PREMIÈRE QUESTION

S. La somme de deux nombres est 67 ; leur différence est 19; quels sont ces deux nombres ?

Solution..

Tâchons d’abord d’établir , à l'aide des signes dont nous sommes convenus , une liaison entre les nombres donnés et les nombres inconnus de l’énoncé ;

Si le plus petit des deux nombres cherchés était connu, on aurait le plus grand en ajoutant 19 an plus petit. Cela posé, désignons le plus petit nombre par x ; le plus grand peut alors être désigné par x + 19; leur somme est donc x + x + 19, ou 2x+19. Mais, d’après l’énoncé, cette somme doit être 67. On ‘a donc l’égalité oui 'équation. ... 2x + 19 = 67.

Or, si 2x augmenté de 19 donne 67 pour résultat, 2x seul est égal à 67 moins 19, ou 2x = 67 — 19, ou, en effectuant la soustraction, 2x = 48.

Donc enfin , x est égal à la moitié de 48, c’est-à-dire

Le plus petit nombre étant 24, le plus grand x+ 19 est 24 + 19, ou 43.

En effet, on a 43 + 24— 67, et 43— 24 = 19.

urrBontCTioî».

V oici le tableau de s calcule algébrique t :

Soit x. ... le plus petit nombre , x+ 19 est le plus grand.

Éq. . 3r -+-19 = 67, d’pù2x=67 — 19=48; donc x = — = 24,

et par conséquent , x+ 19=24 +19=43.

En effet, 43 + 24 = 67, 43 — 24=19. '

Autre solution.

Soit x le plus grand nombre, x — 19 est le plus petit.

> Cio

Éq. .2x — 19 = 67, d’où 2x=67+19 = 86;doncx=— = 43, et par conséquent, x — 19 = 43 — 19 = 24.

Ou voit par là comment, à l’aide des signes algébriques, on parvient à comprendre dans un cadre très resserré les raisonnemens qu’on est obligé de faire pour résoudre un problème ; raisonnemens qui, écrits en langage ordinaire, exigeraient souvent une ou plusieurs pages. .

SOLDTIOK GÉSÉRAI.E DK CE PROBLÈME.

4. La tomme de deux nombre » est a , leur différence eet b. On demande de trouver les deux nombres.

Soit x . . . . le plus petit nombre , ;

x + b désigne alors le plus grand.

Eq. . 2 x+b = a, d’où 2 x—a — b; donc x= u) =^ — ÿ,

et par conséquent, ar + ô = S) -r-^— 2*

Comme la forme de ces deux résultats est indépendante de toute valeur particulière attribuée aux lettres a et b, il s’ensuit que, connaissant la somme de deux nombres et leur différence , on obtiendra le plus grand nombre en ajoutant la demi-somme a la demi-différence , et le plus petit, en retranchant de la demisomme la demi-différence.

ISTRODl'CTIO.'l.

esÆ

’ ou 2

lt,*2"'

, ou-jp = 69

Ainsi , que la somme donnée soit 237 , et la différence 99 ;

927 aa i sn

et le plus petit,

Eneffet, 168 + 69=237,. 168 — 69 = 99.

On conçoit, d’après la question précédente, l’utilité des lettres

pour représenter les données d’un problème. Comme on ne peut

qu’indiquer sur ces lettres les opérations de l’Arithmétique, le

résultat auquel on parvient conserve la trace des opérations

qu’il faut effectuer sur les quantités connues, pour obtenir les

valeurs des quantités que l’on cherche. , r

Les expressions + - et „ — ^ , auxquelles on est parvenu A A A A

dans le problème précédent, s’appellent, en Algèbre, des formules , parce qu’elles peuvent être regardées comme comprenant les solutions de toutes les questions de même nature, dans l’énoncé desquelles on fait seulement varier les valeurs numériques des données.

DECXltBE QUESTION. THÉORÈME.

8. La gomme de deux nombres multipliés par leur différence donne pour produit la différence des carrés ou des secondes puissances de ces deux nombres. *

Ainsi , soient 12 et 9 ces deux nombres; leur somme est 21 , et leur différence 3. On reconnaît que le produit 21 x 3 ou 63, est égal à 144 qui est le carré de 12, diminué de 81 qui est le carré de 9. , >

Mais, pour mettre en évidence cette propriété, quels que soient les deux nombres, représentons ces nombres par les lettres a et b. La somme sera exprimée par a + b, et la différence par a — b. '■ , ‘ >

Pour former le produit de ces deux expressions, on supposera d’abord que l’on ait à multiplier la somme a + b par a, et le produit sera a x a + b x a, ou plus simplement, a3 + ah : car il faut prendre chacune des deux parties dont a + b est composé, autant de fois qu’il y a d’unités dans a, et

1MRQDLCT1UN.

ajouter les deux produits. Mais ce n’est point par a tout entier qu’il fallait multiplier, c’est par a diminué de 5; ainsi, le produit a1 -f ab est trop fort du produit de s + i par b, vc’est-àdire de + b2. Il faut donc retrancher ab + b2 du produit précédent a2 + ab ; ce qu’on indiquera algébriquement de cette manière : a1 + ab — ab — . b 2, Comme d’ailleurs les deux produits ■+■ ab, — ab, se détruisent réciproquement, il vient enfin a’ — i’ pour le produit demandé. •

Ce résultat a’ — b2 ayant été obtenu indépendamment de toute valeur particulière attribuée à a et b, il s’ensuit que le théorème énoncé est vrai pour deux nombres quelconques.

TROISIÈME Ql’ESTIOS. — THÉORÈME.

6. Si, aux rieux terme* d’une fraction proprement dite, ou d’un nombre plu* petit que l’unité, on ajoute un même nombre entier, la nouvelle fraction qui en rètulle est plus grande que la première .

Soit pj 1° fraction proposée; ajoutant 3 à chacun de ses deux

termes, on obtient — . Ces deux fractions, réduites au même 1 o ;

dénominateur, deviennent 7-777- , 77-- ; or, la 2° fraction est

toO loU

évidemment plus grande que la première.

Pour reconnaître si le théorème énoncé est vrai , quelle que

soit la fraction proposée, désignons cette fraction par * , en

supposant a<^b. ,

Soit m le nombre ajouté aux deux termes de cette fraction;

il en résulte .... ^—n .

Afin de comparer les deux fractions, il faut les réduire au même dénominateur; il suffit pour cela de multiplier les deux termes a et b de la première fraction par b + m, et les deux termes de la seconde par b. Or, multiplier a par b + m, revient à prendre a autant de fois qu’il y a d’unités dans b, plus autant de fois qu’il y a d’unités dans ce qui donne ab + am.

INTRODUCTION

On prouverait de .même que le produit de b par h + m est

. , . , üi.+ am . ,

b* + nm , «e qui donne ^ ^ ^ pour la première fractiou.

a + ra

De même, si l’on multiplie les deux termes de la seconde

par b, comme on l’a vu (n° 5) , elle devient .

b* 4- bm

Les deux numérateurs ah + am, ab + bm ont une partie commune ai; et la partie bm du second numérateur est plus grande que la partie am du premier numérateur, puisqu’on a supposé b a. Donc aussi la seconde fraction est plus grande que la première ; ce qu’il fallait démontrer.

On voit d’ailleurs, parle raisonnement précédent, qu’il faut

que £ soit une fraction proprement dite , pour que le théorème

soit vrai; car, autrement, la seconde fraction serait moindre que la première, puisque alors on aurait ab+bm<^ab + am.

7, En réfléchissant sur les moyens de résolution des questions précédentes, on sentira que l’emploi des signes algébriques doit donner lieu à des règles communes à plusieurs questions. C’est ainsi, par exemple, que dans la seconde et la troisième, on a été conduit à effectuer la multiplication d’une somme a + b par un nombre a, d’une somme a + J paré, d’un nombre a par une somme b m. D’où il résulte qu’en établissant des préceptes généraux pour trouver les résultats des opérations qu’on peut avoir à effectuer sur les quantités algébriques , on aurait des moyens fixes de résoudre toutes les questions relatives aux nombres par les symboles algébriques.

Cette partie de l’Algèbre a pour titre : La manière d’effectuer % fat opèrationsAe l’ Arithmétique sur les quantités algébriques ou littérales t. c’est-à-dire sur les nombres représentés' par des signes algébriques. >

On ne peut se dissimuler que cette partie ne soit un peu aride, peut-être même rebutante pour les commençans ; mais il est indispensable de la bien posséder, si l’on veut avancer rapidement dans le- champ vaste et fécond de l’Àlgcbre.

DÉrtlUTlOSS PRÉLIXliUtRÏS.