PAR ADDITION ET SOUSTRACTION
Hetrancliant la première «quation de la deuxième , on trouve
• 203y = 609, d'où y = 3.
N. B. Il est très important de reconnaître, si les coefficiens ont des facteurs communs, puisque, dans ce cas, on a des calculs plus simples à effectuer.
Soient pour troisième exemple, les équations
Sjp
Il faut d’abord faire disparaître les dénominateurs d’après la règle (n° 44), et l’on obtient ainsi les deux équations ^
y — • Sx 12=1 — 12x + 36,
ou réduisant,
ou bien
Multipliant la seconde équation par 3, et retranchant la première du résultat, on trouve 23x = 40 ; d’où x a= 2$ mçis on a d’ailleurs y = 25 — 9x; donc y — 25 — 9 x 2 = 7. • *
52. Considérons actuellement le cas de trois «quations à trois inconnues.
'Soient les équations'. ... \ 7x + 4y — 3z.= 19,
Pour éliminer z entre les deux premières équations , il faut multiplier la première par 3, et hi secondé par 4, puis ajouter les deux résultats ( puisque les coefficiens de z sont de signes contraires) , ec qui donne pour nouvelle * >
équation.. . . . ; . ,. . .p43x — 2y = 121.
Multipliant la seconde équation par 2 , t • *
F un des facteurs du coefficient de z dans la troisième , et ajoutant le résultat avec la troisième , on a .. 16x + 9y = 84.
72 MÉTHODE D’ÉUMIMATIOM V AR ADDITION ET SOCSTRACTIOH.
• l<a question est donc ramenée à trouver les valeurs de x et de y, propres à satisfaire à ces nouvelles équations.
Or, si l’on multiplie la première par 9 , la seconde par 2 , et qu’on ajoute les deux résultats , on trouve
419j= 1257, d’où l’on tire x=S.
On pourrait, à l’aide des deux équations en x et y, déterminer y comme on a déterminé x; mais on parvient plus simplement à la valeur de y, en -observant que la dernière de ces deux équations devient, lorsqu’on y met pour x sa valeur,
48+9y=84, d’oùrontire y— — g — =4.
De même, là première des trois équations proposées devient , lorsqu’on y remplace x et y par leurs valeurs ,
J . syt
15 — 24 +4r==15, d’où X = ~=6.
En général , Soit un nombre m d’équations à pareil nombro-
d’inconnues. Pour trouver les valeurs des inconnues, combinez successivement une quelconque des équations avec chacune des m— 1 au/res, de maniéré a éliminer la même inconnue; vous obtenez ainsi m— 1 nouvelles équations renfermant m — 1 inconnues, sur lesquellervous opérez comme sur les équations proposées ; c’est-à-dire que vous éliminez une nouvelle inconnue , en combinant l'une de ces nouvelles équations abec les m — 2 autres, ce qui donne m — 2 équations renfermant m — 2 inconnues. Continuez cette suite d’opérations jusqu à ■ce qu’enfin vous parveniez à une seule équation qui fie renferme plus qu’une inconnue, et de laquelle vous tires facilement la valeur de cette inconnue. Après quoi, remontant de, proche en proche jusqu'à l’ane des équations proposées , vous
déterminez sucçessiveinent les valeurs des autres inconnues.
53. La méthode ‘d’élimination que nous venons d’exposer est connue sous le nom deméthede par additiofi et ■soustraction, parce qu’en effet ori parvient à chasser les inconnues par des additions et soustractions , après avoir toutefois préparé les équations de manière qu’une inconnue soit affeètée du même coefficient dans, toutes les deux. ' ,
AUTRES MÉTHODES d’ÉMIIIMATIO!».
Il existe encore deux autres méthodes principales d’élimination. La première, appelée méthode par substitution , consiste à tirer la valeur d’une inconnue de l!une des équations, comme si les autres inconnues étaient déjà déterminées, et à substituer cette valeur dans les autres équations , ce, qui donne ,lieu à de nouvelles équations. qui renferment une inconnue- de moins, et sur lesquelles on opère comme sur les équations proposées.
La seconde, appelée méthode par comparàison, consiste à tiror les valeurs d’une même inconnue, de toutes \es équations , et à égaler ces valeurs deux à deux ; ce qui donne nécessairement lieu à de nouvelles équations renfermant une inconnue de moins, sur lesquelles on opère comme sur leséqualions proposées. ,
Mais ces deux méthodes ont un inconvénient que n'offre pas la méthode par addition et soustraction , é’est dô donner lieu à de nouvelles équations renfermant des dénominateurs qu'il fafat ensuite faire disparaître. On emploie toutefois avec avantage la méthode par substitution, toutes les fois que l’une des inconnues a un coefficient égal à l’unité dans l’une des équations , parce qu’alors l’inconvénient dont nous venons de parler n’a plus lied.' Nous aurons quelquefois occasion de l’employer. Mais, en général, la méthode par addition et soustraction est préférable ; elle présente d’ailleurs cet autre avantage, que,, si leâ coeflicicns ne sont pas trop grands , on peut faire f addition ou la soustraction en même temps que la multiplication qui tend, à rendre les coef- ' ficiens égaux. jf
154. 11 arrive souvent que les équations proposées, no renferment pas toutes les inconnues à la fois. Dans ce cas, avec un peu. d'adresse , l’élimination se fait très promptement. ».
Soient les quatre équations à quatre inconnues,
En jetant les- yeux sur ces équations, on voit que l'élimination de s entre les équations (lj et (3) donnera. une équation en x et y ; et si l’on élimine p. entre les cqàations. (2) et (4), ou
AUTRES IXE*P«S o’tt.lMlHAT10."C.
obtiendra une seconde équation en x et y; ces deux dernières inconnues peuvent dorie être déterminées aisément. D’abord ,
l’élimination de z entre (1) et {3) donne.. •.....-
celle de u, entre (2) et (4), donne... 20y + 6x = 38.
Multiplions la première de ees deux équations par 3, et
ajoutons ; il vient . . . • • • 41y = 41
d’où ; ; ........... . i ........... . y= 1
Substituant cette valeur dans 7y — 2x=l, on
trouve .... .. . .'. . /. x=3
Reportons la valeur de x dans l’équation (2) ,
il en résulte 4 u — 6 = 30 ; d’où « =9
Enfin , la substitution de la valeur de y dans
l’équation (3) donne 2 = 5
Noùs proposerons, pour exercice, les cinq équations suivantes : 7x- — 2z + 3« = 17 1 qui donnent pour valeurs des 4 y — '2s + £=11 I inconnues,
53. Dans tout ce qui prépède , nous avons supposé le nombre des équations égal au nombre’ des caractères employés pour désigner les inconnues. Il doit en être ainsi de tout problème à plusieurs inconnues, pour qu’il soit déterminé, c’est-à-dire pour qu’il n’admette pas une infinité de solutions. • /
En effet, supposons , par exemple, qu’un problème à deux incoqnûes x, y, conduise à l’équàtiOn unique 5x — 3y= 12, on
en déduit x = ^ ~ ■ . T)r, si Ppn fait successivement
il en resuite x= 3, , -g-, Tg-, — , 0.../.;
et tous les systèmes de valeurs *• . .
inis pour x et y dans l’équation , y satisfont également.
PROBLÈMES DU PREMIER DEGRÉ A PLUSIEURS IXCOITICES. 7 îi
Si l’on avilit deux équations à trois inconnues , on pourrait d’abord éliminer l’une des inconnues à l’aide des équations proposées, et l’on parviendrait ainsi à une équation qui, renfermant deux inconnues , pourrait être satisfaite par une infinité de systèmes de valeurs prises pour ces inconnues; d’où l’on conclurait également une infinité de valeurs pour la troisième ihconnue. Donc , en général , pour qu’un problème soit déterminé, il faut que son énoncé renferme au moins autant de conditions différentes qu’il y a d’inconnues, et que ces conditions puissent; être exprimées chacune par une équatfon. Nous reviendrons au reste plus loin sur les questions qui donnent lieu à un nombre d’équations essentiellement differentes, moindre que celui des inconnues.
KG. Passons à la résolution de nouveaux problèmes à deux ou un plus grand nombre d’inconnues.
Sixième problème. Une personne possédé un capital deS0,O00/r. quelle fait valoir à un certain intérêt ; mais elle doit une somme de 20,000 fr. dont elle paie un certain intérêt . L’intérêt qu’elle retire surpasse celui quelle paie, de 800/r. Une seconde personne possède 35,000 fr. qu elle fait valoir au second taux d’intérêt ; mais elle doit une somme de 24,000 fr. dont elle paie un intérêt ati premier taux. L’intérêt qu’elle retire surpassé celui qu’elle paie , de 310 fr. On demande les deux taux d’intérêt? '■ •
Solution. Soient .r et y les deux taux d’iqférêt pour 100 fr. Pour obtenir l’intérêt de 30,000 fr. au taux désigné par x, 41 faut
établir la proportion 100 : x :: 30000 : ou 300 x.
On obtiendra de même, pour l’intéçèt de 20,000- fr.' au taux désigné par y, ou 200y. Mais, d’après l’énoncé , la diffé-
rence de ces deux intérêts est égale â. 800 fr.
On a donc pour première équation du problème ,
En traduisant algébriquement la seconde condition du problème, on parviendrais à la nouvelle équation
