S93 ^ 8.239"’ ""JJ

d’où l’on conclut enfin , pour le rapport de la circonférence au diamètre , ou pour le rapport de la demi-circonférence au rayon,

200° ou t = i

Il est facile de s’assurer que les quatre premiers termes de la première série, et les deux premiers termes de la seconde, donnent la valeur de n à moins de 0,00001 près.

439. Conclusion générale. En réfléchissant sur tout ce qui vient d’être dit sur les séries circulaires ou trigonométriques , on voit le parti que l’on peut tirer de l’emploi des symboles imaginaires, pour résoudre des questions d’une très grande utilité. Comme , pour parvenir à ce but , on étend à des expressions imaginaires, des formules qui d’abord n’avaient été reconnues vraies que pour des quantités réelles , on pourrait être tenté de révoquer en doute l’exactitude des résultats auxquels on est conduit ; cependant si , après certaines transformations , on parvient à des expressions débarrassées d’imaginaires , qui s’accordent avec celles que fournirait un raisonnement strict et rigoureux , on est forcé d’admettre la légitimité des moyens employés.

comrsiox GÉNÉRAIS.

C'est ainsi que les analystes ont fait les découvertes les plus importantes, auxquelles on ne parviendrait que très difficilement par des moyens en apparence plus satisfaisans.

La méthode suivie pour obtenir les expressions de sin x et cos x, offre encore l’exemple d'un raisonnement qui conduit promptement au but, quoique laissant d’abord un peu de vague dans l’esprit.

Pour parvenir à ces expressions, on suppose que, l’arc a devenant nul, le rapport - — — — sc réduit à 1. Au premier abord,

on a de la peine à concevoir que, l’arc étant nul, il puisse exister un rapport entre l’arc et sa tangente , et que ce rapport soit égal à 1 ; mais si , au lieu de supposer l’arc tout-à -fait .nul , on suppose qu’il ne diffère de 0 que d’une quantité extrêmement petite , le rapport entre la tangente et l’arc est calculable et diffère très peu de l’unité ; et plus l’arc est petit , moins le rapport diffère de l’unité. D’où l’on peut conclure qu’à la limite de décroissement de l'arc, c’est-à-dire quand a devient nul,

•on a -al}J* a ~ 1. L’exactitude des formules auxquelles on parvient ainsi, exactitude qui se trouve vérifiée par les applications que l’on en fait à la détermination des sinus et cosinus de certains arcs , confirme aussi l’exactitude des principes qui y ont conduit.

La considération de* rapport* de* grandeur* variable*, dans les limites de leurs accroissemens ou de leurs décroissemens , est l’objet de l 'Analyte infinitésimale , nouvelle branche des Mathématiques à laquelle la théorie des séries peut être regardée comme une espèée d’introduction.

Autre note sut F éliminât ion , par M. Vincent.

Cette Note a pour but de présenter un moyen général d'obtenir l’équation finale débarrassée de tout facteur étranger, et par conséquent de compléter’ la méthode indiquée à la page 55G, d’après M. Gérono.

Appelons A et B les deux polynômes proposés ; et supposons qu'on leur applique la méthode d’élimination simplifiée du n° 373. Soient », m', m",... les multiplicateurs en y dont l’introduction dans les dividendes successifs est nécessaire" pour conduire à des quotiens entiers, q, q' , q" . . et soient encore nr, «V, n'W,. . . les restes obtenus, n, n', n" . . étant leurs facteurs respectifs en y, facteurs par lesquels on divise ces restes, conformément à l’esprit de la méthode indiquée, avant de passer à la division suivante.

Cela posé, nous aurons , en admettant, pour fixer les idées , que le nombre des équations soit de cinq :

m A = qli -J- nr «t'B = q'r »V «t"r = q"/ + n"r" m"V =q"'r" + n"V" tn'yr" = 71*r/" -J-ri1*

Multiplions ces équations par les facteurs indéterminés respectifs, f, p , f", f’", ajoutons tous les résultats, et égalons a zéro chacune des quantités qui multiplient r, r', r", r"' . Nous aurons ainsi :

nf + q'f' — m"f" =0

n"f" Jrq'"f">— m" f” =0 n'"f" +q"f” =0

Le nombre des équations [2] étant inférieur d’une unité à celui des facteurs f, f', nous pouvons disposer d’un de ces facteurs de manière

à les rendre tous entiers, ce qui se fera le plus simplement possible en posant

Cette valeur de f iy rendra évidemment entières celles de toutes les autres indéterminées f’", f", f' , f, qu’il est, du reste, inutile d’écrire et de calculer; et alors le système des équations [1] se trouvera remplacé par la seule équation identique

mfK = (qf —»7') B + H [4],

dans laquelle on a fait, pour abréger,

« n'n"n"'*»IV = N [5].