Appliquons ces principes à quelques exemples

Soit , en premier lieu, l’équation

Les limites supérieures des racines positives et négatives sont, comme il est aisé de s’en assurer, +3, — 2.

Or , en substituant les nombres

on trouve pour résultats, ' ' •

+ 2, -il, -12, - 7, - 2, - 3;

et l’on vojt que + 3 fit + 2 sont lès seuls nombres qui donnent deux résultats de signes contraires. D’où l’on peut conclure que l’équatiort a une seule racine réelle et deux racines imaginaires ; ou bien que ses trois racines sont réelles , mais que les différences entre ces racines , prises deux à deux , sont moindres que V unité.

Pour faire cesser toute incertitude , formons l’équation aux carrés des différences. On a trouvé (ij0 274), pour celte équation,

Faisons, dans Cette équation , z = - ; il en résulte

DES RACtJKS !NCOHME>iSlRAB!.ES. A\)ô

équation que l'on peut écrire ainsi :

Or^ il est visible que o = ou }> ^ donne un résultat positif;

ainsi la limite supérieure l des racines positives de cette équation étant plus petite que l’unité, la quantité correspondante

* est 1 ; et par conséquent les différences entre les racines

réelles de la proposée sont plus grandes que l’unité. D’ailleurs ,, la substitution des nombres entiers dans la proposée n’a produit qu’un seul changement de signe ; donc enfin l’équation proposée a une seule racine réelle qui est comprise entre 2 et 3.

La méthode de Lagrange, appliquée à cette équation, donne, après quatre transformations successives , x = 2,9005 à 0,0001 près. • i

( Voyez le n° 337, où cette équation a déjà été traitée par la méthode de Newton.) • •