DES PROBLÈMES DD PREMIER DEGRÉ

Cependant, les algébristes regardent les résultats — ,

y = ~, comme formant une espèce de valeur à laquelle ils donnent le nom de mleur infinie. En voici la raison :

Lorsque la différence m — n, sans être tout-à-fait nulle, est

, , . , , . , am ' an

supposée très petite, les deux résultats, , sont

très grands.

Soit, par exemple,»! — » = 0, 01, »i — 3; d’où ......

n — 3 — 0 , 01 =2,99. 11 vient

Soit encore m — n = 0,0001, »t = 3, d’où n = 2,0999; il

, . am an

en resuite = 30000a ,

vi — n m —

En un mot , tant que la différence des deux vitesses n’est pas nulle, les^ deux courriers se rencontrent; mais les distances du point de rencontre aux deux points de départ deviennent de plus en plus grandes, à mesure que cette différence diminue. Donc, si Von suppose cette différence moindre qu’aucune grandeur donnée,

les distances ■ — ■ , — — — sont plus grandes qu’aucune quantité

donnée, ou infinies. On dit alors , pour abréger : soit m — »=0,

il en résulte x = , y = ~, valeurs infinies.

Comme 0 est moindre que toute grandeur absolue, il s’ensuit que l’on peut prendre ce caractère pour désigner le dernier état d’une grandeur qui peut décroître autant que l’on veut. De même , comme un nombre fractionnaire est d’autant plus grand que son numérateur est plus grand par rapport à son dénomi- • . \

nateur , il s’ensuit qu'une expression telle que ^ ( A étant un

nombre absolu quelconque), est très propre à exprimer une quantité infinie , c’est-à-dire une quantité plus grande qu’aucune quantité assignable.

L’infini s’exprime encore par un huit couehé , os ; et par con-

DISCUSSION

séqucnt, une quantité moindre qu’aucune grandeur donnée,

ou 0, peut aussi s’exprimer par car une fraction est d'autant plus petite, que son dénominateur est plus grand par rapport à

son numérateur. Ainsi, 0 et sont des symboles synonymes; il en est de même de g etco ..

Nous avons insisté sur ces dernières notions, parce qu’il y a des questions d’une nature telle que V infini peut être regarde comme une véritable réponse à l’énoncé. On en voit des exemples fréquens dans l 'application de l’Algèbre aux question s de Géométrie.

En résumant ce que nous venons de dire, dans le cas de i n = n, on voit qu’il n’y a pas , à proprement parler, de solution du problème, en nombres finis et déterminés ; mais on trouve des valeurs infinies pour les inconnues.

#Si, à l’hypothèse ?« = n, on ajoute celle-ci, a = 0, les deux

valeurs deviennent x — -

Quel sens doit-on attachera

ce nouveau résultat? <

Reprenons. l’énoncé, et observons que, si les deux courriers partent du même point et vont également vite » ils doivent être toujours ensemble, et par conséquent, se rencontrer en tous les points de la ligne qu’ils parcourent. Et en effet, les équations deviennent, dans lq-double hypothèse de mzzzn, o = 0,

^équations qui rçntrent Fune dans l’autre. Ainsi.la question est tout -à -fait indéterminée (n° 55), puisqu’on n’a réellement qu’une équation entre deux inconnues.

L’expression - est, donc, 'dans ce cas* le symbole d’une indétermination dans l’énoncé. ’

Si les deux courriers ne vont pas également v.ite , c'est-à-dirc que l’on ait m ou <[ n, mais qu’on suppose o==0, on trouve pour .valeurs x=:0, y=0. s . .

DES PRÜR1.ÉMES DU PREMIER DEGRÉ.

En effet, les deux courriers partant du même point, et ayant dos vitesses différentes, ne peuvent évidemment se trouver ensemble qu’au point de leur départ.

Les hypothèses précédentes sont les seules qui conduisent à des résultats remarquables. Elles suffisent d’ailleurs pour faire voir aux coiumençans de quelle manière l’Algèbre répond à toutes les circonstances de l’énortcé d’un problème.

Nous généraliserons bientôt la discussion précédente; mais auparavant, nous ferons une remarque de la plus grande importance dans les applications algébriques.

65. Lorsqu'un problème a été résolu généralement, on peut, au moyen des formules ou valeurs trouvées pour les inconnues, obtenir j par de simples changement de signe, celles qui conviennent à de nouveaux problèmes généraux dont les énoncés ne diffèrent de celui du problème proposé, que par le sens de certaines quantités qui, d’additives qu’elles étaient, sont devenues soustractives, et réciproquement.

Prenons pour exemple le problème de l'ouvrier, résolu n“ 47. En supposant que l'ouvrier reçoive pour son décompte une somme c, on a les équations

j J1A __bn + c a. r — b g = c I '

d’où

an — c

Mais, si l’on suppose au contraire que, tout décompte fait, l’ouvrier, au lieu de recevoir, doive une sommée, les équa-

tions seront alors (

b y — ax — c |

ou

* ( a.r — bu = — -

by.

( on a changé les signes de la seconde équation ).

Or il est visible que, sans résoudre de nouveau ces équations, on peut obtenir sur-le-champ les valeurs de ^et de y qui leur correspondent, en changeant simplement le signe de c dans les valeurs précédentes , ce qui donné

bn — c an c

Afin de le prouver rigoureusement, désignons pour le moment — c par d : les équations deviennent alors I x

r t ax — bg = d,

ogle

lilSCOSSIOTi

équations qui ne diffèrent de celle du premier énonce qu’en ce que c est changé en d. Ainsi, l’on trouvera nécessairement bn + d an — d

Actuellement, si l’on remplace d par sa valeur — c, il vient

bn + (—c) an — ( — c) ,

ou bien , en appliquant les règles établies n° 62, bn — c un + c

On peut comprendre sous les mêmes formules , les résultats qui conviennent aux deux énoncés , en écrivant

bn dze

(Le double signe ± s’énonce plut ou maint ; les signes supérieurs correspondent au cas où l’ouvrier reçoit, et les signes inférieurs à celui où l’ouvrier doit une somme c.)

Ces formules comprennent encore le cas où, tout décompte fait , l’ouvrier et la personne qui l’emploie sont quittes 1 un envers l’autre. 11 suffit de supposer c = 0 , ce qui donne

bn an ,

, . . . i ( ax + by = c.

Soient encore les deux équations generales j fa + fy — g

provenant de la traduction algébrique d’un problème quelconque. En multipliant la première équation par /, la seconde par b, et soustrayant la seconde de la première, on a

{af bd) x =cf bg , d’où ^^ITd-

On trouverait de même

ag — cd

y ~ af— bd'

Cela posé, pour passer de ces formules,

•1° à celles qui conviennent aux équations j

ax — by = c , d.r + fy=g,