COMPLÉMENT DE LA MÉTHODE
ginaires, ou entre une racine réelle et une racine imaginaire.) Donc , si l’on cherche la limite inférieure des racines positives de l’équation Z = 0, et qu’on en extraie la racine carrée, oU sera certain d’avoir une quantité numériquement moindre que la plus petite différence entre deux racines réelles de-la proposée, c’est-à-dirc la quantité cherchée J.
Pour obtenir cette limite, il faut (n° 310) poser ï = - dans . • • ‘ ; ' ' .. ‘ I -1 . v
Z — 0 , ce qui donne la transformée V = 0; Soit l la limite
supérieure des racines positives de V = 0;i sera la limite inférieure de Z = 0; ainsi est la quantité J1 qu’il' s’agissait de déterminer.
Lorsqu’en recherchant la limite l la plus resserrée possible, par la méthode de Newton |(n° 309), ou celle des décompositions
(n° 308) , on trouve l <,1 , il en résulte -77/ou <f ^> 1 ; et cela
indique que la différence entre deux racines réelles quelconques est plus grande que l’unité. Dès-lors, on est certain que le nombre des racines réelles de la proposée est égal au nombre de changemens de signe qu’on avait d’abord obtenu, par la substitution des nombres entiers consécùtifs.
Mais ordinairement on trouve l > 1 , d’où p^- ou #,< 1. Dans
ce cas , comme |//e st, en général, incommensurable, il convient * dé remplacer ( /l par le nombre entier k immédiatement supérieur; ce qui donne ^ et, à plus forte raison, i moindre
que la plus petite des différences entre les racines réelles. On pourrait donc mettre ! pour intervalle entre deux substitutions
ri
consécutives ; c’est-à-dire qu’en substituant dans X = 0, la suite des nombres
et 0, -T-
, . 2,2 + î . . . jusqu’à L , ........ jusqu’à — L',
nés racines incommensurables.
on obtiendrait autant de changentens de signe que l'équation doit avoir de racines réelles. . ■ ■'> < .
Mais on peut encore éviter la substitution de nombres fractionnaires par la transformation suivante : v
Posons dans l'équation,
ihen résulte (n° 265) une équation dont les racines sont k fois plus grandes que celles de la proposée. Par eônséquent, les différences entre ces nouvelles racines sont elles-mêmes k fois plus grandes que les différences correspondantes entre les racines de la proposée ; en sorte que, sia — b désigne la plus petite des
différences relatives à X = 0, comme on avait a — b > * ,
il en résulte ka — kb 1. Ainsi la nouvelle équation Y = 0 est telle, que les différences entre toutes ses racines réelles, considérées deux à deux, sont plus grandes que l’unité.
Donc enfin, si l'od substitue, dans cette éqnation, la suite naturelle des nombres 0, 1, 2, 3... et — 1, — 2, — 3..., compris entre les deux limites , on obtiendra autant de changemens do signe que l’équation Y = 0 aura de racines réelles.
(Les deux limites de Y =0 sont d’ailleurs + AL et — AL', si + L et — L' désignent celles de X = 0.)
34 1 . Résumons ce qui vient d’être dit :
Pour mettre en évidence toutes les racines réelles incommensurables d’une équation X —0, il faut,
1° Former l’équation aux carrés des différences , Z s= 0 ;
2° Déterminer la limite inférieure j des racines positives de
cette dernière équation ( si l’on trouve ^ 1 , c’est une preuve
que la différence entre deux racines réelles quelconques de là proposée est aussi plus grande que l’unité; dès-lors, la substitution des nombres entiers consécutifs dans la proposée suffit pour mettre toutes les racines réelles en évidence) ; 3° dans le' 1 1 1
cas général de - 1 , remplacer par ^ ( k étant le nombre
entier immédiatement supérieur à \/l) , et poser x = ^ dans la
