ALEXANDRE DE MAT, A LA LIBRAIRIE CLASSIQUE ET

•P* D* LA S ATTF.RIR, R* 24.

1 i. lu - •<

X di ./)

PRÉFACE

Lorsqu’un ouvrage élémentaire obtient quelque succès dans l’enseignement, il y a nécessité pour l’auteur de tâcher, à chaque édition , de mettre à profit les avis qui lui sont donnés par une critique éclairée. 11 doit surtout se tenir au courant des méthodes nouvelles qu’il juge susceptibles de perfectionner les théories développées dans son ouvrage.

Pénétré de cette obligation, qui m’était imposée par l’écoulement assez rapide de sept éditions de mes Élémens d’ Algèbre, j’ai repris avec soin , dans celle-ci , tous les chapitres, pour y apporter quelques améliorations. Je me contenterai ici d’indiquer les principaux changemens.

Dans le troisième chapitre , la rédaction du paragraphe relatif à l 'extraction de la racine carrée d’une quantité en partie rationnelle et en partie radicale du second degré , a été refaite en entier ; et en appliquant la formule générale à X expression de la racine carrée des imaginaires du second degré, j’ai démontré que ces sortes d’expressions conservent toujours la forme des imaginaires elles -mêmes. C’est à la lecture de l’Algèbre de MM. Mayer et Choquet, publiée depuis deux ans seulement , que je dois l’idée de cette amélioration.

J’ai retranché du quatrième chapitre toute la partie de X analyse indéterminée du second degré, qui se trouvait dans les éditions précédentes, parce qu’elle n’offrait pas un grand intérêt.

PRÉFACE

Dans le cinquième chapitre , j’ai supprimé également la théorie de la racine cubique des nombres entiers, comme faisant partie de mon Arithmétique ; mais en compensation, je me suis étendu davantage sur le procédé de la racine niime d’un nombre entier , et sur les extractions des racines par approximation, en général. J’ai présenté en outre, d’une manière plus complète que je ne l’avais fait jusqu’alors, le procédé de la racine tniime d’un polynôme. Enfin, la démonstration, due à Euler, de la formule du binôme dans le cas général, ayant été l’objet de quelques critiques, je n’ai conservé que celle qui est fondée sur la méthode des coefliciens indéterminés.

Dans la théorie des logarithmes, qui constitue la plus grande partie du sixième chapitre, j’ai renvoyé à mes Elémens d’ Arithmétique , pour la manière de se servir des tables, et je me suis borné à l’exposition des propriétés des logarithmes et de leurs applications.

L’introduction au septième chapitre, ayant pour objet la divisibilité des fonctions entières, a été beaucoup simplifiée par la suppression de tout ce qui n’avait pas un rapport immédiat avec les principes de la théorie générale des équations. La résolution des équations réciproques est aussi présentée d’une manière que je crois plus simple et plus satisfaisante.

C’est surtout dans le huitième chapitre , qui traite de la résolution des équations numériques, que d’importantes améliorations ont été introduites. Après avoir, comme dans les précédentes éditions, développé les principes relatifs aux limites des racines , et les conséquences qui en dérivent , la méthode des racines commensurables et les deux méthodes d’ approximation de Lagrange et de Newton , principalement dans le cas où une seule racine réelle est comprise entre deux nombres entiers consécutifs , j’ai exposé avec tout le soin possible le théorème de M. Sturm, et scs applications à la résolution d’une équation numérique

PREFACE

vÿ

quelconque. Ce beau théorème, déjà répandu dans l’enseignement par la publication de deux nouveaux ouvrages , celui de MM. Mayer et Cboquet , dont j'ai déjà fait mention, et le Traite d’ Algèbre de M. Lefébure de Fourcy (qui a paru tout récemment), ne pouvait manquer de faire partie de mes Élémens ; et je n’ai rien négligé pour en faire ressortir toutes l’utilité. Je regrette que la trop grande étendue de ce chapitre (qui renferme en outre la théorie de F élimination) ne m’ait pas permis d’entrer dans plus de détails sur un théorème analogue de MM. Budan etFourier, qui , toutefois, ne conduit pas à des résultats aussi complets, à beaucoup près, que celui de M. Sturm : je me suis borné à en présenter l’énoncé.

On trouvera encore, à la fin de ce chapitre, deux notes , l’une en deux parties , sur les polynômes rationnels , qui se trouvait dans l’édition précédente; l’autre sur V élimination , qui m’a été communiquée par M. Gérono, principal du collège de Lorient (*).

Peu de chaugemens ont été introduits dans les deux derniers chapitres , si ce n’est dans le neuvième, d’où j’ai cru devoir retrancher le paragraphe de Xextraction de la racine m"-'™0 d’une quantité en partie rationnelle et en partie radicale du second degré , comme étant peu utile , et où j’ai fait connaître l’usage du théorème de M. Sturm dans la discussion de l’équatiou du troisième degré.

(") On trouvera æ la lin de l’ouvrage une seconde note sur l’élimination , par M. \ incent; elle m’a etc remise beaucoup trop tard pour que je pusse la placer immédiatement après celle de 31. Gérono.

TABLE DES MATIERES

( Les article» que l’on a marqué» d’une * ne font pa« partie du Programme d'admission à l’École polytechnique.)

INTRODUCTION

Pages.

1... 7. But de l'Algèbre. Explication des signes algébriques.

Résolution de plusieurs questions à l’aide de ces signes. L.

CHAP. I". Des opération s algébrique*.

PARAGRAPHE PREMIER

8. . . 12. Définitions préliminaires. Réduction des termes sem-

blables-

13. . .15. Addition et soustraction. Règle des signes de la sous-

traction.

16. . .21, Règles do la mcitipucatior. Remarque» sur cette opé-

22. . .24. Division des monomes. Signification du symbole a°.

25.. . 32. Division des polynômes. Deux cas remarquables do la

division algébrique. Curaclères auxquels on'reconuait que la division de deux polynômes est impossible.

PARAGRAPHE II

33. . .41 . Des fractions algébriques. Théorie élémentaire du ri.es

r.ciMi r.naaen nivisxi s. 39 . . . 50

CHAP. II. Des Problèmes et des Équations du premier degré.