COMPLÉMENT DE LA THÉORIE

la racine positive plus grande que 1 serait égale, à an nombre entier; et toutes les réduites consécutives étant formées, la dernière représenterait la vraie valeur de la racine commensu- . râble. <.**v •

Ce moyen est , sans contredit , moins simple que la méthode exposée n° 320; mais c’est le seul que l’on pût employer’ si l’on supposait que quelques-uns des eoefficiens fussent irrationnel* ; car la méthode ordinaire n’est applicable qu’aux équations dont tous les eoefficiens sont des nombres commensurables.

La méthode de Newton ne pourrait pas donner ces mêmes racines exactement ; puisque , d’après sa nature , on n’obtient les valeurs numériques des racines , que sous la forme de fractions décimales. * ’ . , ’

Nous observerons toutefois que l’application simultanée des deux méthodes à une même équation , peut abréger beaucoup les calculs. Ainsi, par exemple, après avoir d’abord employé la méthode des fractions continues pour obtenir chacune des racines à 0, 1 et même à 0,01 près , rien n’empécbe d’avoir recours à la méthode de Newton pour obtenir un plus grand degré d’approximation. 1

La méthode de Newton suppose , en général , comme celle de Lagrange ( n° 330 ) , que p et p ■+- 1 ne comprennent qu’une seule racine de l’équation.

Second^ partie. Cas où deux nombres entiers consécutifs peuvent comprendre plus d’une racine réelle. (

339. Lorsque , par la substitution des nombres entiers consécutifs ^compris entre les limites + L et — L', on obtient autant de changemcns de signes qu’il y a d’unités dans le degré de l’équation, il est clair que toutes les racines de l’équation sont réelles } et que chacune d’elles a une partie entière différente.

Mais si le nombre des changemcns de signe est moindre que le degré de la proposée , cela peut provenir, ou de ce que réquation a des racines réelles et des racines imaginaires , ou bien de ce que plusieurs racines incommensurables sont comprises entre tleux nombres entiers consécutifs. En effet, on a vu (n® 304) que deux nombres qui, substitués dans le premier membre d’une équation, donnent des résultats de signes contraires, peuvent

DES RACIXES IiSCOSM EESUB ABLGS.

comprendre un nombre impair quelconque de racines réelles; et que deux nombres qui donnent des résultats de même signe, peuvent en comprendre un nombre pair quelconque.

Par exemple, si une équation devait avoir deiete racines, j/2 et |/3 par exemple, comprises entre 1 et 2, il arriverait que 1 et 2, substitués dans la'proposée , donneraient des résultats de même signe. v

Pareillement, qu’une équation ait trois racines ; j/11 , j/13, j/15 , comprises entre 3 et h ; ces deux derniers nombres substitués donneraient des résultats de signes difTérens.

On voit donc que La méthode de Substitution des nombres entiers Consécutifs serait , dans ce cas ^insuffisante pour mettre en évidence toutes les racines réelles de la proposée , et qu’elle aurait l’inconvénient de laisser échapper quelques racines.

3-40. Cet inconvénient disparaîtrait si l’on pouvait déterminer, à priori, une quantité <? , numériquement moindre que la plus petite des différences qui existent entre deux quelconques "des racines réelles d’une équation proposée. Car, soit mise la quantité d'pour intervallo entre deux substitutions successives; il” est évident que deux nombres qui auraient entre eux la différence d, et qui, étant substitués, donneraient des résultats de signes contraires, comprendraient une racine, et n’en comprendraient qu’une; s’ils donnaient des résultats de même signe, ils ne comprendraient aucune racine. Ainsi , le nombre des racines réelles de l’équation serait égal au nombre des changemens de signe obtenus par les substitutions.

Voyons donc s’il n’y aurait pas quelque moyen de déterminer la quantité d\ Or, cela est facile d’après l’équation aux carrés des différences. , . • »

En effet , désignons par X = 0 l’équation proposée , et par Z = 0 l’équation aux carrés des différences, équation que nous avons (n0* 273 et 297 ) appris à former.

Remarquons d’abord que, le carré de la différence entre deux racines réelles quelconques de la proposée étant positif, on ne doit chercher les carrés des différences entre les racines réelles, que parmi les racines positives do l’équation Z = 0. (Ses racines négatives correspondent à des différences entre des racines iraa-