I. (1 +.r) = Aj? + B*’ + -J* D.ri + . • . . (I

en faisant x — 0, l’équation 1. 1 =0, qu’on obtient, ne présente ' plus aucun caractère d’absurdité.

Tâchons donc de déterminer les coefficiens A, B, C . . . .

Pour cela , imitons le procédé suivi n° 1B2 , et remplaçons x par z ; il vient

J. (1 + z) = Ar + Br’ + Cc3 + Dr4 + . . . . (2). Retranchant l’équâtion (2) de l’équation (1), on obtient

Le second membre de cette équation est divisible par x — z ; voyons si, par quelque artifice, on ne pourrait pas mettre ce facteur en évidence dans le premier.

Or, on al. (1+*) — 1.(1 + *) — 1. =1.^1 + f-qp-r) >

mais

pouvant être regardé comme un seul nombre u, on

peut développer 1. (1 + it) oui. A + y-j— comme 1. (1+x), ce qui donne

Substituons ce développement à la place de 1. (1+x) — 1. (1+*) dans l’équation (3), et divisons les deux membres par x — z ; il vient

1 + r ’ -(l + r)* + lj’(l+^ + = A + B (j + r) + C (jt1 + x: •+ z’) + .

SÉRIES LOGARITHXtQVIS. 3oT

Puisque cette équation doit , ainsi que les précédentes , se vérifier, 'quels que soient x et posons x = z ; il en résulte

— ^ — = A + 2Bx + 3Cx3 + 4Dx3 + 5Ex4 + . . .;

ou , effectuant la division indiquée dans le' premier membre ,

A (1 — x-f-x3 — x3 +xt — . . .) = A+2Bx+3Cx3 + 4Dx3 + ..... On a donc, d’après le principe du numéro 188, les égalités A = A’, — A = 2B, A = 3C, — A = 4D, A=5E ;

d’où

ta loi de la série est évidente : le coefficient du n,imc terme A .

est égal à =p — , suivant que n est pair ou impair; on obtient n

donc enfin, pour lé développement de 1. (I+x),

x x3 x3 xi x® x6 \

224. N. B. Par la méthode précédente , les coefficiens B, C, D, E . . . . . ont tous été déterminés en fonction de A ; mais ce dernier coefficient est resté complètement indéterminé. Or cela doit être d’après la nature de l’expression que l’ôn s’est proposé de développer ; car , puisqu’on peut former une infinité de systèmes de logarithmes , il faut qu’il existe, dans le développement général de 1. (1+x), une quantité tout-à-fait arbitraire, qui serve à distinguer les systèmes les uns des autres. D’ailleurs, on a vu (n° 212) que les logarithmes d’un même nombre , pris dans deux systèmes, ne diffèrent que par un facteur, constant pour tous les nombres ; ainsi , la quantité indéterminée doit être un facteur commun à toute la série ; et c’est pour cette raison que l’on a trouvé

SÉRIES LOO.VHiniEIQl'ES.

Le nombre A est (n° 212) le module dont la valeur particulière caractérise le système de logarithmes' que l'on Veut considérer.

225. L’hypothèse la plus simple qu’on puisse fairç , consiste à supposer A = 1 ; et l’on a , en désignant par 1' ( 1 +ar ) , ce système particulier de logarithmes ,

Si l’on donne à x toutes les valeurs possibles , on formera successivement tous les logarithmes de ce système qui a reçu le nom de Système naturel ou Système népérien (du nom de Neper qu’on regarde comme l’inventeur des logarithmes). Occuponsnous de la formation de ce système , puisqu’il sera facile d’en déduire ensuite tous les autres , soit en donnant à A différentes valeurs , soit par la formule du n° 212.

1 Faisons, dans la série (5), * = 0; il vient 1' 1 =0.

Soit encore x= 1 ; il en résulte!' 2= 1-

série très peu décroissante qui exigerait que l’on prît un très grand nombre de termes pour obtenir une approximation suffisante; il faudrait, par exemple, prendre les cent premiers termes pour avoir la valeur de l'2 à 0,01 près (n° 176). En général, la série ne saurait donner les logarithmes des nombres entiers, puisqu’on obtiendrait , pour tout nombre au-dessus de 2, une série dont les termes iraient en abgmentant.

Voici les principales transformations que les analystes ont effectuées pour conduire à des séries propres à donner les logarithmes des nombres entiers, qui sont les seuls qu’on doive placer dans les tables : - • ’ •

Première transformation , Soit fait, dans la, série (5), x = - ;

il obtient, en observant que 1' ^ 1 + - \ = 1' [y + 1) •— 1' y,

i'fy+.i)-i'y^.-A + 1 1

y ' "if %3 if

SÉRIES I OGARITIlSKp ES.

En faisant successivement y = 2, 3 , 4 , S. ..

on trouve

l'a-va-1-1 +1 -i-

U la“ 3 |8 + 81 324 +

‘‘•-•'«rirH+lSr

La première série donnera le logarithme de 3 au moyen du logarithme de 2 , la seconde lo logarithme de 4 en fonction du logarithme de 3. . . .,et ainsi de suite. Le degré d'approximation pourra toujours être apprécié ( n° 176 ) , puisque les séries sont composées de termes alternativement positifs ét négatifs qui diminuent de plus en plus.

Seconde transforma! ion. On parvient à des séries beaucoup plus commodes, par le moyen suivant :

jf

Substituons dans la série l'(l +.x)

— x la place de x, -,

•i • . i//i \ x x* xi '

11 vient.. l'(l— *) = — - — ;

d’où, en retranchant ces deux séries l’une de l’autre, et en observant quel'(l+.r) — l'(l -i—x) =1' '

„ 1 ■+■ x -fx x3 xs xJ xs \

1 ÏZ^=2(i+3 +t+ 7 * 9 +

Pour qué les termes du second membre décroissent rapidement , il faut que x soit une fraction très petite; et dans ce cas, 1 q- x

y— - est plus grand que l’unité, mais en diffère fort peu.

Posons donc y ^ = 1 + - [z étant au moins égal à 1 ) ; il vient (1+x) 2=(1 ^-rx) (2+ 1); , '

d’où , en réduisant , »

Donc la série précédente devient

ou

(i. + !)>/' B(2i+1)ST

834 SÉRIES I OGARITHMUJt'ES.

Cette série donne également la différence entre deux logarithmes consécutifs ; mais les termes décroissent beaucoup plus rapidement que la série (6).

Soit fait successivement «=1, 2, 3, -4, 8 ; on

trouve

l'3 — 1^ — 2(g + 3^3 + g7gs+7^7+*‘*) > l'4-l'3 = 2 (J + ~ ^ + ~ + . . .) , .

Soit z = 100 ; il en résulte

l'IOl ==l'100 + 2

(JL

série dans laquelle, le logarithme de 100 étant connu, le premier terme suffit pour donner celui de 101 avec sept chiffres décimaux (*).

Il existe encore des formules bien plus expéditives qui servent à exprimer des logarithmes en fonction d’autres déjà connus ; mais ce qui précède suffit pour donner une idée de la fucilité avec laquelle on pourrait construire des tables.

226. Les logarithmes népériens étant calculés, il est facile de former un tout autre système.

Par exemple, pour former le système ordinaire, il faut (n° 212) multiplier chaque logarithme népérien par le module

p— j— . Ce nombre a été calculé avec tout le degré d’approximation -que l’on peut désirer ; et sa valeur en décimales est 0,4342944819...: c’est le module propre à passer du système naturel au système dont la base est 10.

Ce module exprime d’ailleurs le logarithme ordinaire de la base du système népérien ; car, en appelant e cette base , on a l’équa-

(*) oyez la première note placée A la fin de ce chapitre.