipoijj les calculs de la manière sai?ante. . .
Multiplicande ... ( -|~ 9 "~^) Multiplicateur... (+7 — 3)
Produit total. . . ( + 63 — \^ — a7 + 6x).
Et Ton dit ; le produit de + g par + 7 , est + 63 ; celnii — ax par + 7, est — i^ ; celui de + g par — 3, est —371 enfin , celui de — ax par — 3 ^ est + 6x ; la somme de produits partiels compose le produit total. Il se réduit ( 36 — £x). Dans cet exemple, on pourait abréger le calciil| en observant que le multiplicateur (7 — 3) est égali4> produit devient 4 fois (g — ox) , ou ( 36 — 8x). £n généial| on simplifie les calculs , en opérant sur des quantités^n à leurs plus simples expreMons.
247. Pour former le produit d'un nombre quelconque facteurs , multipliez le produit des deux premiers facteurs , le 5' facteur; le résultat ^ multiplie par le J^* facteur, doi le produit des quatre premiers facteurs; et ainsi k
Pour obtenir le produit des trois facteurs (x— 1), (x— a)jj (3 — 2x) ; on multipliera (x— i ) par (x— a); le réniltllj XX — 3x + a , multiplié par (3 — ax ) , donnera
— axxx + gxx — i3x + 6
pour le produit demandé.
a48. Nous terminerons la multiplication en remarquant qoft les produits de + a par — x , et de — a par + x, étant égÊjaSi à — s^x } on peut dire que dans le monôme— a^Ti le
a; «rt 4*3|<'D que le coefficient de «f- 3; est — *. Sont ceir point de vue , les coeffîciens de x peuvent être posUtfi ou ifs , suivant qu'Us sont précédés des signes -f- ou — ; dans cette acception que nous preodroni désormÛB les dent.
|. £a DIVISION ÀLCéBeLlQVZ a pour but , connaissant l» lit de deux fadeurs , nommé dividende , et l'un tTeux té diviseur, de découvrir Vautre facteur appelé quo-
>. D'aprèa cette dé&oitîdti, le diviseim multiplié parle tnt, doit reproduire le dividende en grandeur et en signe, is les règles relatives à la division , se déduisent de cett» iité, et des principes établisdans la multiplication. Ainsi. ^
t identités sont exactes , car dans chacune le diviseur inul> par le quotient reproduit le dividende , en grandeur et en , Par exemple , le quotient de — 6 par — 3 est égal k+3, ) diviseur qui .est— s, multipUé par le quotient -f- 3 „ doit le dividende —6 («"nSg).
I . Ces résultats démontrent que te quotient de deux quane^ectées de signes semblables est positif, et que celui d& : fpuuUités affectées de signes differens est négatif; ce a énonce de cette manière abrégée , le quotient de deux, a semblables est ■+■, et celui de deux signes differens. -. Si l'on compare cette règle avec celle du n" aSg , on iqne la régie des signes est la même dans la mulliplicaiion mt la division. Ainsi
p. La rigle précédente ditu h&au comment on obtient 1^...^, niit doit CDoteoir x- La-^ii(0
loG , É L É M E M S'
nant h « une valeur x]inmeriq[iie , 35 pai^exemple , il viendra , .
4—=; 4' — :^ /i.5r^/i£oisS,
et le calcul seul peut faire connaître si le ^e de i4o est égal à 4 fois 5. Mai» une démonstration générale doit être indépendante de la valeur numé" rique du résultat. ( A. n** 58) j il est donc indispensable de démontrer Texactitude de l'identité'. . .
Pour y parvenir, nons opérerons sur x , comme nous Pavons fait sur Tunité (A. n* io3 ) ^ ainsi , nouii décomposerons ^x en ses élémen» (.« -4- ar + a; -f-« ) j et observant que prendre le 7 « de 4* , revient à prendre successivement le 7« de ses parties ^ on aura. • . .
4£4=f + ^ + * + f -f, 4 fois ^ + 4 • -+ ^a^-
On parvient plus directement an même résultat en observant que pour diviser par 7 le produit '^x , il suffit de diviser Tua des facteurs 4 ou- ^ par 7 (B. n® i58) ; ce qui*donne. ...
On énonce ainsi ces quantités. . . .
4^ diuisé par 7 ; . - de x j 4 ^'* ^^ 7* ^ '^^
258. La théorie des fractions numériques , ayant été démontrée d'une manière générale dans l'Arithmétique, j'applique aux fractions algébriques , car ces dernières ne sont que les premières écrites d'une manière plus générale. Je me bornerai donc ici à appliquer les règles données dans T Arithmétique , à quelques firactions algébriques ; je démontrerai ensuite les nouvelles propriété» qui doivent résulter de rintroduction des signes -+- et — .
259. Pour ajouter ou pover soustraire des fractions de mêm9 dénominateur ^ il faut calculer la somme ou la différence de leurs numérateurs, et cffecter le résultat du dénominateur commun (^ A. n** A a ). D*après cette règle ^
•btenir le quotient de (^6x — 4) P^r s, on divisera les termes 6xy — 4i d^ dividende, par le diviseur a; la somme (3x — a) des quotiens partiels 3x, — a, exprime le quotient total; ce quotient est exact, car multiplié par le diviseur a, il reproduit le dividende (Gx — 4)- O^ trouvera, d'après cette règle. . .
o ^ ^ — -^ -f- 5 =^ ^x — ax -+- 3
a56. Les problèmes contenus dans cette 1'* partie, ne conduisant pas à diviser deux polynômes Tun par Tautre , et cette opération offrant quelques difficultés , nous renverrons la division complexe , à la seconde partie de ces ElémensJ
