SÉRIES

428. La méthode des coefficiens indéterminés donne, en général, le moyen de développer toute fonction do x suivant les diverses puissances de cette lettre. Réciproquement , cette fonction , que l’on peut désigner par y, étant développée suivant les puissances de x, on peut, par la même méthode, obtenir le développement de la quantité x suivant les puissances de y; et c’est en cela que consiste le retour des suites , ou la méthode inverse des séries.

Soit y — ax + bx ’ + ex3 + dx4 + . . . (1), la fonction développée suivant les diverses puissances de x (a, b, c, d,... étant des quantités connues); on demande réciproquement la valeur de x en y, c’est-à-dire les coefficiens du développement x = Ay + By’ + Cy3 + Dy4 + . . . (2).

Pour y parvenir, élevons successivement au carré , au cube. . . les deux membres de l’équation (1 ) ; il vient

y’ = a’.x’ + 2 ab.x*

+ 3a’àx4

b ’ , 2 ac Sab ’ 3a ’c

2 bc îad

y’ = aJx’ + ..., d’où, substituant dans l’équation (2) et ordonnant,

0 = Âa

A b Ba’

+ A c -+• 2Ba4 + Ca3

■+■ Ad + Bê’

+ 2Bac + SCa’A •+■ Da4

MÉTHODE lilVIBSE DES SÉRIES. 629

Égalant à 0 les coefficiens de x , x1, x3, x$..., on obtient les équations n

Aa — 1 = 0, AA + Baa = 0, Ac + 2Ba4 -f Co3 = 0 ,

Ad + Bôa + 2Bac + 3Co’4 + Da4 = 0. .

desquelles on déduit successivement ,

— Ac — 2Ba/< 24a i — ac

Sabc — W — a’d Ô7

Ainsi l’on obtient, pour le développement demandé,

1 1 . ’• 24a — ae .

SA3 — SaAc + a’d

ai

N. B. Si l’on a un développement de la forme y — a + ax + b: ra + ex3 + ....,

il est facile de s’assurer , en reprenant la méthode précédente , que l’on ne peut pas développer x suivant les puissances de la fonction y elle-même ; mais on peut faire y — «=a, ce qui donne

z — ax + bx* + ex3 . . .

Posant ensuite x = As + Bia + Ci3. on déterminera les coefficiens A, B, C...; après quoi l’on remettra pour z sa valeur y — « ; et alors le développement de x procédera suivant les puissances, non de la fonction y, mais de l’expression y — «,

429. Application». Soit , pour premier exemple , la série y = x + xa + x3 + x* + x5 + . . . .

Posons x = Ay + Bya + Cy3 + Dy4 + Ey5 + . . .

En formant , comme ci-dessus , les diverses puissances de y, et en substituant leurs valeurs dans la seconde identité, on obtient les équations suivantes. . . .

A — 1=0, A+B=0, A+2B + C=0 , A-t-3B4-3C-f-D=0, A + 4B-t-6C + 4D + E= 0....; d’où l’on déduit successivement

Donc x=y — ya + y3 — y/| + y* — ....