MÉTHODE INVERSE DES SÉRIES

Et en effet , x + x7 + x3 -f . . . est une série récurrente dont 1» fraction génératrice est(n° 417) y- ^ — .

Ainsi l’on a y— , d’où l’on tire x— - — - — .

Or , en développant cette dernière expression en série par la division , on trouve

y— y* + y3 — y4 + ys—...

Soit, pour second exemple, l’cquation

dont le second membre n’est autre chose que le développement de ex [voyez n° 229).

En faisant y — l=z, on a

Z~I+ iT2+TX3 + 1.2. 3. 4

Posons alors x = Az + B i* + Cz3 + Dz* .... (2).

En formant, à l’aide de l’identité (1), les diverses puissances de z, puis substituant leurs valeurs dans l’identité (2) , on sera conduit aux équations suivantes , . -,

d’où l’on déduit A

donc, le développement de x en s est

* s za z3 zi

ainsi l’on a pour celui de x en y,

(y — 1) (ÿ-1)» . fy-t)3 (ÿ-l)*

SÉIHODE ISYERSE DES SÉRIES. 631

Observons d’ailleurs que l’équation y = e* donne (n° 208), dans le système népérien, x = Y. y; donc

(y i) (y 1)’ , (v-lp (y- 1)4.

ly- j 2 1 â 4 + "“

Tel est, en effet (n° 225), le développement en série du logarithme naturel d’un nombre.

La méthode inverse des séries est d’un usage pen fréquent , parce qu’il est difficile de reconnaître , d’après la nature des calculs , une loi de formation pour les coefficiens ; et l’on est souvent obligé de déterminer un grand nombre de coefficiens ‘avant de pouvoir saisir cette loi.

430. Nous terminerons ce que nous avons à dire sur cette méthode par la remarque suivante :

Si l’on a une équation de la forme

oy + Ay’+cy3+ • • • .=u,J+A,j:I+e,xîd- . . .

formée par deux séries, et qu’on veuille exprimer y en x par une série telle que y = Aj + Bx1 + Cx3 + ...., il faut, pour obtenir A, B, C. . ., former les diverses puissances, y1, y3, y4. . ., à l’aide de cette dernière équation, puis les substituer dans la première, ce qui donne alors une équation identique en x, dont on égale séparément à 0 les coefficiens correspondais.'

Mais les calculs dans lesquels on est ainsi entraîné sont souvent impraticables, parce que les coefficiens A, B,C, . . . . entrent, dans les équations de condition , à des puissances de degré supérieur au second.

§ IV. — DES SÉRIES TRIGOKOJlÉTRIQUES ET CIRCULAIRES.

Nous compléterons la théorie des suites par la recherche du développement des trois lignes trigpnométriques principales, sin x , cos x , tang x , suivant les diverses puissances de l’arc x, séries qui servent à la confection deà tables trigonométriques.

Développement de sin x et de cos x.

431 . Pour résoudre cette question, nous partirons de la formule (cos a + sin a .V' — l)’» £= cos wia+ sin ma.

démontrée (n° 391). - /

SÉRIES TRlGOKOMÉTBIQtES.

Si l’on développe le premier membre de cette équation d’après la formule du binôme, il est aisé de voir que ce développement se composera de deux parties distinctes : une partie réelle et une partie affectée deV' — 1. Or, pour que l’équation précédente puisse exister , il faut qu’il y ait séparément égalité entre les parties réelles des deux membres , et entre les deux parties imaginaires.

Supposons donc le développement effectué ; nous obtiendrons les deux nouvelles équations

cos ma — cosm a — m .

.cos"1- *o .sin’o

.eosOT— ^a.sin'*a+

sinwio = cosm— 'a.sino — m. ■

•cosm — 3a,gin3

Ces formules servent, en Trigonométrie, à déterminer le sinus et le cosinus des arcs multiples, ma, en fonction des sinus et cosinus de l’arc a; mais on peut aussi èn déduire les valeurs du sinus et du cosinus d’un arc en fonction de cet arc.