Observations préliminaires. Nous* avons donné , dans le

huitième chapitre , des méthodes pour déterminer les raehies réelles commensurables ou incommensurables, d’une équation numérique. Nous allons maintenant nous occuper de la recherche des racines imaginaires. Au premier abord, cette recherche peut paraître superflue ; car ces racines , étant des symboles purement algébriques, ne sauraient résoudre la question dont l’équation est la traduction algébrique. Cependant, comme nous l’avons déjà dit, l’emploi de ces;expressions dans la haute analyse est d’un usage très fréquent, et conduit quelquefois à des résultats d’une grande importance ; c’est pourquoi nous tâcherons de donner uue idée du travail des plus célèbres géomètres sur cette partie. * ‘ •/

381. Commençons par remarquer que , lorsqu’une équation a des racines réelles incommensurables et des racines imaginaires, on ne peut, comme pour les racines commensurables, la debarrasser d’abord de ses racines incommensurables; caries méthodes ne donnent ces racines que par approximation, et si l’oh divisait l’équation par les facteurs du premier degré correspond

TORSE GÉRÉRAtE

dans, on obtiendrait pour quotient un polynôme dont les coefliciens ne seraient que des nombres approchés.

Le calcul des racines de l’équation résultante n’offrirait plus alors aucune certitude.

Ainsi nous supposerons, dans tout ce qui va suivre, que les équations proposées renferment à la Fois, et des racines incommensurables, et des racines imaginaires, à moins que toutes leurs racines ne soient imaginaires.

Nous avons déjà reconnu (n° 315) qu’une équation dont les coefficiens sont réels, ne peut avoir de racines imaginaires qu’en nombre pair. Or , les analystes sont parvenus à un résultat plus positif encore, qui consiste en ce que les racines imaginaires de toute équation a. coejjiciens réels, sont toutes de la forme de celles du second degré, c’est-à-dire de la forme a zh b Vr—\ , a et b désignant des quantités réelles, commensurables ou incommensurables.

382. Avant de passer à la démonstration de cette proposition importante , nous ferons voir que , si une équation a une racine de la forme a + b — 1 , elle en a nécessairement une autre de la forme a — b V' — 1-, a e/b étant les mêmes dans ces deux expressions.

Pour démontrer ce lemtne, considérons l’équation xm + Pxm~I + Qxm— a + ....+Tx+U— 0,

P, Q, . . ., J, U, étant des quantités réelles quelconques, et supposons que cette équation soit satifaite par une expression telle que a + b \S — 1 ; on aura l’égalité vérifiée

(a + àV/^I)'" + P(a+iV/*l)"— + ... +T(« + aV/rT)+U = 0. Développant les calculs et rappelant que les diverses puissances de — 1 sont alternativement (n° 170)

on obtiendra une expression composée de deux parties bien distinctes, savoir : une partie réelle, provenant de toutes les puissances paires de bl/ — 1 , combinées avec les puissances a’",

am— *, am— b . . . .' de a, et les coefficiens P, Q, R ; puis une