A L’INTÉRÊT COMPOSÉ

payable flans n années , en ayant égard à l’intérêt de la.somme et aux intérêts des intérêts.

3° Déterminer le taux d’intérêt auquel on doit placer une tomme a, pour retirer, au bout de n années , en intérêt èomposé, une autre tomme À.

La formule serait 1 +r

d’où 1. (1 +r) :

Connaissant 1 + r, on en déduirait facilement' r, et, par suite, le taux d’intérêt pour 100 fr. , ' ■ ■ •

4° Enfin , déterminer le temps pendant lequel une tomme a doit être placée en intérêt composé , à raison de T pour 1 fr,, pour rapporter une sommé A. .

La formule serait n = - — — .

Si l’on voulait que A fût double, triple, quadruple. .... .,. .

de a , la formule se simplifierait.

Soit en effet A = k.a; la formule A = a ( 1 + r)", se

♦ ' ■ réduit à ka = a (1 + r)", d’où «==-■■■ |^ ; .

c’est-à-dire que la valeur de n est indépendante du capital placé primitivement.

Seconde question générale. Déterminer quelle somme il faudrait placer actuellement pour recevoir, à la fn de chaque année , une tomme déterminée b, de maniéré à être entièrement remboursé du capital, des intérêts du capital , et des intérêts des intérêts, après un nombre n d’années , l’intérêt étant a r pour 1 fr. par ari ?

Soit a la somme cherchée, ce capital deviendrait, au bout de n années , a (l + r)n .

Il faut donc qu’en déterminant ce que les sommes payées chaque année deviennent au bout de la nième, la somme des résultats soit égale à a (1 +’*•)".

Or, b donné à la fin de la première année , ou au commencement de la seconde, devient, au bout de la niime, b (1 + r)"— ,

De même, b donné à la fin de la seconde année , ou au commencement de la ‘troisième , devient, au bout de la i(l +• r)”—*.

338 énoncés d’autbes questions.

On trouverait do môme 3(1 + r)"— 3, 3(1+ r)n— 4. . . 3{1 + r), S, pour les valeurs des autres sommes 3, au bout de la nlime année. On a donc l’équation

mnis le second membre de cette équation , considéré dans un ordre inversé, est évidemment la somme des termes d’une progression par quotient, dont le premier terme est b, la raison 1 + r, et le nombre des termes ».

Ainsi , cette somme a pour expression (n° 193),

■■ . . -, — ou

donc enfin , l’on a l’équation

> 5171 +r)" — Il , 3f(l + r)B — 11

n(l+r)"— ' i; d’où a =

ou , appliquant les logarithmes ,

Cette nouvelle formule renfermant quatre quantités a, b, r , », donne aussi lieu à quatre problèmes difierens.

Voici les énoncés de plusieurs questions qui se rattachent aux précédentes :

On demande pour combien d’années on doit placer une somme a, en intérêt composé , à -5 et à 10 pour 100, pour doubler cette somme ?

( Rèp. à5p.j, 14a,If à 10 p. f, lans 3"'"''.}

On demande la somme que l’on doit placer à présent pour retirer pendant 12 ans, et a la fin de chaque année , une somme de 1 300 fr., de manière à être remboursé entièrement du capital et des intérêts au bout de ces douze années, l’intérêt étant lf 50e p. z par an?

{Rèp. 11602f,91.)

Un particulier a acheté un bien de 100000 fr., qui doit être payé en 15 paiemens égaux, en ayant égard aux intérêts des intérêts ; le taux pour chaque, intervalle de paiement est de 5 p. £.

StftIES lOGAHITUHIQCES. 329

On demande de combien sera chaque paie ment, ou la quotité de chaque paiement?

(Rèp. 9634f,22.)

Un nombre donné d’hommes a, augmente tous les ans delà centième partie de ce qu’il était P année précédente ; combien faut-il d’années pour que ce nombre devienne 10 fois plus grand ?

(. Rép . 231‘,"i environ.).

On tire chaque jour d’un baril de 100 pintes de vin , une pinte qu’on remplace au fur et à mesure par une pinte d'eau ; déterminer, 1° combien de vin il restera dans le baril lorsqu’on aura remplacé la 80” pinte ; 2° dans combien de jours le vin sera réduit à la moitié , au tiers , ou au quart?

Réponse à la première partie de la question : 60/’"1*" ^

Réponse à la seconde partie.' 09/°“" pour la moitié, 109 pour le tiers , et 138 /°«" pour le quart. ' /

§ IV. SÉRIES LOGARITHMIQUES ET EXPOKEIXTIECLES.

La méthode exposée n° 208, pour résoudre l’équation a’ = b, suffisait pour donner nne'idée de la construction des tables de logarithmes ; mais cette méthode est très laborieuse et même impraticable lorsqu’on veut déterminer la valeur de x avec un grand degré d’approximation. Les analystes ont découvert des méthodes beaucoup plus expéditives, soit pour construire de nouvelles tables, soit pour vérifier celles qui existent déjà ; ces . méthodes consistent dans le développement des logarithmes en série.

223. Soit y un nombre dont on demande le logarithme développé en série ; et appliquons la méthode des coefiiciens indéterminés (n°s 179 et 181).

Il est d'abord visible que l’on ne peut supposer