DÉVELOPPE 11 EM DES EX POSE MIEL LE S ES SÉRIE

tien e|,,o=10; d’où, prenant les logarithmes dans le système ordinaire ,

1'. 10x1. «=1.10= 1 ; donc, l.e=p^ = 0,43429

Comme les tables ordinaires peuvent être déduites de ce qui précède, on peut s’en servir pour déterminer le nombre auquel correspond le logarithme ci-dessus ; et l’on trouve

Ainsi, e = 2, 71 828 18284...'.

Nous allons bientôt parvenir à ce même résultat par une autre voie.

227. Développement en série de l’exponentielle a*. — La liaison qui existe entre les quantités exponentielles et les logarithmes [liaison qui Consiste en ce que, a représentant la base d’un système de logarithmes , x est (n° 208) le logarithme de l’expression ar] , nôus conduit à chercher s’il ne serait pas possible de développer a* suivant les puissances de x ; ce qui donnerait alors le développement d’un nombre en fonction de son logarithme , question inverse de la précédente.

Supposons donc ce développement trouvé, et soit

a* = 1 + Ax + B.r’ + Cx3 + Dx4 + .... (1) ; <

si l’on fait x = 0, l’équation se réduit à a° = l, résultat, exact; ainsi cette forme do développement est admissible.

Pour déterminer A, B, C, D...., remplaçons x par x; il vient

s" = 1 -f Aj + Bi1 -f- Cz3 -l-Dîi -y- .... [2) ; *

retranchant ces deux équations l’une de l’autre, on a ax — a== A(x — z) + B (x*— z ’) + C [x3— z3) + D (x4 — zi) + . . .(3),

équation dont le second membre est divisiblé par x — z; ainsi il faut tâcher de mettre ce facteur en évidence dans le premier. Or, on peut mettre a* — a- sous la forme az (aa'—s — 1) ; doqo si l’on remplace , dans la série (1) , x par x — z , il vient

as(ax— - — l) = a* [A(x — z) + B (x — z)*+ G (x — z)3 + . . .

Substituant dans l’équation (3), à la place de a* — az, la valeur

DÉVEl.OWtJTEST

qu’on vient d’obtenir, et divisant les deux membres par jr — z, ou trouve ' . %

az [A-f-B (x — *) + C (x — *)’+ . . .]

= A + B(x+ z)4-C(x34-xz-pz3)4-

Faisons maintenant x = z dans cette dernière équation; elle se réduit à ar.A = A-f 2Bx-f3Cx3-f4Dx3 -fSEx4-f . . ,t ou remplaçant a* par son développement (1),

À 4* A’x 4* ABj*4’ ACx3 -f • • •=== A -f2Bx 4* 3Cx3 4~ 4Dx3 . • • Egalant séparément les coefficiens des mêmes puissances , on obtient les équations

A=A, A3=2B, AB=3C , AC=4D...; d’où l’on déduit

Aa ' ..A3

La loi du développement est manifeste : le terme qui , dans la

série (1), en a n avant lui , a pour expression - . — ; .

1 «!2>Os4*. »w

On voit que tous les cofficiens B , C , D . . . sont exprimés en fonction du coefficient A qui reste encore indéterminé , c’est-àdire que la méthode qui vient d’être suivie ne suffit pas pour le faire obtenir ; mais il n’en a pas moins une valeur unique qu’on

trouve par l’artifice suivant î -

On peut mettre a* sous la forme (1 -fa — l)x, ou (1 + b)T, eu posant, pour abréger, a -r- 1 = 4. Or , si l’on développe (1 -f à)x d’après la formule du binôme, on a

(l4-4)r=l.f.-A + | 4>4--.—jp .-^-j-.b3+

mais en ne tenant compte, dans ce développement, que de la partie affectée de x, il est aisé de reconnaître que cette partie a pour expression ,

-Vi— T+ 3~ T+5 ‘J*’ y

d’ailleurs le coefficient de x, dans la série (1), est égal à A. On n donc . ' -