Soit, pour second exemple , l’équation

8ar3 — 6x — 1=0... (1).

Les limites supérieures des racines positives et négatives sont évidemment + 1 et — 1 .

Faisant, dans cette équation , x = + 1 , 0 , — ‘l ,

on trôuve pour résultat ... .... + 1 , — 1» — 8;

la substitution ne donne lieu qu’à un seul changement de signe; ainsi nous devons avoir recours à l’équation aux carrés des différences. ' ' •/ .7 ' . % '

Si l’on forme cette équation, soit par la méthode d’élimination ( n° 273) , soit par les fonctions symétriques (n° 297), on trouve pour résultat, , ’

64z3 — 288zJ + 324* — 81 = 0.

Posons z= il en résulte % u . .

81t>3 — 324r,+288r — 64 = 0, ' équation qui peut être mise sous la forme

•496 COMPLÉMENT IlE LA MÉTHODE

et il est facile de reconnaître que 3 est, en nombres entiers, la limite supérieure la plus resserrée des racines positives.

Ainsi Ton a Z=3; d’où i =^5 et l Ô

Remplaçant j/3 par le nombre entier 2, immédiatement supé-

rieur, on obtient ^ pour la quantité moindre que la *plus petite

différence qui puisse exister entre les racineB réelles de la proposée. ' v . «

. Faisant donc dans la proposée, conformément à la règle du

n° 341 , r=^, on a la transformée , •

équation dont toutes les racines réelles ont entre elles une différence plus grande que l’unité.

Les limites supérieures des racines positives et négatives étant d’ailleurs +2 et —2, il suffit de faire, dans l’équation (3),

ce qui donne les résultats + 1 , 4 , — 1 , + 1 , — 3.

On obtient évidemment , par Ces substitution? , trois changement

de signe; ainsi, l’équation (3) a ses trois racine? réelles , l’une

comprise entre 1 et 2 , une autre entre 0 et — 1 , et la troisième

entre — 1 et — 2. . ’ > .■

Donc, enfin, l’équation (IJ a elle -même ses trois racines

’ . 1 1 réelles , l’une comprise entre ^ et 1 , la seconde entre 0 et —

et la troisième entre — - et — 1. ■

Pour approcher davantage de ces racines, on appliquera d’abord à l’équation (3) Tune des deux méthodes d’approxima-

tion; après quoi l’on substituera dans la relation .r— , les

valeurs de y obtenues; ce qui donnera les valeurs de x correspondantes.

1 1 \Zl~~ |/3’

DES RA.CMES 1NCUS MÏSSU1UBI.E9.

On trouvera, par ce moyen, .

pour l'équation y3 — 3y — 1=0 j y = — 0,3474,

et pour l'équation 8x3 — 6x — 1 = 0 < x= — 0,1737,

Ces valeurs sont exactes à 0,0001 prés.

344. Premiers remarque. La méthode exposée n° 341 pour mettre en évidence les racines incommensurables, lorsque plusieurs racines peuvent être comprises entre deux nombres entiers consécutifs, ne saurait être appliquée aux équations qui ont des racines égales.

En effet, supposons qu’une équation ait deux racines réelles égales à a; comme ces deux racines ne forment qu’un seul et même nombre, elles sont nécessairement comprises entre deux nombres substitués, quelque petite que soit la différence de ces derniers nombres. Ainsi ces nombres, qui comprennent deux racines , devront ( n° 304 ) donner deux résultats de même signe , aussi bien que deux nombres qui n’en comprendraient pas. Si l’équation pouvait avoir trois racines égales à a, les deux nombres qui les comprendraient, donneraient deux résultats de signes contraires , aussi bien que deux nombres qui comprendraient une seule fois cette racine.

Observons d’ailleurs que, l'équation X= 0 ayant des racines égales, l’équation aux carrés des différences, Z = 0, aurait nécessairement des racines égales à 0 ; et alors la limite inférieure des racines positives de cette dernière équation serait 0 ; c’est-àdire qu’il faudrait mettre un intervalle nul entre deux substitutions, ce qui est absurde.

Concluons de là qu’avant d’appliquer la méthode du n° 341 ,

(*) En appliquant la méthode de Tfewton au calcul de la seconde valeur de y, on reconnaît qu’elle est en défaut ; et le chiffre des centièmes, obtenu par la règle du numéro 335, doit être corrigé de deirr unités par le moyen indiqué au numéro 330.