X -f- 4^ î= ïo -♦" 5 j 5x = i5 5 X
2288. En général, on abrège les calculs en profitant de toi les simplifications qui résultent des propriétés établies dt le n^ Q,jç^,
y* exemple. Résoudre Téquation....
Si Ton opère comme dans les exemples précédens , on trouvera ....
5x 35 donc. ... --Ç- = -— ; 5x = 35 i x = 7.
939. En général; lorsque tous Us termes d'une équation ont le tri
|> 9^ Ce rétultat doit parfaire absurde , on ne conçoit pas cornit la quantité positive + x , peut être égale au nombre , négatif -— la ; pour s'en rendre compte , il faut observer qu« Je CAI1aCTÈ&£ z étarit destiné à représenter une quantité iix-^ €Ottnue, on ignore la grandeur et le signe de cette quantité ; .ce n'es^ donc qu* après avoir résolu t équation qui exprime les , conditions du problème , qu^on peut connaître la grandeur et itê signe de x. Ainsi , dans notre exemple, le résultat x= — la , le que la quantité représentée par x , doit être négative égale à *— iSy pour satisfaire à Téquation proposée. Et en Fet, si l'on substitue pour x sa valeur — 12 ^ chaque membre |dfvient égal à — -3i. Voici le calcul. . .
i7 + 4x=i7-h4( — ia) = i7 — 48 = — 3i 5 + 5r= 5 + 3(— ia)= 5 — 36 = — 3i.
Nous expliquerons , dans la seconde partie , le sens qu'on [doit attacher aux valeurs négatives de l'inconnue ; notre seul ffcit était de faire voir que dans une équation , le caractère x peut représenter un nombre négatif . A l'inspection de l'équation proposée , on pouvait prévoir que x ne serait pas positif, car «n mettant pour x un nombre positif quelconque , le premier luembre (17+4^) prend une valeur numérique plus grande «Jne celle du deuxième membre (5 + 3x).
âgS. Les méthodes exposées dans les exemples précédens , conduisent à cette règle générale. Pour résoudre une équation du premier degré à une seule inconnue ; commencez par chasser les dénominateurs , en multipliant les deux membres par une quantité divisible par chaque dénominateur. Im plus petite .ipumtité qui satisfasse à cette condition , est le plus petit déwminateur commun (B. n« 210). Faites ensuite passer tous |w termes en x dans le 1" membre , et les nombres dans le ^ membre. Réduisez chaque membre à sa plus simple expression, d'après la règle du n" a3i ; le i"" membre sera tin-- 'Onnue x , multipliée par un nombre entier , et le a' membre era un nombre entier. La division du a' membre par le coef" îcient de X, donnera la valeur de x. Dans Tapplication de
X6ù £ L É if C N ^
cette règle ^ on doit profiter de toutes les siihplificationi calcul fondées sur les principes du n^ 279 , et sur les mé abrégées énoncées dans mon Arithmétique. Lorsque té proposée conduit à une identité , on doit en conclure qu'i nombre quelconque , mis au lieu de x, réduit chaque m à un même nombre ; de sorte que x est INDÉTERMINÉ. problème qui conduirait à cette équation , serait donc suSi tible dune infinité de solutions. Lorsqu*on est conduit â absurdité , on peut en conclure qu aucun nombre , positif négatif, ne peut satisfaire à F équation proposée ; de sorte tout problème qui conduirait à cette équation, serait sible. En général, une ÉQUATION du. 1" degré est PÉTERMK KÉE lorsqueUe n admet qu^une valeur de l'inconnue xj est INDÉTERMINÉE y lorsqueUe admet des valeurs arbitrai de x; enfin , elle est IMPOSSIBLE , lorsqu* aucune valeur de ne peut y satisfaire.
aqS. Jusqu'ici, les équations que nous avons résolues renfernlaient que des nombres abstraits , combinés ayec 1' connue x ; ce qui a donné un nombre abstrait pour la val< de X. Mais comme on est souvent conduit à des éqna< entre des nombres concrets , nous allons chercher à les soudre. Pour abréger le discours , npus nommerons équations abstraites , celles qui ne contiendront que des nombres abs^i traits, et équations concrètes,' celles qui contiendront àtM] nombres concrets, La résolution des équations concrètes , repose sur quelques principes que nous allons d'abord établir-
Les deux membres d'une équation sont nécessairement coi posés de quantités de mÂme nature, car nous avons vu arithmétique , qu'on ne pouvait pas comparer des quantil de nature différente. Il serait absurde de supposer ....
5^+ 7=12*; ou 3 mois 4-^ = 5 toises.
Les équations ... ce -f- 7* = 17* ; 20: + 6 toises =14 toises,]
peuvent exister , en regardant x comme un nombre concret;
mais elles deviendraient absurdes, si x devait représenter un
nombre abstrait ; car elles donnent a; = 1 o^ et a; 9= 4 toises» !
tors^u*on opère sur des nombres concrets , la nature de ^diaque règle impose des conditions y qui pourraierU arrêter dans les calculs algébriques. Par exemple , si x représentait m nombre concret, on ne pourrait pas multiplier par x. Il kst donc nécessaire, pour conserver à C algèbre toute sa gcnira- Uté, de regarder x comme un nombre abstrait. On peut toujours satisfaire à celle condition , en ajfectant le nombre abstrait x , iiiu signes adoptés pour les unités concrètes. Par exemple , û uinconnae d'un problème était le prix d*une marchandiae , on 'iiagaerait ce prix par x*, ou x fois i* ; et x serait abstrait.
297. L'égalité qui existe entre des quantités concrètes , rc^
eûtes à la même unité y subsiste encore lorsqu'on fait abstrac"
tion de la nature de cette unité. Par exemple , on n'altère pas
h valeur de x, en passant de Y équation concrète 5x*==ia*
^Y équation abstraite 3j:= lâ ; car cela revient à diviser ckaque
feiembre par l'unité concrète i*. En effet , Téquation 3x*=i2*,
RBsprîme que Zx fois 1*= 12 fois i*, ou que 3a;= 12. On
fej déduit j; = 4> cette valeur de x satisfait à l'équation pro-
j^oaee^ car il en résulte 3a:* =3.2^ — 12*. On verrait de la
k&êiiie manière qu'on peut passer des équations concrètes
3x* — 4*=2Jt* + 7*; 3x* — 4' = 2x' + 7' tax é<|uation4 abstraites
Soc — 1. 4 = ax + 7 ; 3x — 4 = 2-^ + 7-
Car cela se réduit  supprimer le facteur, 1* ou 1 toise , un aux deux membres de chaque équation. La vaor = 11, satisfait à ces quatre équations , car chaque bre est alors composé de 29 unités.
âgS. Si l'équation proposée contenait des unités différentes ; commencerait par rapporter tous les termes à la même unité, ton ferait ensuite abstraction de la nature de cette unité. Vus ;«mple , pour résoudre Téquation. ..
^ xédoîra tout en boos, de la manière soivante. . • .
3^=: Oo^ 5 ^x^*"s=: 3x fois 1"^=: ax fois ao"^ = ^ojr-^ j
]6*2 é L if M E M s
l'cquadon proposce devient alors ....
d'oîi (n« 397)
Cette Ttleur de x satisfait & l'ëquation proposée , car elle lédiût membre à G^^é En effet, xs=a donne •^. .
4xJ'-|* 3* = 4.2J'4- 3* = 6J'+6o^=68J'.
âgg. Pour résoudre une équation concrète y il faut en n^! porter tous les termes à la même unité concrète , et rempUMt dans le résultat Vunité toncrète par. l'unité abstrcdte , ce qiil revient à supprimer le signe indicatif de l'unité concrète. Oà\ n'a plus qu'une équation abstraite à résoudre; ce qui s'exécute^ d'après la règle du n" 296. On évite les fractions, en rapportan^ tous les termes à la plus petite des unités concrètes énQncétil dans l'équation. S'il s'agit de l'équation concrète . . •
on réduira tout en deniers. Voici le calcul....
i^4=ia3N j 1^4=30^*4=240^} 14^ 4=336o»*; 4*- 4=960»^; Zzit" 4= 3x fois iH'z^ 3x fois 240^ 4= 720*^ ; d'où 3x'^ : 10 4=7**** î aar*^ 4= 2x fois i''* 4= 20: fois 1 2^ 4=^4^^* La substitution de ce» valeurs dans Tcquation proposée, donne..*.
remplaçant Punité concrète 1*, par Timitë abstraite i , on trouve. . . .
