ÉQDAHOJHS ENTRE PLUSIEURS INCONNUES

333. L'emploi de la seule inconnue x a suffi pour résoudra les questions précédentes ; mais comme on est souvent conduit à plusieurs équations entre plusieurs inconnues , nous allons faire connaître comment on peut résoudre ces équations.

334- Une seule équation entre deux inconnues, ne suffit pas* pour déterminer ces inconnues , car en donnant une valeur arbitraire à Tune des inconnues , il reste une équation , qui sert à déterminer l'autre inconnue. Une équation entre deux incon^. nues admet donc une infinité de solutions ; le problème qui conduirait à une équation de cette espèce^ serait donc indéterminé. Par exemple , si Von demandait deux nombres dont la somme fût égale à 12 , en désignant ces nombres par x ety ,. on aurait a:4-y=i2. Mais il est évident que le problème

aâmdt une io&aité de aolutioios,^ les incoonues x, y^ doiyent dono

être susceptibles d*une infinité de valeurs. Et en effet ^ l'équa^ tion...

a; + y = 12 , donnant j^ = 12 — x,

la valeur àey ne sera déterminée , que lorsqu'on connaîtra x, Substituant donc pour x des nombres quelconques , les valeurs correspondantes de y se déduiront de Téquation j^ = 12 -^ x. Dans cette équation . . .

jt = I , donne j^=i2 — irjb iij i -♦-"** 11 cfa 11 5 X = a , donne ^= la — a 4= 10; a -h 10 4= la ; se =s iS , donne j^ = la — i5 =fa — 3 j i5 -H {—3) ^ la.

On voit qiie ces valeurs de x et y satisfont au problème. Ce j^roblème est donc indéterminée

335. Deux équations entre deux inconnues y suffisent pour déterminer les valeurs de ces inconnues. En effet ^ soient left «cpadons ...

(0 j — 07 = 6; (2) (a?+y)s=ia.

Chaque équation en particulier admet une infinité de solu-^ ûons ; mais il n existe qu'une solution commune aux deux équations. Pour le démontrer ^ on tirera de la 1'^ équation y=i6 ^x. Si dans la seconde équation^ on met pour j' sa Taleur (6 +07) ; alors. . .

x-\-y:=zi2 deviendra a?+(6 + ^)=i2 (3).

Cette dernière équation donne a: = 3 ; la valeur (S -f- a;) ûe y devient donc 6-f-3, ou 9. II est facile de prouver que ces valeurs de a: et y , sont les seules qui puissent satisfaire en même temps aux équations proposées. En effet ; si Téquation (1) existait Sixile , 6n pourrait prendre pour x un nombre arbitraire ; mais comme en vertu de cette équation , y doit être égal à (6 -f ^) > la valeur de x augmentée de 6 , donnerait j'. Or d*après l'équation (2) , la valeur de x augmentée de ^, ou de (Bj+a:) , doit donner 12. Le système des équations (i) , (2) , ' n*àdmet donc que les valeurs de x, qui satisfont àVéquation (3) ; nais cette équation n'admet que la valeur x= 3 ; Imconnuejf', «uujétie à être égale à (x -|- 6) ^ n'admet donc que la valeux:

D'ALGÈBRE. l8l

jf r= 3 -f" 6 = 9 ; donc enfin les équations proposées nWmettent que les valeurs x = 3, y =: 9. Ces valeurs satisfont aux équations (1) et (2), car elles donnent. . .

Les équations (1) , (2) , traduites en langage ordinaire, conduisent à ce problème : Trouver deux nombres jetx^ dont la diffe-' rence soit 6 et la somme la. Ces nombres sont 9 et 3, car leur différence est 6 et leur somme est la. La règle du n* i5i de mes Notes sur rArithmétique de BeZOUT , conduit au même résultat; car d'après cette règle. . .

"le phis grand nombre ^ la dcmUsomme , plas la demi-différ.' = — -|- - =^ 9 ;

fi le plof petit nombre =: la demi-somme , moios la demî-diiFer. = — • — -.4=: 3-

336. .La méthode que nous avons suivie pour résoudre les équations (1 ) et (a) , pouvant s'appliquer à deux équations quelconques du premier degré entre deux inconnues , nous établirons cette règle générale : Pour résoudre deux équations du premier degré entre deux inconnues; tirez d'une équation la valeur d'une inconnue , comme si Vautre inconnue était dé^ terminée. Substituez cette valeur de l'inconnue dans Vautre équation. Le résultat sera une équation du premier degré à une seule inconnue , que vous pourrez résoudre au moyen de la règle dun^ z^^. L'une des inconnues étant ainsi déterminée , on substituera sa valeur dans l'expression de Vautre inconnue » ce qui déterminera la valeur de cette seconde inconnue. Par ,t2emplé^ étant données les équations. . .

^x •¥ 7y = 27 ; 3ox -h 60^ = a4o î

jOB tirera la Taleur de y de la i'« «équation, comme ri x était connu; o» li donnera....

:r = 27 — 3xj J^ = (a7— 3a:>:7 /

ilîtaant cette Talenr de y dans la 2f é^ation , le résoltat lera l'e^alio» une seule inconnue

3ojc + 60 . f -2 j = a4o*

Cette ^fqiiation ^ r^lae d\'iprcs la r^gle da n^ 3g5 , donne ;r :=: 3, SoBciK^

l8d .ELEMENS

tuant la Talear de x , dans celle de j: , on anra. . . .

37 — 3x 37 — 3. a 37 — 6 ai __^ «

Ctff valeurs dé x et y satisfont aux équatic^ns proposées , car cQn donnent. ...

Bx -h 7/ = 3. a 4- 7.3 4= 6 -+- ai =^ ^7 î ^'"^^^ ^7 ^ *7i Sojc -♦- 60^ ==. 3o.a + 60.3 =|a 60 -h 180 4a ^o } d'où a4o =Ja a|o.

On prouverait ^ comme dans le n^ 335 , que ces valeurs de x tity sont les seules qui puissent satisfaire au système des écpiations ptoposées.

La règle du n^ 336 est générale ; mais quelquefois on peut

abréger les c^culs, en profitant des simplifications qui se pré«

, sentent; par exemple , pour résoudre les équations du n® 336^

on peut diviser les deux membres de la seconde é^atioA

par lo^ ce qui donne. . .

3af -H 7/ = a7 ; 3a: 4- fy = a4* Retranchant la a« équation -de la i^^, on aura.....

(3a:-l-7/) — (3x+6^) = 37 — a4; on x=-3., La si^toitntion de cette valeur dejr dans réquatlon 3:t -f- 7^^= 37 , donne....*

3x H- ai =£ 37 9 d'oïl j: == a.

Pour rosondre les équations. . .

on chassera Je dénominateur x , en multipliant les dcns membres, de hk !'« ëquation par x j ce qui donnera. . . .

^ — ajc^ o.^ç"; ou y— 2art=io; ou y =r or..

La substitution de cette valeur de y , dans la a^ eqnation , donne. . ....

aar— «==3,5 ou a: = 3 ; ^ = ar="6.

537. Deux inconnues ne peuvent pas satisfaire à plus Ji deux équations. De sorte qu*un problème à deux inconnue^ devient impossible , lorsqu'il conduit à plus de deux équations^ En effet-, deux équationa déterminant les valeurs des deuxiihj connues ; ces valeurs ne peuvent pas satisfaire à d'autres éqiiaij ^ona. Par exemple , si Pon demandait deux, nçmbr^s dont, m

©•algèbre. i83

différence fât 6, la somme iq et le quotient 4- En désignant ces nombres par x ety ,on serait conduit aux trois équationê

y — a: = G; x +y •=: la; y l xriz^.

Les deux premières donnent x = 3 , j^ = g ; ces yaleurt 4e xety ^ ne satisfont pas à la 3" équation ^ car elles donnent ylX=zg l5c=z3. Le problème proposé est doncimpossible.

338. Peur résoudre trois équations du premier degré entre trois inconnues ; tirez d'une équation la valeur et une inconnue , comme si les deux autres inconnues étaient déterminées, Sub^ stituez cette valeur de l'inconnue dans les deux autres équa^ lions; vous n aurez plus que deux équations du i" degré entré deux inconnues. La rè^le du n^ 336 , conduira aux valeurs de ces deux inconnues ; ces valeurs substituées dans l'expression dela^ inconnue y détermineront cette inconnue. Par exemple ^ étant données les équations . . .

(i)....3x*t- aj^ -f-a=: i6 j 3x4- 2^4-32= iSj aor 4- a/ -♦- « = i4 > en tirera de ta i^e ëqnatîon...»

5 = iG— 3x — aj^.

Lasnbftîtotîon de cette yaTear de z dans les deux aatrcs ëqaauons^ donnen...

aar -^ ay -^ a ( 16 — 3.T — a^ ) = iS , ax -h a^ -h (16 — Sx — ajr ) ^ 14.

€fs épations , rcsoLics diaprés b règle du n^ 336 , donnent x=a , j^:=:S . iMTalears snbiti tuées dans Texprcssion de Zy donnent. . . .

x = i6 — 3tr — ar = î6 — 3.a — a.3:4=>4* Let Talenrs de x,y y z qoi satisfont aux équations proposées; lont donc. • •

a:r=aî r=3j « = 4.

Pour T^rifÀer rexactîtndc de ces valeurs, on les snbstitnert dans les ^qoa- Inotpropose'es^ et Ton trouvera que les deux membres de chaque •qjmtion jRnnent la raéme vnlcar nomeriq^ue^

La forme des équations (r) permet de simplifier les calcnls pr^tfcédent* £a jCrt^ » FoB ' retranche la S*" er^uation.de la i^e , on aura. . . .

. (l3r-*-a^-f-z)-^(ar 4-2j-t-2)= 16— i4f d'où x=a* Jletnuichant la 3« équation de la a«, il vient. . . .

(axH-ajr-v-a*) — (aar-t-ay-»- a) = i8— 14» dTok *=4^

La substitution de ces valeurs de x et/z dans la ï'* équation , donne. . • • i6 = 3jf »♦- 2/-f-«=6-+-2/-+-45 d'ôîi ajr = 6j j^=3.

339. Dans les exemples précédens , la résolution des équa- "tions du 1" degré entre plusieurs inconnues , a toujours conduit à des équations du premier degré. Cette propriété convient à toutes les équations du premier degré. En effet, dans ces équations , après avoir chassé les dénominateurs, les inconnues ne ^ont multipliées que par des nombres ; la valeur d'une inconnue tirée d'une équation du 1" degré, ne peut donc jamais contenir d'inconnue au dénominateur ; la substitution de cette valeur dans les autres équations^ n'introduira donc pas de dénominateurs affectés d'inconnues ; et les inconnues ne seront multipliées ni pai^ elles-mêmes-, ni par d'autres inconnues *, les '^ équations qui en résulteront seront donc du premier degré.

340. En général , étant donné un nombre quelconque d'équa-* , tlons du i" degré entre le même nombre d* inconnues , on pourra toujours trouver la valeur déterminée de chaque inconnue, Pofir y parvenir , on prendra dans une équation la valeur d'une inconnue , comme si tout le reste était connu ; la substitution de cette valeur dans les autres équations , conduira à des équa^ lions qui ne contiendront plus cette inconnue. Le nombre des équations et celui des inconnues sera ainsi diminué d'un\ Opé^ Tant sur ces nouvelles équations , comme sur les proposées y on , aura deux équations de moins et deua: inconnues de moins. Continuant ce procédé ^ on parviendra à une seule équation du 1^' degré à une seule inconnue. Cette dernière équation do'n-^ \ liera la valeur de V inconnue qu'elle renferme ; et remontant aïix équations précédentes , on parviendra aux valeurs des ^ autres inconnues. Pour appliquer cette règle , proposons-nous i le problème suivant . . , *

341. La somme de quatre nombres est 14. La somme des \ trois premiers , augmentée du triple du 4', donne 24. La somme ' fies deux premiers , augmentée du double du 3^ et du triple du 4% ?^ donne 28. En/în le double du 1" nombre , augmenté de la' ^omme des trois autres , donne 16. On depiande quels sont çe$ L

D' À L G Ê B R JE. l85

*r€S ? Si l'on désigna les nombres inconnus par x^y^ s, t ; i écriture algébrique des quatre conditions du problème , con-^ dra aUx quatre équations ...

(3). . . X -♦- y -♦- a* -h 3f = a8 - (4)... ax -♦-/ -+• «-h c = 16.

(l). ..XH-jr-+.«-+- t=l4

(2). . . X -♦- ^ -h « -^ 3t = 24 i'* éqnadoni donne. . . .

« = 14 — X — jr — «.

rLa sobstitation de cette valeur de { dans les trois antres équations , donne. % .

^. x-hjrn- z -+. 3 (14 — X — / — a) = a4

jt -♦- jr -+. a« -♦- 3 ( i4 — * — 7" — * ) = 28 !iX -h jr •+• Z "¥• (i4»-x— y — s) = i6.

Ces ëqnations se re'duisent à. . . .

ar -h jr -f- a^ g j ox -4- ay* -4- 2 = i4 j x = a.

Sobstituant cette valcnr de x dans les deux éijuations précédenteii elles ^bnnent. . . .

/■f«=9 — *=9— 2437 ; aiX-4-«= 14 — ax=i4 — 44= *<'•

^ On dre de la t^^ équation « =; 7 — jr ; metunt (7 — ^ ) au lieu de a, dans, ^ la a» équation , on aura. . . .

^ io = ajr-+.a=:ajr^<7— jr)=jr+7j d'où /=3j

^ on en déduit....

\. Enfin, la snbstitndon de ces valeurs de x , / , 2 dans celle de t, domte. . . • V t = i4 — X — y — s = i4^a — 3 — 44=5i

\ àxmz x=:2; j* = 35 2 = 4) < = 5.

r Ces nombres satisfont h toutes les conditions du- problème ; car leur I «HDme est 14 ; la somme des trois premiers, augmentée du triple du 4*« ' donne 34 7 ^^ somme des deux premiers , augmentée du double du 3« et du

tnpie du 4S donne a8; enfin, le double du i^r, augmenté de la somme des

trois autres , donne 16.

On peut simplifier les calculs précédens. En effet , si Ton retranche Téquation (i) de iMqnaiion (a) , les inconnues x,y , z disparaîtront , et il restera. . .

Si — £ = 24 — i^i d'où t = 5.

Reti;anchant l'équation (a) de Péquadon (3) , on tronvera.. . . .

az — «s=a8 — a4 5 d'où 2 = 4* fictraacbloit réqnadon (i) de l'équation (4); il reste x=a. Enfin, la snbsti-

tmion des valears àt x , * , t dans l'une des ëqnatioi» propOM^es, coiu

34^. L'application àe la règle du n° 34o , peut offrir qu que diiGcuhé , lorsque toutes les inconnifes n'entrent pas â-! fois dans chaque équation. Il faut alors examiner avec soin forme des équations proposées. On en déduit les valeurs ( inconnues. £n voici des exemples. . .

/"* exemple, Rt'sondre les éqaations....

aT-+-i=;5; jr — ;^ = a; x -*- a/ -*- 2 =s 17.

La ii^e ^nation donne jr = 3 ; la substitution de cette valeur de jr du la 3* équation , conduit à ^ =.T-f- 3 = 4 j la 3« équation donne....

«= 17— a: — 3/ =17— 2 — r.i=f=7> *^^^^ x=2j jr = 4i * = ; //* exemple. R<^soU'ii:e les <^quations. . . .

La même inconnue n'entrant pas dans les deux premières équations > ces ëqu tions n'établissent aucune liaison entre x, yett fZ. On ne tirerlUt doue aoci parti de leur combinaison. Mais avec an peu d'attention , on Toit que 1 deux dernières équations conduisent à la Taleur de y , car en TeCnmdni la 4^ équation de la 3^, il vient. . . «

(x — z) — (jt— a— /) = a— êj d'oîi y = a.

La^ 1" équation donne alors. ...af = 5 — jr=:5 — a=^3;

La 3« équation donne 2 = t— a = 3 — asjsij

La a» équation donne t = 4 •*" 3z =' 4 •*" 2 =^ a.

///* exemple. Résoudre les équations

X'\-jr=zi2; s.' — j^r=6; arH- 2^ = 17; ar4-2 + < = i0'

Comme on a quatre équations pour déterminer quatre inponnufs , t problème paraît possible j mais les inconnues x , y entrant seules dam les trois premières équations, il est impossible de satisfaire à ces éqnationi. En efFet , \q.% deux premières donnent jr = 9, 7"= 3 j ces valeurs de jr eijf ne satisfont pas à la 3^ équation, car elles donnent. . • .

// est donc impossible de satisfaire aux équations proposées^

343. Les t-emarques du n* agS , conviennent aux équation! du 1*"^ degré entre plusieurs inconnues ; car , lorsqu'on a autant d'équations que d'inconnues , on parvient à une seule équation €ontcjiani une seule inconnue, et d'après ce quon avu, UpiH^

^^mivef (fu'e cette équation soit possible , impossible y ou indé^ . ixfminée, Nons nous bornerons à en donner des exemples , ?podr deux équations du premier degré entre deux inconnues,

f"^ exemple. ...

j:-t-jr = 5; ar4-3^=ï3.... {équations possibles ).

Ces équations peuvent exister ^ car on en dodnit arp:2,^ = 3. Ces ?aleim sont les seules qui puissent satisfaire en mdoie temps aux équations (nroposées.

Xf» exemple...»

a:+jr=:5j aT+îij = T3.... ( équations impossibles ).

R n*existe aucunes valeurs de x et y qui puissent satisfaire en même temps au système de ces t'quatinns ; de sorte que ces équations sont impossilfles. En ciFet, la ire «quation donno y raS— jr j la substitution àm cette valeur de jr dans la a* tlquation , conduit k

'^. ax-t-a (5 — jr) = i3, ou ior= i3 {résultat ahsurde).^

fr Le système des équations proposées ne peut donc pas exister, puisqn^il Mqppote qnc 10 est égal à i3. Ainsi, tout problème qui conduirait à de \ -Ifàld équation^ , serait absurde.

Pour conceroir comment deux tquaiîons entre deux inconnues pcnvent i kn absurdes , il faut rcmai-quer que chaque (iqaalion en parliculior admett tmt une infinité de solutions ; il peut arriver qu'aucnne solution d'onc ëqua- [^ tioB ae satisfasse à Tautre. Dans ce cas , qui est celui dos équations propo- ; ife, ancunéa valeurs de x et y ne peuvent satisfaire en m^me temps aux deux ^, ^^tions^Pensembledeces cqviationsoxpn^ie alfirs une al)sm'clitc, etPalgôbre I l'iadique , en conduisant h une équation impossible, telle que 10= i3- ; En examinant avec soin les éqnations proposées , on voit qu'elles ne peuvent

pas exister en même temps j car la i '• dit que ( x r*- K / <'*^ * n^^ à 5 j le double , ^e (x -t-y) , ou (ax -^ ^f^, est doncjégal à 10 , en veitu de la i»"» équation. ' Mais la 2* équation exige que la m^me quantiii.' {2X ■+• ay ) soit t'palc h i3.

Ia a« équation est donc évidemment en contrafhciion avec la prcmièrci

///* exemple

x-f-jr=:5j 3x-+-3^y=îo..,. ( équations indéterminées).

. U existe une infinité de valeurs de xet y qui satisfont au système de ces équations y de sorte^ue le problème qui' conduirait a ces équations , ^ait indéterminé. En effet , la ire équation donne y == 5 — x j substituant cette valeur àe y dans la 2^ équation ^ il vient. ...

ar-t-2(5 — x) = ioj on ax— arsja 10— ro.

Ççtt^ iàentité ad/nct une infinité de. valeurs aibiin-urcs de x j ces valeon

sobsticii^s dans la Tajcnr (5-^qc) âey, donneront nne infinité de talenié correspondantes de y. De sorte qne les équations proposées admettent une j infîniié de solutions; on dit alors qu'elles sont indéterminées» Pac exemple >- -

ar= a, donne j^ == 5 — jc=5 — a4=3.

Ces Taknrs satisfont aux équations proposées, car elles donnent. ...

àr + jrrs 3 -♦- 3=f=5f aj:-*-ay= a.2 4- 2.34= 10.

Pour concevoir comment deux équations entre deux inconnues peuvenC. ^ admettre une infinité de solutions, il suffit d'ohserver que la a« équation ..j peut être une conséquence immédiate de la i^^'^ de sorte que toutes les valeurs de j: et y qui satisfont à la i'« équation, conviennent à la a«. On n'a donc alors qu'une équation pour deux inconnues ; ces inconnues sont donc susceptibles d'une Infini t^^ de 'Valeurs (n«334)» C'est précisément ce qui arrive dans le dernier exemple ; la Tfi équation n'est que la T'e,idont on a multiplié les deux membres par a. Les inconnues :r et y ne sont donc assu- • Jéties qu'à satisfaire à la i^e équation x -i^y z=:5 j ces inconnues sont ^ donc susceptibles d'une infinité de valeurs. J