DIVISIBILITÉ

coiuinenturablcs ou incommensurables. Or , dans la division algébrique, telle que nôus l’avons exposée (chap. Ier), on a pour but, é/ant donnés deux polynôme* entiers par rapport à toutes les lettres et aux nombres particuliers qui y entrent, de trouver <■ un troisième polynôme de même espèce, qui , multiplié par le second , reproduise le premier.

Mais , si l’on a deux polynômes

Ax"< + Bj“-* + Car™-1 + . . . + Tx + U,

AV* + BV*-' + CV!z! + . . + Tx + U',

qui ne soient nécessairement entiers que par rapport à x, et dont des coeffieiens A, B, G . . .A', B', C', . . . soient quelconques, on peut se proposer de trouver un troisième polynôme , de même forme et de même nature que les deux précédons, qui, multiplié par le second , reproduis 6 le premier.

Be procédé pour effectuer cette division est analogue à celui de la division ordinaire; mais il y a cette différence que, dans cçdle-ci, le premier terme de chaque dividende partiel doit être exactement divisible par le premier terme du diviseur ,• au lieu que , dans la nouvelle espèce de division , on divise le premier terme de chaque dividende partiel ( c’est-à-dire la partie affectée de la plus haute puissance de la lettre principale ), par le premier terme du. diviseur, sans s'inquiéter si le coefficient du quotient partiel correspondant est entier ou fractionnaire ; et l'on continue l'opération jusqu’à ce que l’on obtienne un quotient qui, multiplié par le diviseur, anéantisse le dernier dividende partiel , auquel cas la division proposée est dite exacte; ou bien, jusqu’à ce que l’on parvienne à un reste de plus faible degré que celui du diviseur, par rapport à la lettre principale, auquel cas la division est regardée comme impossible, puisqu’on poussant plus loin l’opération , on obtiendrait des quotiens renfermant la lettre principale avec des exposans négatifs , ou cette même lettre en dénominateur; ce qui serait .contre la nature de la question,

. puisque le quotient doit être de même forme que les polynômes proposés , c’est-à-dire composé d’un nombre limité de termes affectés d’exposans entiers et positifs .

Pour distinguer, les . polynômes entiers par rapport à une lettre., x par exemple’, mais dont les coefficiens sont quelcon-