ADDITION

Pour former un-seul polynôme qui exprime la somme de ceuxci, observons qu’ajouter au nombre exprimé par 3a’ — 4a4, le nombre exprimé par 2 «’• — 3 a4 + 4’, c’est y ajouter la différence entre le nombre d’unités exprimé , par 2a’ + 4’, et le nombre d’unités exprimé par 3 ab , opération que l’on ferait aisément, si l’on attribuait des valeurs particulières à a et b ; mais, comme on ne saurait l’exécuter dans l’état actuel de*s quantités, on remarque qu’il revient au même d’ajouter d’abord 2a'-i-4’ à 3a1 — bab , et de retrancher ensuite 3 ab-} ce qui donne 3a1 — 4a4 + 2a’ + 4’ — 'Aab, ou en changeant l’ordre des termes (n° 7),... 3a’ — bab + 2a’ — 3a4 + 4’. De même , pour ajouter 2 ab — 54’ à cette dernière expression , il suffit d’écrire 3a’ — 4a4-t-2a’ — 3a4+4’ + 2a4 — 543 il ne s’agit plus actuellement que de faire (n° 12) la réduction des termes semblables, et il vient enfin Sa’ — 5a4 — 44’ pour le résultat demandé.

Comme des raisonnemeps analogues pourraient s’appliquer à d’autres polynômes , on est en droit de conclure cette règle générale pour l’addition de deux ou plusieurs polynômes : Ecrivez le» polynômes proposés les u?is u. la suite des autres , en conservant aux termes qui les composent leurs signes respectifs , et faites la réduction des termes semblables , s’il y a lieu.

Voici quelques exemples.

1° <5a3 — bob — 2 4’; 2° 7a’4 — 3 abc — 8 4’c — 9e3 -4-cd’

-f Sa’ -f 2ai — 4’ +8 abc — 5a’4 + 3c3 — 44’c+cd’

+ 3 ab — 24’— 3c’ + 4a’4 — 8c3 + 94’c— 3d3

8a’-J-a4 — 54’ — 3c’; 6a’4 + 5a4c — 34’c — 14c3+2cd’ — 3d3.

Dans la pratique, on dispose ordinairement les quantités proposées , les unes sous les autres, comme on le voit dans ces deux exemples ; on fait la réduction des termes semblables , et l’on écrit avec leurs signes respectifs les résultats de la réduction. Ainsi, dans le premier exemple , en considérant le terme 3a-, comme x ce terme est semblable* au terme Sa’ qui se trouve sur la seconde ligne , on écrit 8a’ pour le résultat de la réduction de ces deux termes qu’on a soin de barrer légèrement (comme on le voit pour le premier terme). Passant ensuite au terme — bab, on le réduit avec les termes + 2a4 et 3a4, ce qui donne +a4, qu’on écrit à la

SOBSTtàCTIOK.

droite de 80% et l’on barre les nouveaux ternies qu'on vient de réduire. On continue ainsi l’opération jusqu’à ce que tous les termes soient barrés et réduits.

Le léger trait qu’on passe sur les termes sert à prévenir l’omission dè quelques termes dans le résultat ; les termes non barrés sont encore à réduire.

De la Soustraction algébrique.

14. Soit à retrancher 44 de Ba; le résultat algébrique est 5a — 44. De même la différence entre 7a’4 et 4a34 est 7a’ — 4 a’4, ou 3a34.

Soit maintenant 24 — 3c à retrancher de 4 a ; on peut d’abord présenter le résultat de cette manière , 4a — (24 — Zc) ,'en mettant la quantité à soustraire entre deux parenthèses et l’écrivant à la suite de la première quantité avec le signe — . Mais les questions exigent souvent que l’on forme un seul polynôme de cette expression : et c’est en cela que consiste •principalement la règle de la soustraction algébrique.

Pour parvenir à ce but, on observera que si a, b, c, étaient donnés numériquement , on ferait la soustraction indiquée par 24 — 3c, puis on retrancherait le résultat obtenu , de 4a ; comme cette soustraction ne peut être effectuée dans l’état actuel des quantités, on commence par retrancher 24 de 4a, ce qui donne 4 a — 24; mais en retranchant 24 unités , on a soustrait un nombre trop fort de 3c unités ; il faut donc rectifier le résultat en y ajoutant 3c. Ainsi, l’on a 4a — 24 + 3c pour le résultat de la soustraction proposée.

Soit encore 5a1 — 4a4 + 34c — 4’ à soustraire de 8a’ — 2a4; cette -opération peut" être indiquée ainsi :

Mais, pour réduire cette expression à un seul polynôme, observons que retrancher 5a’ — 4a4.+ 34c — 4’ revient -à retrancher la différence entre'la somme 5a3 + 34c des termes additifs, et la somme 4a4+4’ des termes soustractifs. On peut' d’abord retrancher 5a’ + 34c, ce qui donne 8a1 — 2 «4 — -oa’ — 34c; et comme ce résultat est nécessairement trop faible de Aab+b1, il faut y ajouter cette dernière quantité , et il vient

nu/rn'ucvnos.

8a’ * — 2 ab — 8à’ — 8 hc + iab + 5’ , ou 8a5 — 2a5— 5 a’ + hctb — 3 5e + b ’ ,

en rétablissant l’ordre des termes ; ou bien enfin , en réduisant , 3«’ + 2a4 — 3 5e+5’.

D’où l’on peut conclure cette règle générale :

Pour soustraire deux polynômes l’un de l’autre , écrivez à la suite du polynôme dont il faut soustraire , l’autre polynôme, en changeant les signes de celui-ci, et faites la réduction du polynôme résultant , s’il y a lieu.

On trouvera, d’après cette règle ,

■(3a’5 — 2a3 — 85’c) iab ■ — cd —25’ + Sa2 -(8a5 — hed +35’ + Sa’)

= — a5 + 3 cd-

15. On peut aussi, d’après cette même règle, faire subira certains polynômes quelques transformations.

Par exemple, 6a’: — 8a5 -t- 25’ — 25e,

revient à 6a’ — (3a5 — 25’ -a-25c).

De même 7 a3 — 8a’5 — 45’e+-653,

revient à 7o3 — (8a’5-+- 45’e — 653),

ou bien encore, à 7a3— 8a’5 — (45’e — 653).

Ces transformations, qui consistent à décomposer un polynôme en deux parties séparées l’une de l’autre par le signe — , sont très utiles en Algèbre. . ’

Multiplication algébrique.

16. Nous regarderons comme démontré un principe qui est généralement admis dans tous les Traités d'Arithmétique [voyez pour la démonstration mes Êlémens d’ Arithmétique , 9e édit. , n" 127 ), c’est que le produit de deux ou plusieurs nombres reste Je même, dans quelque ordre qu’on les multiplie.

Cela posé , considérons d’abord le cas où l’on a un monome à multiplier par un monome; soit 7a35’ à multiplier par 4a’5.

L’expression de ce produit peut d’abord s’écrire ainsi 7 a35’x-5a’ô. Mais on peut la simplifier, en observant que,