W=:COS — ± .V

* ■m -trt

ou bien ( dans le cas où m est pair)

k=~ , . . . . y— cos sr ± sin t l/=l=-l.

Ce tableau donne toptes les racines de l’équation.

En effet, 1° lorsque m est. impair, chacune des valeurs

A=l,2,3,'.. — g-r- , fournissant deux racines pour y, le

nombre total de ces valeurs donne nécessairement 2 .

ou ( m — 1) racines; d’ailleurs k = 0 donne la racine 1 ; ainsi

le nombre des racines fournies par & = 0,1,2,3,.. . — g — ,

est m. Toute t ces racines sont essentiellement différentes , cnr

les arcs 0, — , étant moindres que ( ou la

demi-circonférence ) , ont au moins des cosinus différons.

2° Lorsque m est pair, les deux valeurs extrêmes, A = 0

et A= : — , fournissent les deux racines + 1 et — 1; d’ailleurs

les valeurs intermédiaires A = 1 , 2, 3, . . . . — 1^ , donnent

uk l’4qIatiox y™ — 1 = 0. 878

chacune deux racines ; donc le nombre total des racines qui correspondent à A = 0 , 1,2,... ^ 1 ^ > es* exprimé

par 2 + 2 — l) , ou par m; et ces racines sont essentielle-

ment différentes, par la même raison que ci-dessus.

On voit d’ailleurs que, pour une même valeur de A, autre

. m • que A=0 si vi est impair, et A = 0, A = -^-, si m est pair, les

deux racines imaginaires qu’on obtient, sont conjuguées (n° 882).

En outre, ces deux racines sont réciproques l’une de l’autre

(n° 299) ; puisque l’on a pour leur produit,

/ 2A-,r . 21* / 2A* . 2Asr /—

(cos — + sin K— 1) ( cos sin — .V — 1)

, 2At . 2 kir '

= cos* . 1- sin’ = 1 .

Il nous reste maintenant à faire voir qu’en attribuant à A

de nouvelles valeurs plus grandes que — ^ — ou , on retombera sur les mêmes racines.

Soit d’abord m un nombre impair ; et supposons k— — - — +n ,

n étant un nombre entier positif quelconque. 11 vient

(jn+2n — l)ir . (w + 2n — 1)t ./ — :

• ± sin — —.V — 1,