partie imaginaire, provenant de toutes les puissances impaires
nts racines ikagiiaikks. SGI
de bV—[, combinées avec les puissances am— ', am~3. . . de a, et les coefBcieris P,Q,R • • ,
Désignant donc ces deux parties par M et N V' — 1, l’égalité ci-dessus se réduira à M + Nl/ — 1=0, équation qui ne peut J évidemment subsister qu’autant que l’on a séparément
M — 0 et N = 0.
Actuellement si , dans le premier membre de la proposée, au
lieu de a + b V' — 1 . on substitue a — b 1/— L, ce qui donne
(a èV/ 1>4-P(a— q- , -f T (a — b V' — l) + U ,
il est facile de voir que le résultat du développement ne différera du précédent qu’en ce que tous les termes affectés des puissance s impaires de b \/ — 1 , auront changé de signes ; car ( — bV— i)*« est égal à( + ê \/ - 1 )»«; mais (-£ \S rl),"-*-,est égal à— (él^-l)1'I+l i'n° 1K9); donc ce résultat sera nécessairement M— — 1 ,
M et N désignant ici les mêmes quantités que dans le résultat du premier développement. Or, on a vu tout à l’heure que l’on doit avoir séparément M=:0 et N==0j ainsi l’égalité M — Nj/ — 1=0 est elle-même satisfaite; par conséquent, si a-fbl/ — f est une racine de la proposée, a — b V' — 1 est nécessairement une autre racine ,
Passons maintenant à la démonstration du théorème sur la forme des racines imaginaires. ,
383. Cette proposition est évidemment une conséquence de celle dont voici l’énoncé : toute équation de degré pair, dont les coefficiens sontréels, est iécomposable en facteurs réels du second degré, c’est-à-dire en facteurs de la forme'*’ +px +■ q,x* +p'.v + dans lesquels p, q, p', q',.-. désignent des quantités réelles quelconques; car, .ceci étant admis, les facteurs +px+q ,
•r’ + y égalé s à 0, donnent Heu à des racines qui, si elles
sont imaginaires , ne peuvent être que de la forme adzb v — 1 ; et réciproquement.
Tâchons donc de démontrer ce dernier théorème qu’on doit regarder comme un des plus beaux de l’Analyse. Voici la démonstration due au célèbre Laplacc :
' ÏOIKSE GÉSÉBALE
Soit une équation X=*0 de degré pair m , et à coefficiens réels. Appelons a, h, c. .’. ses différentes racines; les facteurs du second degré correspondans seront
.r^(n + J)x+oi, .r’ — (ff + c)x+ac, x1 — (A + è)x + bc, . . .
cela posé, nous allons d’abord faire voir qucl’uà de ces fadeurs, au moins y a ses coefficiens réels.
En effet , supposons , en premier lieu , que m soit une seule fois divisible par 2 , c’est-à-dire que 1 on ait »rt = 2w , n étant un nombre impair. ^
On peut toujours (n° 299) former, une équation en *, dont les racines soient des combinaisons de celles de la proposée, telles
que a + b + kah , a + c + kac „ k étant un nombre entier
tout-à-fait arbitraire. Concevons cette équation formée , et désignons-la par Z =0 ; son degré est égal au nombre des combinaisons, deux à deux, des, racines a, b,,c..., c’est-à-dire
à -L~ . pu n\m-^\) ; or n est, par hypothèse, impair , et il
en est de même cie [m;— 1) ; donc l’équation Z=0 est de degré impair; ainsi (n» 312) cette équation a au moins une racine réelle, et .cette racine est la valeur de l’une des combinaisons a + b+kab, a + c + kac, ...
Maintenant , attribuons à k une seconde , une troisième . . . valeur; nous formerons ainsi autant d’équations Z =0, Z"==0,.., qui auront chacune au moins une racine réelle. 11 pourra d’abord se faire que la racine réelle de chacune de ces équations appartienne à une combinaison composée de deux lettres diffé- J rentes de celles qui entrent dans les combinaisons précédentes ; mais comme le pombre de ces combinaisons est limité et égal
(qu’on peut désigner par/»}, il est clair qu’après avoir
attribué à h, (p + 1) valeurs, et formé (pf I) équations Z = 0 , Z'=0, Z"=0, •• . deux de ces équations serqnt telles, que la racine réelle de chacune appartiendra à une combinaison composée des deux mêmes lettres ; ainsi l’on peut supposer, par exemple, quq l’on ait trouvé, en désignant par « et «' ce* deux racines réelles , .
« + ü + kab = a, a + b + k'ab=n' .
UCS RACUIES IVAG1SAIRES.
De ce» deux équations on déduit par l'élimination :
1° ab =
ces valeurs sont nécessairement des quantités réelles et finies ;
donc il est démontré que l’un, au moins, des facteurs
x1 — (a + i)x + ai, de la proposée, est réel.
Soit, en second lieu, »î=2’.n',n' étant impair ; formons encore ■ une équation Z = 0, dont les racines soient des combinaisons
de la forme a + i + kab , cette équation sera du degré m — - —
ou %n’(m — l)f or, »'et(m — 1) étant des nombres impairs, ce degré sera pair et une seule fois divisible par 2 ; donc , en vertu de ce qui vient' d’être dit ,J’équation Z=0 aura au moins un facteur réel du second degré. Ce facteur, égalé à 0, donnera lieu à deux valeurs de z, de la forme a ± S V 1 (£ pouvant être 0, ce qui arriverait si les deux valeurs de t étaient réelles ), Considérons seulement la première racine, et supposons qu’elle" appartienne à la combinaison a-\-b + hab.
D’après les raisonneincns précédens, rien n’erapèchc de supposer encore qu’une autre équation Z'=*0 , formée de la même manière, ait utte racine de la forme a' + ?'V — I, appartenant à la combinaison a+b+k'ab, composée des deux mêmes lettres";
a-f-è-f-A ni = « + C l/' t— 1
en sorte que l’on ait à la fois
a-f-i + h' ab~a ’ + t? 1
d’où l’on dédùit
ab
* — «' + (?— 0 1^— 1 •' . ha!— k'*+{k?— h’: ) V—\
= ki=Y~—'a+b= Ï^IP
Ces expressions sont de la forme r+sV ' — 1 et r’ + s' \/ — 1 ; ainsi la proposée a au moins un facteur du second degré , tel que x’ — ( r'+s'lS — l)x+r+#l/ — 1 ; et éi l’on égale ce facteur à 0, on en tire - . -
La quantité sous le radical étant développée donne un Résultat
