AUTRE NOTE

Maintenant, il est clair que toute hypothèse (faite sur x et t/) capable d’annuler simultanément A et B , annulera également le produit N ; et , par conséquent, en posant Pï==:0, on 'aurait l’équation finale si ce produit ne devait contenir aucun facteur étranger ; mais il n’en est pas ainsi pour l’ordinaire*

En effet, supposons qu'une même valeur de y , par exemple y = A, rende identiquement nulles à la fois deux des trois quantités

mf (nf — m'f') > et K ;

elle rendra également nulle la troisième, puisque, par hypothèse, A et B u'ont aucun diviseur exact eu y. Ainsi, le facteur {y — k ) divisera identiquement l’équation [4], sans que , pour cela, la valeur y —h appartienne aux équations A = 0, 15=0; et comme tout système de valeurs de x et de y, capable d’annuler A et B, continuera néanmoins à annuler de même le quotient de N par le facteur (y— A), il s’ensuit que ce facteur est totalement étranger à la véritable équation finale , et doit en être entièrement rejeté.

On voit facilement d’ailleurs que les facteurs en y communs aux trois termes de l’équation [4] , sont les seuls qui doivent être ainsi considérés comme étrangers.

Il ne s’agit donc maintenant que d’examiner , parmi tous les facteurs en y du produit N , quels sont ceux qui peuvent annuler la quantité mff ou , ce qui est la même chose , les deux quantités

mf et (qf — m'f').

Or, en se reportant aux équations [2], on reconnaîtra que cela peut se fairo en admettant l’un des quatre systèmes suivons :

1* R.c=0 et m =r 0 \

2°* N = 0,/’ = 0, et m’=0

3° IS'^0, f—0, f'=0, et m" =..0 l L

4° N = 0, /~= 0, /v — 0, f" = 0, etw"'=0 J

Il n’y a plus d’autre systèfne admissible au-delà du quatrième. Car si l’on supposait encore 0, l’équation [4] ne serait alors autre chose que la

dernière des équations [1], multipliée par flY. Or l’équation, ainsi réduite, ne peut admettre aucun facteur en y-( excepté flY qui est évidemment hor» de la question ), puisque tout diviseur en y, commun à tnlr et n1T, devrait aussi diviser qlrf ce qui est impossible si l’on a bien opéré.

De ce qui précède il résulte premièrement que les facteurs étrangers proviennent essentiellement des multiplicateurs wi, m', m", m,,f.

Secondement. Observons que, quand on a fait f 0, l’équation [4] est divisible exactement par n, et devient entièrement indépendante de n après la division ; que de même, quand on a fait ^ = 0, l’équation [4] est divisible par nn't et devient, après la division, indépendante de n et de n'. . et ainsi dc,*uitc. D’où il résulte que les hypothèses f 0, /y = 0, /v'==0, ont

SCR l’éliikutio*. * (>4ü

nécessairement pour etfe.t de rejeter en dehors de fa question chaque équation qui se trouve multipliée par un facteur ainsi annulé ; et par suite j( comme on peut, au reste, le concevoir à priori) que les solutions communes aux équations [N=0], [»«'r=0], ne peuvent cire attribuées au facteur n; que les solutions communes A [N = 0], [m" = 0], ne doivent être rapportées ni à n ni à n'; que, de même , les solutions étrangères fournies par m'" = 0, ne peuvent appartenir ni à n, ni à n', ni è n" — ; et ainsi de suite.

Puisque d’ailleurs il ne saurait y avoir aucun facteur commun entre vi et n, entre »»' et entre m” et n",. . . ainsi qu’on l'a expliqué ci-dessus pour vi 1 v et nlv, il s'ensuit encore que les systèmes des équations [6] peuvent être remplacés par ceux-ci :

m = 0 et m' = 0 et »•" = 0 et m’"— 0 et

jt identiquement

aux suivans :

et

et

fwm' =0

et

mm* m" = 0

et

mmr m" m,n = (

De là on peut conclure ce principe général :

7out facteur en y commun entre le reste d'une division et un quelconque des multiplicateurs introduits dans les divisions précédentes , est étranger à l'équation finale , et doit être supprimé autant de fois qu'il se trouve dans ces multiplicateurs précédons , sans que jamais les solutions des équations proposées puissent en être aucunement altérées.

Par suite , pour avoir les valeurs de x qui correspondent respectivement n chaque valeur convenable de y , il faut commencer par supprimer entièrement, dans chaque reste, et sans y avoir égard en aucune manière, les facteurs en y dont il est question ; on substitue ensuite , dans le diviseur correspondant (conformément à la méthode du n° 373), les seules valeurs de y que celte suppression n’a pas fait. disparaître.