DES ÉQUATIONS UC PREHIER DEGRÉ

Trouver deux nombres dont on tonnait la somme a et la différence b? (C’est le problème n° 4.), •

Désignons les deux nombres cherchés par x et y; on a, d’après

Or, en 'principe , si,' à deux nombres égaux A et B, on ajoute respectivement deux autres nombres égaux C et D , les résultats À+C et B + D sont égaux; c’est-à-dire que, si l’on a les équations A = B et C = D , il en résulte A -j-C = B + D.

De même, si de deux nombres égaux on retranche deux autres nombres ég£iux , les restes sont encore égaux; c’est-à-dire que des deux égalités A = B et C = D, on dcdüit encore A — C = B — D.

Appliquons ce principe aux deux équations d* problème proposé. ' i

On trouve , en les ajoutant, <... ». 2 x = a + b,

et en retranchant la 2' de la lre. . . . 2y = a — b.

Chacune de ces équations ne renfermant plus qu’une seule

inconnue, on tire de la première, x == — ^ — >,

et de la seconde,

Eu effet, on a

=TF^,et

.Soit encore repris le problème de l’ouvrier (n° 39) , en ne considérant que l’énoncé général.

Soient x le nombre de jours de “travail, et y le nombre dejours d’oisiveté; ax et h y expriment respectivement la somme que l’ouvrier doit recevoir pour les jours dé travail ; et celle qu’on doit lui retenir pour les jours d’oisiveté. "

On a donc les deux équations I J ' .

I ax -r- 6y = c. •• ;

Or, nous avons déjà vu qu’on pout multiplier, les deux membres d’une même équation par un même nombre sans 'troubler l’égalité; ainsi, l’on peut multiplier les deux membres de la

A PLUSIEURS IllCOtCVCES.

donne par addition , bx + ax =s= In ■+• c ; d’où x =

première équatioil par b , coefficient de y dans la seconde; et il

vient j bx -\--by = bn,

équation qui, combinée avec la seconde ax — by=c,

bn + c a -+- b

Multipliant de même Ja première par a, coefficient

de x dans la seconde, on a.. ax -+• ay = an,

équation qui, combinée avec la seconde ax — by = c,

i • / », », > an — c

donne par soustraction, (o + 4) y=an — e;douy= -.

L’introduction d’un caractère pour représenter chacune des inconnues dans les deux problèmes précédons, offre sur la solution quia été donnée précédemment, l’avantage de faire connaître les deux nombres cherchés, indépendamment l’un de l’autre.

ÉLIM1VATI0S.

SI. Soient maintenant les deifx équation»

Sx + 7 y = 43, 1 lx 9y = 69 ,

qu’on peut regarder comme la traduction algébrique de l’énoucé d’un problème à deux inconnues.-

Si, dans ces deux équations, l’uno des inconnues était affectée du même coefficient, on pourrait , par une simple soustraction, foriüer une nouvelle équation qui ne contiendrait plus que l’autre inconnue, .et de laquelle on -tirerait fn valeur de cette inconnue.

Or, si l’on multiplie les deux membres de la première équation par 9, coefficient de y dans la' seconde , et les deYix membres de la seconde par 7, coefficient de y dans la première, ou

obtient , par cette dopblc multiplication , | ^ + 6”y 18"'

équations qui peuvent ètr.e substituées aux tleux premières , et dans lesquelles» y est affecté du mème.coefficient.

Retranchons donc la prefnière de ces deux équations de la seconde; il vient 32.r = 96 , d’où x = 3.

Pareillement, si l’on multiplie les deux membres de la première par 11 , coefficient de x dans la secôndo, et les deux membres de lu seconde par S, coefficient de x dans la première,

MÉTHODE b’tLIMIHATtUH

on forme les deux nouTelles équations

qui peuvent être substituées aux deux équations proposées , et dans lesquelles le coefficient de x est le même.

Retranchant donc la seconde de ces deux équations de la première, on trouve 32y=128, d’où y = 4.

Ainsi, x — 3 et y = 4 sont les deux valeurs de x et de y propres à vérifier l’énoncé de la question. En effet, l’on a

L’opération qui vient d’être exécutée , et au moyen de laquelle on obtient les valeurs des inconnues , propres à satisfaire à des équations données, est connue sous le noin d’ élimination , parce qu’ên effet elle consiste à chasser l’une des inconnues par des transformations pérmises et exécutées sur les équations proposées.

La méthode précédente a beaucoup d’analogie avec la réduction des fractions au mémo dénominateur; aussi est-elle, comme cette dernière opération, susceptible de quelques simplifications. Soient pour nouvel exemple , les deux équations

Pour rendre les deux coefiiciens de y égaux, remarquons que 21 et 35 ont le facteur commun 7 ; il suffit donc de multiplier la première équation par 5 et la seconde par 3 ; ce qui donne les

deux nouvelles équations

; 40x — lOay = 163, 1 18x + lOoy s= 531,

équations qui , ajoutées entre elles, donnent

58x = 696 , d’où x = 12.

Pareillement, les deux coefficiens de x renférment le facteur commun "2; ainsi, il suffit, pour rendre ces deux coefficiens égaux , de multiplier la première par 3 et la seconde par 4 ; ce

qui donne