J-wiA , , /, , l\w

10 , ou = 1 -J — J .

Développons ^1 -J- * par la formule du binôme démontrée générale-

mentn” 182, multiplions le résultat par », et retranchons ensuite «de chaque membre de l’égalité précédente ; il vient

1 1.2.7» + 1.2.3.»» — etc-

Dons cette série, le quotient de la division du terme qui en a r avant lui,

par le terme précédent ( voy. le n° 2 de la première notq), est iüZ!ü).L

quantité évidemment négative et numériquement moindre qùe l’unité, puisque l’on a m < 1 et » > 1. Ainsi , les termes sont alternativement positifs et négatifs, et décroissent indéfiniment. On a donc (n° 176)

d’où m — d

Mais on sait (n° 107) que le produit m (1 — 7») de deux facteurs »n, 1 — »«, dont la somme est 1, a pour maximum ou|. Ainsi, lu dernière égalité

se réduit enfin à m — d — - .

on

332 CALCUL DE l’eARBOR

Il est aisé maintenant d'apprécier le» deux erreurs e =(m — d) A, e'=»« — il, pour le cas de n = ou ^ 10000.

lo On a, en vertu de l’inégalité précédente,

et comme on a trouvé (note n l) A •< — ^ — > *1 en résulte

L’erreur e étant moindre que le seizième de l’unité de l’ordre du 8” chiffre décimal , ne saurait porter sur les 7 premières décimales du logarithme cherché.

2° On a c<- 80000 ^ 8 ’

c’cst-H-dire que, quand on réduit en décimales le 4” terme y=-m, pour l’ajouter à n, l’erreur ne peut porter sur le 4" chiffre décimal; mais on ne serait pas sur de l’exactitude du 5 chiffre ( ).

5. Calculons actuellement l’erreur qui résulte de VinexaolUude des logarithmes ( la proportion étant supposée exacte ).

Pour cela, nous allons, dans ce numéro, rapporter les logarithmes tabulaires ainsi que leurs différences, à l'unité décimale du T ordre, ce qui revient à lès rendre tous 10000000 fois plus grands , ou à les regarder comme des nombres entiers. Cette hypothèse n’a nul inconvénient , puisque l’on ne considère, dans la proportion, que les rapports des différences.

De là il résulte que, les logarithmes étant généralement fautifs, en plus ou en moins , d’une quantité qui a pour limite supérieure la moitié d’une unité décimale du dernier ordre (Arith., voyez le JV. B. n» 99), cette limite se trouvera représentée par

Paxaiix* WISTIOIC. Étant donné un nombre, déterminer son logarithme.

Soit n 4- d un nombre dont oïl demande le logarithme , n étant la partie entière et d la partie fractionnaire ; soit de plus, l, l' , les logarithmes de n, „ 4- 1 tels qu’ils sont fournis par les tables. Appelons . et »' les quantités quTl faudrait ajouter aux logarithmes l et V pour les rendre exacts, ces quantités pouvant être positives ou négatives, et ayant ^ pour limite (d’après ce qui vient d’être dit ). ... . . , ■»

En supposant la.proportion exacte, comme nous le faisons ici, on trouverait

(•) Le. «lent, qui viennent d’être établis dans ce numéro .ont dus , pour le fond , à Bertrand de Genève.