L.*» 3« bourse contenait. ......... 7* =f

La 4** bonrse contenait . • • . r •. 6*7* 4= 4^*

. Lps quatre l^purses contenaient donc. .......... 90"^

• ïai. Un Gascon interrogé sur la date du mo. jt Fheure

ie îa journée , fit cette répome eniorliUée: Si au tiers des jours du mois déjà écoulés, vous ajoutez la moitié de ceux qui restent à écouler j vous aurez le q'iantième du mois. Il ei>t midi fossé, et si vous premz le^ '^ du nombre d'heures quHy a d'ici i minuit, vous aurez un nombre qui surpassera 4 , de la même ftantité dont le nombre d'heures écoulées depuis midi est sur-- .foisé par lo. On propose de découvrir la date du mois ei theure du jour. Le mois est de 3o jours. Cet énoncé conduit i résoudre deux problèmes distincts; car la date du mois est entièrement indt^pendante de l'heure de la journée. Nous allons jdonc cbercher feucces^ivemcnt ces deux inconnues.

i". Pour trouver la date du mois , on suppo'^era qu'on est au (6x4" i) du mois-, le nombre des jours écoulés sera 6j:, et il restera j[3o — 6x) jours à écouler. L'énoncé dit que si au tiers 2x, des jours du mois déjà écoulés, on ajoute la moitié (i5 — 3x) ^ ceux qui restent à écouler ; la somme sera le quantième iH^x -(- i) du mois. On a donc

ax + (i5 — 3x) = 6x+i ;

jc = 3 ; 6x + 1 = 1 2 -|- 1 = i3-

^ On était donc au \Z' jour du mois,

; . a*. Cherchons maintenant l'heure de la journée; supposons ^*il fcoit 3x heures après midi ; de cette heure à minuit il y a Ifi3-^3x) heures; or l'énoncé dit^que si l'on prend les 4 de fiCe nombre d'h<îures, on aura un nombre qui surpassera 4; de ** même quantité dont le nombre 3x , des heures écoulées depuis midi , est surpassé par lo; donc

§(13 — 34?) — 4=io — 3x; d'où a;=3; 3x = 9,

i était donc 9 heures après midi,

3q2. Lne dévote entre dans une église, avec une certaine "omme; Dieu double cette somme , et en portant de l'église , o dévote donne ic* aux pauvicô. Elle entre dans une axitre ^lise, pour y faire sa prière; Dieu double son argent ; elle

hyo i L É M K N s

sort de eetie église ^ et donne ao^ aux pauvres. Le double de t argent qui lui reste après cette dernière aumône , est autant au-^dessous de aod"', que le triple de cet argent est aur-dessus de 200^. Combien la dévote avait^^Ue d'argent en entrant dam ia première église ? On supposera que la dévote entre dans la :i'* église avec x* ; elle en sort avec le double f^ , et donn» !io*" ; elle entre dans la a* église avec ax** — lo* ; elle en sort avec le double (4x*— ao*) , et donne ao* ; il lui reste donc ; (4^* — 4o*) ; le double de l'argent qui lui reste après cette | dernière aumône , est au-dessous de aoo*,'de aco*" — a (4^;— 4o)**» i et le triple de cet argent est au-dessus de aoo*, de 3(4^ — 4°)*' «— aoo^; mais d'après Ténoncé^ ces deux différences doivent être égales; donc. • .

3C4a: — 4o) — aoo=:3oo — a(4a:— 4^); d'où a:=3o.

La dévote est donc entrée dans la V* église avec 3o^. En voici J la preuve; la dévote entre dans la i'* église avec 3o**, elle tA • sort avec le double 6o*; elle donne lo* ; il lui reste 5o*, eu j entrant dans la a® église ; elle en sort avec loo''^; elle donne 20*; il lui reste 8o*. Le double de cette dernière somme ert au-dessous de aoo* , de 4o* * et le triple de cet argent eît. aussi de 4o*> au-dessus de iSoo*, comme l'exige l'énoncé.

3a3. Deux marchands, qui avaient mis loooo'"' en société y ont gagné 325o^/ le gain du i"' surpasse de 65o* celui du a\ On demande les mises et les gains de chaque marchand. Soit x^y le gain du a* marchand; le gain du i**", qui le surpasse de 65o*, sera (a:* + 65o*). Mais la somme de ces gains est SaSo* ; donc ...

{x + G5o) + a: r= oaSo ; d'où x = i ooo.

Le a* marchand a donc gagné i3oo* ; le i®*" , qui a gagné G5o* de plus, aura gagné 1950*. Cherchons maintenant Ict mises de chaque marchand , par la méthode du n° ^i.

' le pàn SoSotf rëpondinc à la miie loooo*^;

le gain i*, répondra à la mise -^ ^ 9 ou. i^ 5

ie gain iSoc*, r^nd à la mise, i3oo fois -^ > on ^ooq'^

If gain xgSo*, répond A la mise, igSo fois ^ y on 6000''^-

Ainsi, /6 â' marchand a ms J^ood"^ ^ et a gagné iSoo^; la ïïfùe du 1*^ marchand est 6000^, et son gain est i^Sd^. Cef résultats satisfont aux conditions du problème, car la mise totalâr est 4000^+6000*", ou 10000^; la somme des gains est iSoo*" + igSo*", ou SaSo'"' ; et le gain du i*' marchand , surpasse de 65o^ , le gain du a* marchand.

3a4- ^^ nombre est composé de deux chiffres ; le chiffre des unités est double de celui des dixaines, et lorsqu'on ajoute 36 d ce nombre , la somme est égale au nombre RENVERSÉ {*). On demande quel est le nombre qui jouit de ces propriétés. Si le chifFre des dixaines est x , celui des unités sera qx \ le nombre cherché sera x dixaines plus 2x unités ; ce nombre renversé sera donc qx dixaines plus x unités ; mais le nombre cherché plus 3S , doit être égal au nombre renversé ; donc . . .

(x dixaines + ax unités + 3G) zp {ax dixaines -j- x unités) .

Pour résoudre cette équation , on observera qu'une dixaine valant lo unités, x dixaines valent lox unités, et ax dixaines valent 20x unités. L'équation précédente devient donc . • .

( 1 ox + 2x + 3G) unités = (20X + x) unités ; d'où

lox -f- 2J^ + 36 = 20X -{- x; X = 4 ; ûx = 8.

Le nombre cherché, devant être composé de 4 dixaines et ie 8 unités , est donc 48. Ce nombre satisfait à toutes les Conditions du problème , car le chiffre des unités est double

(*) On dit qu'un nombre est iiEîrvERSt, lorsque ses chiffres sont écrits tlans un ordre inverse. Ainsi , 8^ est le nombre iS renverse ; le nombre ia34*'> renverse devient 54321.

de celui des dixaines ; et si Ton ajoute 36 à 48 > on obtient &{, qui est le nombre 48 renversé.

3a5. lJn> nombre est composé de 3 chiffres. La sômme'di ses chiffres est 11; le chiffre des unités est double de cebd iet centaines f et quand on ajoute 297 à ce nombre , on obûaA une somme qui est le nombre renversé. Quel est le nombre qui jouit de ces propriétés ? Si le chiiFre des centaines est x, celû des unités sera sa: ; et comme la somme des trois chiffre» yaut 11 ^ le chiffre des dixaines sera (11 —-3a:) ; donc...»

le nombre = >v centaines -+- ('ii — 3ar) dixaines -*- ax unités ; le nombre renversé = ^x centaines + ( 1 1 "-^3x} dixaines -t- x anit^

Aëduifant tout en unités , on Toit que". . . . '

le nombre = looa: -4- 10 (11 — 3jr) -f- nxrip'jix -i- irof le nombre renversé = aoox -h 10 (11 — 3a:) -+-x=f= 17IJ: -f- iio. Mais le nombre demande', pins 397, est égal au nombre renversé. Donc...

(7aj:-l- 110) -f- a97r=(i7ix-l- 110)5 . ,-,

d'oh... ar = 3jar = 6; et 11 — 3a: = a.

Le nombre cherché est donc composé de 3 centaines fl dixain^ et 6 unités ; ce nombre est donc 3aS. Et en effet , la somme de ses chiffres est 11 , et si l'on ajoute 297 à SaG > on obtient pour «omme 623 , qui est le nombre proposé renversé.

326. Un nombre est composé de deux chijfres. Le i"" chiffin à droite est 4, et le 2' chiffre est 5. On demande dans que système de numération ce nombre vaut trente-neuf, ou 3g Pour comprendre ce problème , il faut connaître les différem systèmes de numération (B. n®* 128 ... i33). Les nombre, mis entre deux parenthèses seront écrits dans le systèm qu'il s'agit de découvrir. Ainsi, le nombre donné a pou expression (54) ; si la base était onze, ou 11 , il vaudrait < plus 1 1 fois 5 , ou 59 ; si la base était 20 , il vaudrait 4 P^^ 20 fois 5 , ou 104 ; donc si la base du système demandé est j: le nombre (54) , vaudra 4, plus x fois 5, ou (4 + Sx) ; mai ce nombre doit être égal à 39 ; donc . . ►

4 + 5x = 39 ; d*où X =: 7.

D'ALGEBRE. \j'S

La base du ^stème demande est donc 7. Et en efTet , la htte étant 7^ le nombre (54) vaut 4 plu^ 7 fois 5 , ou 3g.

Sajr. 5^i ^e vends mon blé i5^ fc setier, j* achèterai une màairie, disait un fermier , et j'aurai 5od^ de rtste; mais si je ne vends mon blé que la^ le setier, je serai contraint dVmfnmter les yî du prix de la métairie. Il faut déterminer le nombre de setiers de blé et le prix de la métairie. Déûgnona para?, le nombre de setiers de blé. A i5^ le setier, les x nàerê coûtent x fois i5^ , ou i5x^ ; mais avec cette somme p h fermier paye la métairie , et a 5po^ de reste ; la métairie 7ie coûte donc que i5x^ — 5oo'^. Si le fermier ne vend son blé que laf*" le setier , les x setiers vaudront lox"^ ; mais il lui manque les -^ du prix de la métairie ; 1 ax^ exprime dono les Yi du prix de la métairie ; le 11* du prix do la métairio

MTà donc -' , ou -^^ ; le prix de la métairie est donc

11 fois -^^y ou ^T . Egalant les deux expressions du prix de la métairie, on aura. • .

i5x* — 5oo^ =-5-^ ; d'où 0?= i5oo.

Le fermier avait donc i5oo setiers de blé ; et le prix de la métairie était (lôx*" — 5oo^ ) , ou 22000^. Kn voici la preuve ; à i5^ le setier, les i5oo setiers valent 22606" , qui ioipassent de 5oo^ le prix 22000^ de la métairie. Si le fermier ne vend son blé que 12* le ^etier, les i5co setiers ne rapporteront que iSccc^ -, il lui manquera donc 4000^ pour acheter la métairie ; 4-^^*^ ^^^^ ®° ^^^^ l^' rr ^" P'*'* ^* '* "**^* tairie.

3a8. Deux lettres-de-change , l'une de Q^zrJ^ payable dans a5 mois^ t autre de ajcos*^ pcyable dans 4 rmA^ , ont êupport'i k même ESCOMPTE; cest^a-dire que lei pertes èprou\'*'e^ tut ihacune^ pour les toucher sur-le-champ , sont éf^aU:*. On Amande le taux de targent. On n'a égard quau£ intérétà

simples. Soit x^ l'escompte , ou l'intérêt de loo* par mois; L'escompte de loo*" sera, pour a5 mois, de aSx*", et pour 4 mois de 4^^» l^ne lettre-de-change de (ioo+ aSx)^ payable dans flS mbît, ne vaut donc que loo^ comptant ; son escompte pendant â5 aïois est donc âSo;^.

PoitqMpoUtfaSmoU....

L'acompte de ( loo -f- a5x)^ est «... ^Sx*,

^Sx * - *

L'escompte de i^ sera 7- , ou

loo-haSut 4"*"*

L'escompte de Goool^ sera 6ooô fois --^ , on^H^i

On trouvera de la mêm^ manière que l'escompte des 27000''

est de g , , pour 4 mois. Mais , d'après l'énoncé , les e»-

cromptes des deux lettres-de-change sont égaux ; donc . • .

Goooa; 270000:

4 + JP 2,^ ^ X

Pour résoudre cette éipktion , on en divisera les deux membres par 3ooox , ce qui est permis , puisque l'escompte x ne peut pas être zéro (n^ 292 ) ; il en résultera

L'argent était donc à 2 pour 100 par mois. On ferait la preuve comme dans le n* 71

329. Un particulier a acheté 9 G aunes de drap de ZA)uviers à f , pour une certaine somme d'argent. Quelque temps après, le prix du drap ayant diminué ^ il retourne chez son marchand ^ qui lui donne, pour la même somme , loo aunes de drap de Sedan à j. On suppose que le drap de Louviers à | est diminué de 1 o^ par aune , et qu'à dimensions égales , le drap de Sedan a éprouvé une diminution de prix proportionnelle osa qualité, qui est les |- de celle du drap de Louviers. Il s* agit de trouver le prix de l'aune de drap de Louviers à ^ , avant la diminution du prix des draps, Désignons'par 5x*^ le prix de l'aune de drap

^'^deLooTien à ^, après la diminution du prix des draps. Si ipè cette dîminution. . .

I Mme de dnp de Loupiers à «> coûte . • Sx^i

1 aime id à g* coûten le 5* de Sx^y oa jr^^

I ame id à f^t coûtera 7 foif x^. on 7»'^.

Li9(iiliië da drap de Sedan ^tant les - dç celle àtLouuien

g* ramie de drapde Sedan à ^ coûtera les - de 7x^9 on 6x^^

la 100 année de Sedan à 5 ont donc coûc^ 100 fois 6x^, ou. . . 6oox''^.

Fnbqa^aprèt la diminution du prix des draps , une aune de Lonvicra à rr

coûtait Sx''^^ avant cette diminution^ Tanne de dnp de LouTiera à rr coûtait

{Sa* -f- 10*).

Lu^aun. de Louw, à g ont donc coûté çjSfois (5x+io)*, ou (48ar-+-g|6o)*.

Mais l'énoncé dit que les 100 aunes de Sedan ont coûté lo même prix que ces 96 aunes de Louviers ; donc . • .

6oar = 4^ox + 9G0 ; d'où a: = 8 ; 5x = 4o-

Ainsi , après la diminution du prix des draps , une aune J« imp de Louviers à \ coûtait 40^; donc avant cette diminution elle coûtait 5o*. Le prix cherché est donc 5o^. On peut vérifier ce résultat de la manière suivante : avant la diminution du prix fcs draps , l'aune de Louviers à | coûtait 5o^ ; les 96 aunes le Louviers ont donc coûté ^Sfois ôo* , ou 4800^ -, mais après l diminution du prix des draps , l'aune de Louviers à \ coûte 0*" de moins , c'est-à-dire ^d^ ; donc après cette diminution , aune de Louviers à -j coûtera 8^'^ , et l'aune de Louviers à -J- }âtera 56^. La qualité du drap de Sedan étant les | de cella 1 drap de Louviers , une aune de drap de Sedan à | doit coûter s f- du prix S?"" d'une aune de drap de Louviers à f , c'estdire 48^ ; les 100 aunes de drap de Sedan à | coûteront donc )ofois 48*", ou 4800^; résultat conforme à l'énoncé.

33o. Un fermier vient à Paris > avec une somme (Fargei entièrement composée de pièces de 15*^, qu'il destine à aihe une ûune de drap de Louviers à |. // rencontre unefte bie faisante, qui lui demande la chanté , sous l'habit d'une pau\ femme. Le bon fermier donne quelques pièces de iS*^. La/1 pour le récompenser, convertit les pièces de iS*'' qui lui reitei enpitces de 5^. // arrive chez le marchand, et croyant n'a\> que ki pièces de 1 5*^ qui lui restaient , il demande pour l valeur une aune de drap d'Elbeuf à \, Lorsqu'il veut pay il est si agréablement surpris, à la vue du miracle qui s opéré, quil acheté une aune de drap d'Elbeuf à |, plus 1 aunes d^ étoffe à i^ taune , et 2 aunes de drap de Sedan c ce qui emploie tout son argent. On propose de découvrir qu était la somme d'argent du fermier , él ce qu'il donna à la^ A dimensions égales , le prix du drap d'Elbeuf eU les \ celui de Louviers-, et le Sedan coûte le double de l'Elbeuf. fermier sort de chez lui avec x pièces de i5*^, qui valent i5 mais cette somme est destinée à acheter une aime de dra]:

Xiouviers à f ; donc ....

Taone de drap Louviers h - coûte i5jc^i

Taune de Louviers à 5 coûte le 5« de iSx*^, ou. 3jc*^,

Faune de Louviers à ^ coûte 7 fois 3j:»^, ou aixJ',

l'aune d'Elbeuf h] 5 coûte les - de 2ia:«^, ou... 14^*^»

l'aune de Sedan à ^ coûtera le double , ou aSo:*^,

2 aunes de Sedan à ]■ coûteront a fois a8-r^, ou . . . 56x^,

Cela posé , le fermier avait j 5x^ \ il donne des pièce 15*^ à la fée \ et ce qui lui reste est le prix 14^ > d'une aur drap d'Elbeuf à |- -, il a donc donné or^ àla fée. Le fermier n'a

que i4jc'^> ou — ^ pièces de iS*^ ; la fée les convertit en pièces de loo*''; qui valent — = — . Pour cette dernière son

D'ALGÈBRE* I77

le fermier achète une aune de drap d^Elbeuf à ^ , dont le prix «ti^ar'*; plus dix aunes d'étoffe à 14^ l'aune, qui valent i^o*' oa fiSoo^ ; et a aunes de drap de Sedan à ^ , moyennaat 56.iH*. Donc. • • .

-=—== i4j^-f a8cx5+ 5Sx ; d*où x= lao.

Le fermier avait donc lao pièces de iS-^ ; et il donna à la fée, 120^ ou 9 pièces de iS-^- En voici la preuve ; si le fermier » fni a lao pièces de i5*^, en donne 8 à la fée, il lui restera ; lia pièces de i5*^, qui se cbangeront en 11a pièces. de 10c/. Avec cette somme , il acbète : une aune de drop d*Elbeuf à ^^ dont le prix est i^x^ ou 14 fois lao*^, ou 1680^ ; plus dix aune» d'étoffe pour aSco-^ ; et a aunes de drap de Sedan à |- pour 5Kx^, ou 56 fois lao"^ ou 6720-^. Ces trois prix réunis forment iiacor^, ou lia pièces de io<y; le fermier a donc effectivement employé tout son argent.

33i. Guillot dit à Lucas , donne-moi lé tiers de ton troupeau four les G3o*" que tu dois me payer dans un an ; nous au" Tons alors autant de moutons l'un que P autre, Lucas lui répond f donne-moi plutôt le quart de ton troupeau , augmenté iun mouton , avec le billet que je dois te payer dans un an #• je te remettrai Sod^ argent comptant , et j'aurai cinq fois plus de bêtes à laine que toi, Guillot accepte ce marché. On demande, le tort que Guillot voulait faire à Lucas , le tort que Lucas fit ^ Guillot , et le nombre des moutons de chaque troupeau. L'argent est à 5 pour 100 par an; un mouton coûte 60*". Cherchons d'abord le nombre, des brebis. D'après la i*"* condition du problème , on voit que si Guillot a 4-^ moutons , Lucas doit en avoir lax; car alors , si Lucas donne le tiers de son troupeau à Guillot, chacun d'eux aura Sx moutons. La seconde condition détermine x ; en effet , Lucas répond à Gnillbt^ donne-moi le quart de ton troupeau, augmenté d'un mouton , et j'aurai 5 fois plus de bétes à laine que toi. Or quand Guillot; qui à ^x moutons, en aura donné le quart augnoaté d'un, ou (x 4- i) ; il n'aura plus que (5x — 0 moutons \

la

lyB É L É M E N 5

et Lucas ^ qui reçoit (07+1) moutons, en aura (i3x + i"^. Mais alors, Lucas a 5 fois plus de moutons que Guillot ; donc» ..

(i3ar+ i) = 5(3:r — 1) ; d*oùx=3; I2a7==38 ^ 4^=ra,

Lucas avait donc 36 moutons ^ et Guillot 12. Le nombre des moutons de chaque troupeau étant ainsi déterminé , il est facile d'en déduire le tort que Guillot voulait faire à Lucas, et celui que Lucas Gt à Guillot. En effet , puisque l'argent est i 5 pour 100 par an , les 63o^ payable? dans un an , ne valent que 600^ argent comptant (n° 62) -, mais Guillot demande à Lucas le tiers de son troupeau , c'est-à-dire 1 2 mouton« ; le prix de ces 12 moutons, est 12 fois 60*, ou 720^. Guillot demande donc pour 600^, ce qui vaut 720^ ; il voulait donc faire tort à Lucas de 120^. Celui-ci est plus juste, car il demande à Guillot, le quart de son troupeau, plus un mouton , ou 4 moutons , dont le prix est a^o^i'^vec Iç billet de 600*" argent comptant , ce qui- fait une somme de 840^ , pour laquelle il donne 800'''' j il ne fait donc tort à Guillot que de 40*".

. 332. Une femme porte des œufs au marché; elle en vend à une 1" personne , la moitié plus la moitié d'un œuf} elle vend à une a' personne y le tiers des œufs qui lui restent ^ plus le tiers d'un œuf; elle vend à une Z' personne , le quart des œufs qui lui restent , plus les j d'un œuf; elle vend ensuite à une 4' personne , le cinquième des œufs qui lui restent , et les f d'un œuf ; il lui reste alors 4 œufs. On demande combien 0lle avait d'œufs en allant au marché.

Si la femme porte x œufs au marché , elle vend à la i'« personne

- œufs , plus - œuf, ou f J œufs ; il lui en reste donc x— ( j ,

ou f y Elle Tend à la a« personne , le tiers des œufs qui lui restent,

J)lu8^ d'œuf, c'est-à-dire (^T-^ "*" 0 ^°^^» ®" V fi J ^^^^ y *' ^^^ en reste donc T ilHi j — rfL±i J , ou /^f-IIl?\ Elle rend à la 3» per-

(X — 2% 3 J des œufs qui lui restaient; plus les Tc.d'un œuf,

cVst-à-dire , f ~~^ -+- 7^ ou ^fl±X\ «ufs -, il J^oi #11 refte don© »

d'algèbre. lyg

f -= — J — r ■■ J > ou f —7 — y Elle vend à la 4* personne , le cin-

qaiiiiie l j des œuls qui lui restent , plus les > d'un œuf, c^est-à-dire^

( -^ 7 1 on I I œufs:illni reste donc enfin ( — 7— 1 — ( 1,

M f • j ce«£s. Mais alors il doit lui rester 4 œuls j donc. ...

*(^) = 4i d'où x= 39.

La femme avait donc ag œufs en allant au marché. En effet , elle

fend à la première personne , la moitié de ses œufs , plus la moitié d'un

oenf , c^est-à-dire i5 œufs j il Inî en reste donc i4* EUIe vend h la 2* poi-

loniiey le tiers des 14 œufs qui lui restent, plus le tiers d''un œnf , c^est-

Min 5 œufs ^ il lui en reste donc 9. Elle Tend à la 3* personne, le ^art

des 9 cenCi qni lui restent , plus les 7 d^un œuf, c'esi-hnlire 3 œufs ; il lui

en reste donc 6. Enfin ^ elle Tend à la 4^ personne , le cinquième des 6 œufs

qni lui restent, pins les i d'un œuf , c'est-à-dire a œuls ; il lui en restt

donc 4* Ce qni est conforme à Ténoncé.