DES PROBLÈMES DU PREMIER DEGRÉ
distance AB qui sépare les deux courriers au moment de leur départ. On a évidemment pour première équation,
Mais et 77 exprimant les nombres de lieues faits par heure ( ce sont les vitesses respectives des deux courriers ), il s’ensuit que les temps employés pour parcourir les espaces x et y sont
marqués par — et — ; d’ailleurs , cos deux temps sont égaux; ainsi , l’on a pour seconde équation du problème , — = - ,
ou bien, nx — 7/7y = 0. . . . (2).
Combinant les équations (1) et (2) entre elles, d’après les méthodes connues d’élimination , on obtient
am an
m — n ni — n
valeurs qu’il est aisé de vérifier.
Discussion. Tant que l’on supposera n , d’où m — n ]> 0 ou positif, ces valeurs seront positives, et le problème sera résolu dans le sens propre de son énoncé. En effet, si le courrier A est supposé aller plus vite que le courrier B , on conçoit qu’à chaque instant il gagne du chemin sur celui-ci ; l’intervalle qui les séparait d’abord diminue de plus eù plu», jusqu’à ce qu'enfin il s’anéantisse tout-à-fait; et alors les deux courriers doivent se trouver au même point de la ligne qu’ils parcourent.
Mais si l’on suppose m<^n, d’où m — 71 0 ou négatif, les
valeurs sont à la fois négative^ et deviennent
am ah 1 .
Pour interpréter ces résultats , observons qu’il est impossible que les deux courriers se rencontrent s’ils sont partis en même temps des points A et B, comme on l’a supposé, l’intervalle qui les séparait ne faisant qu’augmenter à chaque instant. Mais cette condition de leur départ simultané n’étant pas de nature à être exprimée algébriquement, n’entre pour rien dans les équations du problème, qui sont restées tout-à-fait indépendantes de cette
DISCUSSION
restriction. Si donc on suppose que les courriers, parvenus en même temps, l’un au point A, l’autro au point B, se meuvent déjà depuis un temps indéfini sur la ligne et dons le sens AB, alors il est clair qu’ils auront dû sc rencontrer antérieurement en un point R' du prolongement de BA, qui est précisément celui que déterminent les valeurs de x et de y. En effet , si l’on met le problème en équation d’après la nouvelle hypothèse, ce qui revient à changer les signes de x et de y dans les deux équations, conformément au principe établi n° 59, on obtient
équations qui, résolues, donnent
am
n — tn’
Ces valeurs vérifient le nouvel énoncé, dans lequel on suppose que les courriers so sont déjà rencontrés avant d’être parvenus aux points A et B. . .
Soit maintenant ni — n, d’où m — n = 0 ; les valeurs générales
... , am - an
se réduisent a jr= — , y = — . .
Comment interpréter ces nouveaux résultats?
En remontant d’abord à l’énoncé , on voit qu’il y a impossibilité absolue d’y satisfaire, c’est-à-dire qu’il ne peut exister de point de rencontre ; car les deux courriers étant à un intervalle a l’un de l’autre, et allant également vite, doivent toujours conserver entre eux la même distance. On peut donc regarder le
résultat comme un nouveau signe d’impossibilité. En effet,
si l’on reprend les équations du problème, elles deviennent, dans les cas de m = n,
équations évidemment incompatibles.
